Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

172

КОНСТРУКТИВНАЯ сходимость

[ГЛ. 3

С л е д с т в и е

Всякая

фундаментальная

ПДЧ

яв

ляется

сходящейся.

Последовательностью

сегмен

2. О п р е д е л е н и е

тов (интервалов)

назовем

алгорифм,

перерабатывающий

всякое

натуральное

число

сегмент

(интервал).

О п р е д е л е н и е

Последовательность

сегментов

(интервалов)

назовем

вложенной,

если

при

любом

Ф(п+

1 ) Е Ф ( П ) .

О п р е д е л е н и е

Последовательность

сегментов

(интервалов)

Ф назовем

регулярной,

если при

любом

Д л ( Ф ( л ) ) < 2 - я

(напомним,

что алгорифм

Дл

перерабатывает

всякий

промежуток

в его

длину).

Имеет место следующая теорема, аналогичная из

вестной теореме о вложенных сегментах

традиционного

анализа.

Можно

построить алгорифм

пе

Т е о р е м а 2.

lim(2>,

рерабатывающий

запись

всякой

вложенной

регулярной

последовательности

сегментов

Ф в

КДЧ

такое, что

при

любом

И т ( 2 > ( Е Ф З ) е Ф ( п ) .

(Таким

образом,

для

всякой

вложенной

регулярной

по

следовательности

сегментов

можно

построить КДЧ,

при

надлежащее

всем

сегментам

этой

последовательности.)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пользуясь

теоремами

сочета

ния алгорифмов

теоремой

об

универсальном

алго

рифме, построим

алгорифм 211

так, чтобы для любой

по

следовательности

сегментов Ф и любого п

% Ч Ж , п ) ^ К Л ( Ф { п ) ) +

2 К " { Ф { п ) )

•

Построим далее алгорифм 212 так, чтобы для любого

слова

Р в Ч

2 1 2 ( Р ) = = Е ^ Р З , £ Н З .

Искомый алгорифм lim<2) строим теперь так, чтобы

выполнялось	(Р)~\ш(%2(Р)).
l i m ( 2 )

ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО КОНТИНУУМА

173

Покажем, что этот алгорифм обладает нужными свойствами. Пусть Ф — вложенная регулярная последо вательность сегментов. Тогда ЩФЗ есть ПДЧ, причем если /, / > / г , то ЭДЧ^ФЗ. | ) е Ф ( « ) и %1 (£ФЗ, У) е= Ф(и), и, следовательно,

Таким образом, алгорифм		Id является		регулятором фун
даментальности	ПДЧ зЦФЗ и по		теореме		о	полноте
Пт( 2 ) ( £ ФЗ) есть	КДЧ, к	которому	сходится эта ПДЧ.
Фиксируем теперь произвольное п и докажем, что
lim<2>( £ Ф З ) е Ф(п). По		построению		5I1	при	любом
i п

«'(ЕФЗ . О е Ф ( « )

и, следовательно,

(9)		Кл	(Ф («)) < « Ё Ф З (0 <				Г	(Ф (/г)).
Переходя в(9) к пределу (по								г),	согласно	след
ствию I § 1 получим
т. е.	Кл		(Ф ( л ) ) < Пт ( 2 )		(ЕФЗ) <			(Ф (л)),
т. е.
			Н т ( 2 ) ( Е Ф З ) е Ф ( « ) .
Теорема		доказана.
Теорему 2 можно дополнить теоремой									единственности
общей	точки		вложенной	регулярной				последовательности.
Т е о р е м а			3. Пусть	Ф — вложенная					регулярная	по
следовательность сегментов					и	КДЧ		хи	х2 таковы, что
при любом		п	хх	<= Ф (п)
и			хх	<= Ф (п)
и			х2	е Ф ( 4
Тогда	Х\ =		х2	е Ф ( 4
Тогда	Х\ =	х2 .		При		условиях			теоремы	для
Д о к а з а т е л ь с т в о .				При		условиях			теоремы	для
любого	п
			\| Х( — х21 ^			2	,
откуда и следует, что Xi				=	Хг.

174	КОНСТРУКТИВНАЯ сходимость	[ГЛ. 3
	Отметим, что теоремы 2 и 3 ценою некоторого	услож

нения доказательств можно усилить в следующем на

правлении.	Назовем	последовательность		сегментов		Ф
стягивающейся, если		ПДЧ	\| Ф \| такая,	что	\| Ф \| ( п )	=
= \| Ф ( п ) \| ,	сходится к 0. 1)		Можно построить		алгорифм,

перерабатывающий запись всякой вложенной, стягиваю щейся последовательности сегментов в КДЧ, принадле жащее всем сегментам этой последовательности; 2) если КДЧ х\ и х% принадлежат всем сегментам некоторой стя гивающейся последовательности сегментов, то Х\ = х2. Эти утверждения нам не понадобятся и на их доказа

тельствах мы не	останавливаемся.
В гл. 4 будет показано,		что	условие	регулярности
в формулировке	теоремы 2	(или	условие	стягиваемости

в приведенном выше ее усилении) является существен

ным.
Из леммы 2 очевидным образом				вытекает
Т е о р е м а	4. Можно		построить	алгорифм		91	такой,
что для любого	КДЧ	х алгорифм		Щ.х является		вложен
ной регулярной	последовательностью			рациональных			сег
ментов и при любом п
		х е	йх (п).
Теоремы 2 и 4 устанавливают некоторое					эффективное
соответствие между КДЧ и вложенными					регулярными
последовательностями		рациональных сегментов.					Поня

тие вложенной регулярной последовательности рацио нальных сегментов можно принять за основу построения системы вычислимых действительных чисел. При есте ственном определении отношений равенства, порядка и арифметических операций над такими числами упомя нутое выше соответствие оказывается изоморфизмом между этой системой вычислимых действительных чисел

и рассматриваемой нами		системой КДЧ (ср. У с п е н
с к и й	[3], З а с л а в с к и й	[4]).
3.	Приведем некоторые признаки сходимости ря

дов * ) .

*)	Подробное	изложение	этого	круга вопросов можно найти
в книге Г у д е т е		йн а [2] и работе Х а ч а т р я н а			[1]. Приводимые
ниже	результаты	заимствованы	нами	из работы	Х а ч а т р я н а [1].

ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО

КОНТИНУУМА

175

Пусть

а—некоторая

ПДЧ. Рассмотрим

ряд

( Ю

)

оо

2<х(о.

1=0

Непосредственно из теоремы о полноте вытекает сле

дующий критерий сходимости Коши.

Т е о р е м а

Для

того чтобы

ряд

(10)

был

сходя

щимся,

необходимо

достаточно,

чтобы

была

осущест

вима

ПНЧ

(называемая

регулятором

фундаменталь

ности, этого

ряда)

такая,

что при

любых

п,

если

m ^

6(0 .

т+п

<2 - < .

2= т «(0

Очевидно,

располагая регулятором

фундаментально

сти

данного

ряда,

можно

построить

КДЧ,

являющееся

его

суммой.

неотрицательным

(положитель

Ряд

(10)

назовем

ным),

если при любом i

a (i) ^

(соответственно a (i)

0).

Будем

говорить,

что

ряд расходится,

если

он

не

яв

ляется

сходящимся.

Пусть (3 — ПДЧ. Рассмотрим

ряд

сю

(П)

2 (НО.

1=0

С л е д с т в и е

Если

ряды

(10)

(11)

неотрица

тельные

и осуществимо

натуральное

число

такое, что

при

любом

i ^

a (i) < р (0.

то из сходимости

ряда

(И)

следует

сходимость

ряда

(10)

(и,

следовательно,

из

расходимости

ряда

(10)

вытекает

расходимость

ряда

(11)).

С л е д с т в и е

Если

ряды

(10) и

(11)

положитель

ны

осуществимо

натуральное

число

такое, что

при

i ^

a{t

+ О

< Ц 1 ± _ 0

(

Н О


176		КОНСТРУКТИВНАЯ			с х о д и м о с т ь				[ГЛ. 3
то из	сходимости		ряда	(11)	вытекает сходимость				ряда
(10)	(и, тем самым, из расходимости					ряда	(10)	следует
расходимость ряда			(11)).
Будем		говорить, что		ряд	(11)	является		остатком
ряда	(10),	если можно		указать m		такое,	что	при	лю

бом i

В (г) =

a(m

i).

С л е д с т в и е

Всякий

остаток

сходящегося

ряда

сходится.

Если

некоторый

остаток

ряда

схо

С л е д с т в и е

дится, то этот ряд

сходится.

С л е д с т в и е

Если

ряд

(10)

сходится,

то ПДЧ

сходится

к 0.

Если

х — КДЧ

и при любом п

С л е д с т в и е

В (п) =

• а (п),

то из сходимости

ряда

(10)

вытекает

сходимость

ряда

(11) .

Пусть у — ПДЧ

такая, что при всех п

Y(«) =

a(n)+P(n) .

Рассмотрим ряд

оо

(12)

2,(0-

С л е д с т в и е

Если

ряды

(10)

(11) сходятся,

то

ряд (12)

сходится.

Всякий

абсолютно

сходящийся

ряд

С л е д с т в и е

сходится.

Последовательность натуральных чисел б назовем натуральной перестановкой, если осуществима ПНЧ б'

такая, что при любом п
6(6'(л)) =		л
и при любых k, I, если k ф	I, то
о (k)	Ф6(1).
Ряд с общим членом у	назовем образом ряда		(10)
при натуральной перестановке		б, если при любом	п

у{п) = а{Ь(п)).

§ 2]

ПОЛНОТА КОНСТРУКТИВНОГО

КОНТИНУУМА

177

С л е д с т в и е

10.

Образ

любого

абсолютно

сходяще

гося

ряда

при

любой

натуральной

перестановке

абсо

лютно

сходится

(и

имеет ту же самую

сумму,

что и

ис

ходный

ряд).

С л е д с т в и е

(критерий

Лейбница

сходимости

знакочередующихся

рядов). Пусть

ряд

(10)

таков,

что

при

любом

а ( / ) - а ( / + 1 ) < 0

и ПДЧ

сходится

Тогда ряд

(10)

сходится,

если

КДЧ

х является

его суммой, то при

любом m

m+1

2 а (0 <

х <

2 а (0

или

i=0

m+1

2 а (0 <

х <

2а

(О-

t=0

4=0

Будем говорить, что ряд (10) расходится к беско нечности, если можно построить ПНЧ б такую, что при любых пг, п, если m ^ б(п), то

				2 а (0 >	п.
Имеет место следующий конструктивный аналог при
знака	сходимости			Куммера.
Т е о р е м а			6. Пусть ряд (10)			положителен.
I.	Если	можно		построить ПДЧ		р, натуральные	числа
пит	такие, что
1) V / ( p ( / ) > 0 ) ;
2)	ряд	оо	"pTjy	расходится	к	бесконечности;
2)	ряд	^	"pTjy	расходится	к	бесконечности;
		1=0
3) V / ( / > m = . p ( i ) - - j r ^ T y - p ( / + 1 ) > 2 ~ я ) , то
ряд (10)		сходится.
I I .	Если осуществима ПДЧ				р	и натуральное	число п

такие, что

1) V/(P (0 >0) ;

178		КОНСТРУКТИВНАЯ	сходимость	[ГЛ. 3
2) ряд 2^	-щту расходится;
3) V/ (i >	п	=э р (i) • -^fjj	- р (I + 1) <	0),
то ряд (10)	расходится.
Выбирая в этой теореме в качестве р ПДЧ р1 , р2 , р3
такие, что для		всех i > 0
		Р Ч 0 - 1 ,
		P2 (0=F*\
		Р 3 ( 0 ^ / -	In г *),

получаем признаки сходимости Даламбера, Раабе и Бертрана.

Аналогичным	образом могут быть	переформулиро
ваны признаки сходимости Коши, Абеля		и Дирихле (ср.
Ф и х т е н г о л ь ц	[2]).

Приведенные признаки сходимости показывают зна чительное сходство традиционной и конструктивной тео рии рядов. Отличительной особенностью конструктивной теории по сравнению с традиционной является устанав ливаемое в следующем параграфе существование неот

рицательных		рядов	с	ограниченными				(в совокупности)
частичными		суммами,		не	являющихся			(при	принятом
нами определении			сходимости)				сходящимися.		Однако
конкретные,		употребляемые				в	приложениях		анализа
ряды, как правило, не обладают этим свойством.
4. В качестве иллюстрации изложенного рассмотрим
следующий		пример.
Пусть	б 1	— ПДЧ	такая,			что
и при / ^	1			е«	( o ) ^ i ,

Рассмотрим ряд

(13)

1=0

*) Через In здесь обозначается некоторый алгорифм, задающий конструктивную функцию, соответствующую логарифмической функ ции традиционного анализа (ср. гл. 5, § 1).

ПРИМЕР ШПЕКЕРА

179

Из

очевидной

оценки

•

_ <

(п+1)\

(п + 2)\

' • •

(ft

<__!__

(l I

I -

^ (n +

1)!

' I

n +

l ) 2

(n +

I ) ™ - 1

/ *

< (n

l ) I

rc-n!

n +

следует, что ряд (13) является

сходящимся.

(Так

как

при п>2

выполняется

п\-п>2п,

то,

например,

алго

рифм

о такой, что

(г) =F

I +

является регулятором фундаментальности ряда (13).) Пользуясь теоремой о полноте, построим КДЧ, яв ляющееся суммой ряда (13). Это КДЧ по аналогии с традиционным анализом естественно обозначить бук

вой е.

Нетрудно убедиться, что ПДЧ (Е такая, что при лю бом i > О

сходится к е (ср. Р у д и н [1]).

§ 3. Пример монотонной ограниченной не сходящейся

последовательности рациональных чисел

1. Основным		результатом этого			параграфа является
следующая теорема			Ш п е к е р а [1].
Т е о р е м а	1.	Можно		построить	последовательность
рациональных	чисел		© такую, что
1) при любом		п
и			О <	© ( « ) < 1
и

180	КОНСТРУКТИВНАЯ	сходимость	[ГЛ. 3
Д о к а з а т е л ь с т в о * ) .		Построим	арифметически
полный	алгорифм а, перечисляющий без повторений не

которое неразрешимое множество натуральных чисел Ж. (Возможность построения такого алгорифма без труда

усматривается		из теоремы		12 § 3 гл. 1.)
Искомую	последовательность				<5 построим так, чтобы
при любом п
(1)		®(я) =	2 2 - а ,		' н .
Очевидно,		при любом		п
и			О < <S (п)

(2)		<В [п)< @ (п +				1).
Далее, так как при i ф				j a(i) ф		а(/), то <5(п) меньше
суммы ряда			оо

Следовательно,
(3)			® ( п ) < 1 .
Предположим теперь,				что осуществим алгорифм р,
являющийся	регулятором			фундаментальности ПРЧ <5.
Тогда при любых / >			0, п
@(Р(л) +		0 - < Э ( Р ( л ) ) =			2	2 - в ( , Ь 1 < 2 - " .
				г=3(п)+1
Следовательно, при любом i > р(п)
(4)			а ( 0 > л - 1 .
Из этой	оценки легко			следует		разрешимость множе

ства Ж. Действительно, нетрудно построить алгорифм 2) так, чтобы для любого Р в (0|} выполнялось**)

1) если Р не является натуральным числом, то £ ( Р ) ^ 0 ;

*) Приводимое нами доказательство теоремы Шпекера принад лежит Р а и с у [ I ].

**) Здесь мы используем тот факт, что алгорифм о арифмети чески полн.

ПРИМЕР ШПЕКЁРА

181

если

Р — натуральное

число

существует

та

кое, что 0 <

i <

Р(Р +

и a(t) =r= Р,

то

35 (Р) =F Л ;

если

Р — натуральное

число

и для

всех

таких,

что 0 ^

i ^

р(Р + 1),

выполняется

a ( i ) v #

то

5) (Р) =?= 0.

Очевидно, 3) применим к любому слову Р

в { 0 | } . По

кажем, что P e l s

®(Р) ==Л.

а)

Пусть

55(Р) == Л . Тогда

Р — натуральное

число

и при некотором i таком, что 0 ^

i ^

Р(Р + 1), OC(/)=FP.

Следовательно,

P e i .

б)

Пусть

P e l .

Тогда

Р — натуральное

число

при некотором

a(j)==

Р. Ввиду (4) при f >

Р(Р +

выполняется

ос(/)> Р. Следовательно,

/ ^

р(Р +

и 5>(Р) == Л .

возможен.

Последовательность

©,

построенная

Т е о р е м а

согласно

теореме

1, не сходится

ни к какому

КДЧ.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

бы

сходилась

ка

кому-нибудь КДЧ, то согласно теореме 7

1 последо

О п р е д е л е н и е

1. Пусть

а,

р— ПДЧ.

Будем

гово

рить,

что р я&ляется

подпоследовательностью

а,

если

можно

построить возрастающую

ПНЧ

так, что при

любом

Р(л) =

а(у(я)).

Вполне

очевидна

Л е м м а

1. Если

ПДЧ

сходится

некоторому

КДЧ,

то любая

подпоследовательность

а сходится

к это

му же КДЧ.

В случае монотонных ПДЧ имеет место обратное ут

верждение.

Если

какая-нибудь

подпоследователь

Л е м м а

ность монотонной

ПДЧ

сходится

к некоторому

КДЧ,

то а сходится к этому же КДЧ.

а. — ПДЧ,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

р—возрас

тающая

ПНЧ и а 1 — т а к а я

ПДЧ, что при любом п

а'(л) =

а(Р(л)).

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4518 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб13Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб19Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб47Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб11Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб24Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб19Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб20Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб21Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб7Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб13Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб4Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf