Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

222

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

являющееся полигональным шифром этой функции на рассматриваемом сегменте. Полигональный шифр функ ции содержит всю необходимую информацию об этой функции как о полигональной; в этом плане соотноше ние между записью полигональной функции и ее поли гональным шифром примерно такое же, как между /••-числом и КДЧ (ср. § 2 гл. 2).

Предлагаем читателю в качестве упражнения дока зать, что сумма полигональных на х А у функций есть полигональная на х А у функция; другими словами, осу ществим алгорифм, строящий по полигональным шиф рам функций / и g на х А у полигональный шифр на х А у функции {/ + g}.

Те конкретные полигональные функции, которые мы будем использовать, будут задаваться с помощью поло жительных рациональных дроблений. Нетрудно убедить ся, что если Т = Х\ * ... * хп — положительное дробле ние, уи ..., уп — КДЧ, то алгорифм h такой, что

п-1

h (z) = ух + 2 (yt+i — Уд-® (Xi V xi+l, z),

является полигональной функцией с определяющим дро

блением	Т,	причем	h(z)—yi	при	z	хи	h(Xi)=yi
(1 ^ i ^	п)	и h(z)—	уп при	z ^	хп.	Таким	образом,

для каждого положительного дробления можно по строить полигональную функцию, для которой это дро бление является определяющим и которая принимает за данные значения в точках этого дробления.

г) Алгорифм sgn, построенный в § 4 гл. 1, является

конструктивной функцией.					Напомним, что sgn(x) = 1,
если	х	>	0,	sgn(x) == — 1,	если	х	< 0, и 1 !sgn(.*),
если	х	=	0.	Использование	КФ	sgn	позволяет строить

«ступенчатые» функции. Например, нетрудно построить

КФ g такую, что g(x)	~ 0	при х <	— 1, g(x)			= 1 при
— 1 < л: < 0, g(x)=^2	при	х > 0	и g	не	определена
в точках —1 и 0 (рис. 9).		(Последнее		обстоятельство,
ввиду теоремы о неразрывности КФ			(§	2),	не	является
случайным.)

д) Мощным средством построения конструктивных функций является теорема о полноте конструктивного континуума (гл. 3, § 2), позволяющая привлекать для

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ

223

таких построений сходящиеся функциональные последо вательности и ряды. Использование известных разложе ний дает возможность ввести в терминах конструктивных функций элементарные функции (тригонометрические, показательную, степенную и т. д.). Соответствующие конструктивные функции обладают характерными чер тами одноименных функций традиционного анализа. (С точки зрения традиционного анализа эти конструк тивные функции представляют собой алгорифмы, вычис ляющие данные элементарные функции в тех точках

					х
		Рис. 9.
(классического)		континуума,		которые	могут	быть		за
даны как КДЧ.)
Мы не останавливаемся подробно на этих вопросах,
отсылая читателя к книге			Г у д с т е й н а		[2] и к		работам
Ш а н и н а [6], С л и с е н к о			[2], З а с л а в с к о г о				и	М а
н у к	я н [1].
§ 2.	Свойства непрерывности.			Равномерно
непрерывные функции
1. Наиболее		специфическими свойствами				конструк

тивных функций являются свойства непрерывности. Пер

вый	существенный шаг	в установлении этих	свойств
был	сделан М а р к о в ы м	[3], [5], доказавшим,	что кон

структивные функции не могут иметь конструктивных

разрывов*).	Этот	результат	доведен до	логического
конца Ц е й	т и н ы м	[3]—[5],	показавшим,	что любая

*) Близкий результат был получен также М а з у р о м [1].

224

КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

конструктивная функция непрерывна во всякой точке,

вкоторой она определена.

Вэтом пункте приводятся упомянутые результаты Маркова и Цейтина. Формулируемые ниже теоремы 1—3 будут доказаны в девятой главе.

О п р е д е л е н и е

1) Будем

говорить,

что КФ f

имеет

конструктивный

разрыв в

точке

х0,

если

lf(x0)

осуществимы

ПДЧ

и натуральное

число

п0

такие, что

при всяком

а)

!/(а(п));

б) | а ( я ) - * о 1 < 2 - я ;

в)

\f(a(n))-f(x0)\>2-n\

КФ

будем

называть

неразрывной,

если

она

не

имеет конструктивных

разрывов.

Т е о р е м а

1 (теорема

А. А. Маркова

неразрыв

ности конструктивных

функций). Всякая

конструктивная

функция

неразрывна.

ПНЧ

со будем

называть

ре

О п р е д е л е н и е

гулятором

непрерывности

функции

в точке

х0,

если

\f(x0)

и при

любых

п,

таких,

что

\х — х0\<2-а^

\f(x),

выполняется

1 / W - / W K 2 " " .

2) Алгорифм W будем называть регулятором непре рывности функции f, если при любом х таком, что \f{x), алгорифм Wx является регулятором непрерывности f в точке х.


3)	КФ	назовем		непрерывной,			если осуществим алго
рифм,	являющийся			регулятором			непрерывности		f.
Т е о р е м а			2.	(теорема		Г. С. Цейтина		о	непрерыв
ности конструктивных функций). Всякая								конструктив
ная функция			непрерывна,		т. е. осуществим			алгорифм		21
такой,	что для любой КФ				f	алгорифм		является		ре
гулятором		непрерывности			функции		f.

Теорема 2 показывает, что всякая конструктивная функция непрерывна в сильном конструктивном смысле этого слова в любой точке, где она определена. В § 3 нам потребуется следующий более сильный вариант теоремы непрерывности, также принадлежащий Цейтину.

СВОЙСТВА

НЕПРЕРЫВНОСТИ

225

Т е о р е м а

3. Можно

построить алгорифмы

а, х

и у

так, что для

любой

КФ f

натуральных

m, п

если

!о(Е/3, от, п),

то о-(Е73> т> п) — интервал

МЕ/З, т> п);

2) если !т(£/3,

/и,

п),

то x(£f3> от,

/г)

—

рациональ

ное

число;

любого

КДЧ

х,

если !a(Ef3> т > п)> ' / М

для

л: а(£/3> т ,

п )> г о

\f(x)-x(m,

n ) | < 2 - m ;

4) (Зля

любого

КДЧ

любого

пг,

если

\f(x),

то

МЕ/3> х> m)>

Y(£f3>

*> m

) —натуральное

число, при

чем

МЕ/3, Y(E/3, *, от))

x<=cr(£f3. m, Y(E/3> *> от)).

Эта теорема, по существу, показывает, что для вся кой КФ f и любого m можно построить перечислимое


интервальное			покрытие области			определения		/	такое,
что для любого интервала				покрытия колебание / на этом
интервале не превосходит				2 _ т .
2. О п р е д е л е н и е				3. Пусть		КФ f	определена			в
каждой	точке сегмента х Л у.
1) ПНЧ		(о будем называть			регулятором		равномерной
непрерывности			f на х Д у,	если	при любых		х\,	х2 е	х Д у
и любом	п	таких, что \ Х\		— х2\|	<	2-<D<n>,	выполняется

]f(xl)-f(x2)\<2'n.


2)	/	будем		называть	равномерно	непрерывной		на
х А у,	если		осуществим		регулятор	равномерной		непре
рывности		f на		х Д у.
В связи			с теоремой о непрерывности конструктивных
функций		возникает вопрос о том, не является					ли всякая
всюду определенная, скажем на сегменте О Д							1, КФ рав

номерно непрерывной на этом сегменте. Ответ на этот вопрос отрицательный, в гл. 8 будут приведены при

меры функций,	не являющихся равномерно непрерыв
ными на О Д 1.
Устанавливаемые в этом пункте свойства			равномерно
непрерывных функций изложены		в основном в работе
З а с л а в с к о г о [4]. Для других		концепций	вычислимых

8 Б. А. Кушиер

226 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5

действительных функций аналогичные результаты были


установлены		Г ж е г о р ч и к о м			[2],	Л а к о м б о м [1] я
Г у д с т е й н о м			[2]. Все упоминаемые				ниже конструк
тивные	функции		предполагаются		всюду		определенными.
О п р е д е л е н и е 4.				Слово	вида		х А у *	3 * £63
назовем	равномерным			шифром	функции		f на	сегменте
х А у,	если	6 является		регулятором		равномерной		непре
рывности f на х А			у.

Равномерные шифры представляют собой естествен ные исходные данные для алгорифмов, связанных с рав номерно непрерывными функциями, — каждый такой шифр содержит исчерпывающую информацию о соответ ствующей функции как о равномерно непрерывной.

Доказательство следующей простой леммы предо

ставляется

читателю.

Л е м м а

1. Пусть х0*...*хп

(п ^

—

дробление

(г. е. х0 ^

х\

. . . sg: хп).

Каково

бы

ни

было

КДЧ

из сегмента х0 А

хп,

неверно,

что х

не

принадлежит

ни

одному

из

сегментов

Xi A

Xi+\.

Из леммы

1 без труда

следует

Л е м м а

Если

Ь\,

б 2 — регуляторы

равномерной

непрерывности

функции

на

х Д у

и у Л z

бз — такая

ПНЧ,

что

63 (0

= т а х ( б 1

( л + 1), б 2 ( п + 1)),

то бз

является

регулятором

равномерной

непрерывности

f на х А

4. Пусть

функция

f равномерно

непре

Т е о р е м а

рывна

на

сегментах

х А

у A z.

Тогда

разномерно

непрерывна

на сегменте х A

Данная теорема утверждает осуществимость алго рифма, строящего по равномерным шифрам произволь

ной функции	на х А у	и у A z	регулятор	равномерной
непрерывности этой функции на сегменте х A z.					Возмож
ность построения такого алгорифма легко				усматривает
ся из леммы 2.
Поскольку	всякая	линейная	на данном		сегменте

функция равномерно непрерывна на этом сегменте, то выполняется


С л е д с т в и е	1. Всякая	полигональная		на данном
сегменте функция	равномерно	непрерывна		на этом сег
менте (т. е. осуществим алгорифм,			перерабатывающий

СВОЙСТВА

НЕПРЕРЫВНОСТИ

227

полигональный

шифр

функции

в запись

регулятора

рав

номерной

непрерывности

этой

функции).

О п р е д е л е н и е

Будем

говорить,

что КДЧ

ограничивает

на

х А

у,

если

всюду

на

этом

сегменте

1/(0

Кг.

Будем

говорить,

что функция

ограничена

на

дан

ном сегменте,

если

осуществимо

КДЧ,

ограничивающее

на этом

сегменте.

КДЧ

назовем

верхней

(ниж

О п р е д е л е н и е

ней)

гранью

функции

на х Л у,

если

при

всяком

е л А ( /

выполняется

f«)<z

(соответственно

f (t) ^

г).

О п р е д е л е н и е

КДЧ

назовем

точной

верхней

(нижней)

гранью

функции

f на

х А у,

если

является

верхней

(нижней)

гранью

на

х А

у;

можно

построить ПДЧ

К такую,

что при

любом

X (п) е

х Л

z-f(X(n))<2-n

{соответственно f (k (п)) — z <

2~п).

Т е о р е м а

Для

всякой

равномерно

непрерывной

на х А у функции

осуществимы

КДЧ,

являющиеся

точ

ными

нижней

и верхней

гранями

этой функции

на

х А

у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ограничимся

доказательством

существования точной верхней грани. Речь идет о по строении алгорифма, перерабатывающего равномерный шифр произвольной функции в точную верхнюю границу этой функции (на соответствующем сегменте).

	Обозначим на все время доказательства через Р про
извольный равномерный шифр х А				у *	£/3 * £^3> а ч е "
рез	„ — точки х +		• i (0 ^	i ^	2п).
	Построим алгорифм 9I1		так, чтобы при любом слове Р
рассматриваемого типа и любом п выполнялось
(1)	Я» (Я,	п)=	max	f(tt,n).
			0 < f < 2™
	Очевидно, %Р есть	ПДЧ, причем ((1))
(2)	%l(P,	n +	\)^%1(Р,	п).
8*

228

КОНСТРУКТИВНЫЕ

ФУНКЦИИ

[ГЛ. 5

Построим

алгорифм 2I2

такой, что

%2(Р,

п ) ~ 6 ( л + l) +

G+(y — x)

(где

G+ — алгорифм,

удовлетворяющий

лемме

гл. 2), и докажем, что €р есть

регулятор

фундаменталь

ности

ПДЧ

% } Р .

Фиксируем произвольное п и рассмотрим /, / такие,

что

i, i >

9l2 (Р,

п).

Предположим,

что

(3) .

|я'(Р,

0 - я У ,

л1>2-л -\

Не теряя

общности, можно

считать, что i > /. Тогда,

ввиду (2), (3), можно записать

(4)

Я1 (Л

£)-%1{Р,

})>2-п-\

Допустим

далее,

что

при

некотором

0 ^

п0

имеет

место

(5)

21'(Л 0 = f(U.

i).

Из

(4) — (5)

тогда

получаем, что при всех 0 ^

/ ^

f(tlb.t)-f(ti.i)>2-№-\

Это, однако,

невозможно, поскольку i

/ и

у — х ^

у — х #

<• 2-6{-п+{1

2 0

^У~х)

Таким

образом,

если выполняется

(3),

то при

всех

О < k <

2»'

И'(Я,

i)¥>f(tk.t),

что противоречит теореме 3 §

гл.

Следовательно,

(3) неверно и имеет

место

№(Р,

О - Я 1 (Л

/ ) | < 2 - " - '

<2~п,

что и требуется.

Пользуясь теоремой о полноте (§ 2 гл. 3), построим теперь алгорифм 213 такой, что

5l3 (P)^nm(E9tj>3, £3$3).

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ	229
Алгорифм 913 перерабатывает всякое слово Р	рас

сматриваемого вида в КДЧ, к которому сходится 91р.

Можно

показать,

что

это

КДЧ

является

точной

гранью f на х А

у.

С л е д с т в и е

2. Всякая

равномерно

непрерывная

на

данном

сегменте

функция

ограничена

на этом

сегменте

(т.

е.

осуществим

алгорифм,

перерабатывающий

равно

мерный

шифр

данной

функции

на

данном

сегменте

КДЧ,

ограничивающее

эту

функцию

на

рассматривае

мом

сегменте).

Предоставляем читателю доказать следующую тео

рему.

Если

функции

fug

равномерно

не

Т е о р е м а

прерывны

на

х А

у,

то функции

{f +

g}, {f — g\,

{f • g},

{\f\}

равномерно

непрерывны

на

x Ay.

Если,

кроме

того,

осуществимо

такое,

что

| g ( 0 l ^ 2 _ n

всюду на

хАу,

то функция

равномерно

непрерывна

на

х А у.

Отметим, что для доказательства, например, послед него утверждения теоремы нужно указать алгорифм, строящий по равномерным шифрам f a g яа х А у и на туральному п такому, что \g(t)\^ 2~п всюду на х А у, запись регулятора равномерной непрерывности функции

Теорема 5 намечает некоторую аналогию между рав номерно непрерывными конструктивными функциями и непрерывными функциями традиционного анализа. Сле дует заметить, что хотя эта аналогия подтверждается и рядом других фактов (например, тем, что всякая равно

мерно непрерывная КФ интегрируема по	Риману),	она
не является очень полной — в частности,	в § 2 гл. 8	бу

дет построена равномерно непрерывная на О А 1 КФ, не


достигающая		на	О А	1 своей		точной		верхней	грани.
Важным классом равномерно непрерывных функций
являются	монотонные функции.
О п р е д е л е н и е				8.	1) Функцию			f будем называть
возрастающей		(убывающей)				на	промежутке		х\у,	если
при любых	гх,	z2	из хХу		таких,		что zl	< z2,	выполняется
				f(zi)<f(z2)
(соответственно,			f(zx)	>	/ ( г 2 ) ) .

230 КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 5

Функцию

f будем

называть

неубывающей

(невоз-

растающей)

на

х\у,

если

при

всяких

Z\, z2

таких, что

Х Х у

и zi <

z2,

имеет место

/ ( Z , ) < / ( Z 2 )

(соответственно

f(zi)

^f(z2)).

f будем

называть

стро

О п р е д е л е н и е

Функцию

го

монотонной

(монотонной)

на

Х Х у ,

если

она

является

возрастающей

или

убывающей

(соответственно

неубы

вающей

или

невозрастающей)

на

х\у

функцией.

теорема

показывает,

что

всякая

моно

тонная на данном сегменте функция равномерно непре


рывна на этом		сегменте.
Т е о р е м а		7.	Можно	построить алгорифм		91	таким
образом,	что для		любого	сегмента	х А у и любой		моно
тонной на этом сегменте функции					f алгорифм	9 1 ^ ,		Х А у
является	регулятором равномерной				непрерывности		f	на

хАу.

Мы ограничимся тем, что наметим доказательство равномерной непрерывности возрастающей на невырож денном сегменте функции. Переход к случаю неубы вающей функции проводится рассмотрением вспомо гательной функции g(x) = f (х) + х, а переход к про извольному сегменту легко выполняется с помощью алгорифма Рз (теорема 21 § 3 гл. 2).

Итак, пусть функция f возрастает на невырожденном сегменте х А у (х <Z у). Обозначим через N натуральное число, для которого

	f(y)-f(x)<2".
Пусть уи „ — точки		вида		f(x) - f f^l+J+\x)	• i	(где
0 < / < 2 - v + e + 1 ) .
Очевидно,	yi,n<	У{+1,п	и
(6)	\у1+ип~У1,			„ К 2 - " - 1 .
Пользуясь	теоремой 4		§	4, найдем точки	xt,n	так,
что
(7)		f{Xi,n)	=	yi,n-
Очевидно,

х1,п ^

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ

231

Следовательно,

можно

найти kn так, что

2 - й

min

(xi+i,n

—Xi,n).

Используя

(6) — (7)

лемму

нетрудно

проверить,

что

при

хх,

( | | е

х Л

таких,

что

выполняется

U i

Ух К

2"*",

\f(xl)—f(yl)\<2-\

О п р е д е л е н и е

10.

Функцию

назовем

кусочно

монотонной

на

сегменте

х Д у,

если

осуществимо

дроб

ление х0

* ...

* хп

этого

сегмента

такое,

что f

монотонна

на

каждом

сегменте

Д х ш

(0 ^

i ^

п — 1).

Из теорем 4 и 7 вытекает

С л е д с т в и е

Всякая кусочно

монотонная

на

дан

ном

сегменте функция

равномерно

непрерывна

на

этом

сегменте.

3. Использование псевдочисел позволяет получить некоторые

интересные

результаты

о равномерно

непрерывных функциях — в

частности,

установить конструктивный

вариант

известной

теоремы

о достижимости точных границ. Мы очень коротко остановимся на этих вопросах.

Примем следующие естественные определения отношений ра венства и порядка для псевдочисел (используемые обозначения вве


дены в § 3 гл. 3):
Ц\ <		<?2 =		ПН	3 « 6 V m (m	гэ^.,	(от) — c/i (m) >	2~k),
<7i	>	<?2 =		92 <	<7i,
<7i	>Qi		=	П (<7i < Q2),
<7i < ? 2			=	Чг>Чи
</i = < 7 2			=	V« П П 3mV« 0 >		m =>	I £, (/) - £2 (0 I <	2"") .


Равенство				между КДЧ			и	псевдочислами,	определенное	в §	3
гл. 3, можно также ввести, сопоставляя каждому КДЧ х										псевдо
число O C H ( X ) 0				(СМ. п. 4 §		3	гл.	2).
Пусть		rXs — рациональный						промежуток. Естественным образом,
можно	говорить о				множестве			псевдочисел, принадлежащих		этому
промежутку.			Обозначим			возникающее таким			образом множество
через (г	X	s).
Дальнейшие рассмотрения будут проведены для краткости в
случае	КФ,		определенных				на	единичном сегменте. Упоминания			об
JTOM сегменте часто					опускаются.

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб13Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб19Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб47Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб11Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб24Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб19Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб20Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб21Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб7Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб13Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб4Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf