Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

122 КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 2

9)	((г 6s)	& (г =	г,) & (s = sO) zd		(г, 6s,)		(в	8) и	9)
б обозначает		любой	из знаков	=,	<,	>,		^);
10)	(г = s) => (s =		г).	^>	&	з*	З1	3
10)	(г = s) => (s =		г).
	з	з
Очевидна		также	следующая
Т е о р е м а		3. Каково бы		ни	было		целое	число	р,

Р= рЮ |.

з-

Из разрешимости отношений = , < , > , *С ^ вы-

текает					3	3	3	3	3
текает			4.	Пусть	б — любой	из	знаков		=,	<,
	Т е о р е м а		4.	Пусть	б — любой	из	знаков		=,	<,
									з-	з-
>,	3"	Для		любых	рациональных		чисел	ги	г2	вы-
3"	3"	8*
полняется				11 (П 6г2 ) = г, 6г2 .
				11 (П 6г2 ) = г, 6г2 .
	Переходим к определению арифметических операций
над рациональными числами.
	Построим		алгорифм		+ типа (dil-^-0i)		таким		обра-

зом, чтобы для любых рациональных чисел г, s выпол нялось

1) если г, s — целые числа, то

+ (г, s) == + (г, s);

3Ц

2)если хотя бы одно из г, s не является целым чис лом, то

+	(г, s) =т= +	(г • s,	г • s)/r	• S.
3>	ц	-ц	ц-	ц

Построим алгорифм з• типа (^, 2 ->-5э ) такой, что для любых рациональных чисел г, s

1)	если г, s — целые числа, то
	• (г,	s) — •		(г,	s);
	з		ц
2)	если хотя бы одно	из г,	s	не является целым чис
лом, то
	• (г, s) = г		• s/r		• S.

~ц~

5 1]	НАТУРАЛЬНЫЕ,		ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА		123
	Построим	алгорифм — такой, чтобы для любых г, s
		- ( г ,	*)==. + ( Л - ( - 0	1 , s ) ) .
	Построим	далее	алгорифм «об»	типа	такой,

что при любом рациональном г 1) если г = 0, то ~]!об(г);

<?>

2) если г Ф 0, то

об (г) == г/г.

Построим алгорифм : типа (5 Э 2 - ^5 Э ) таким образом,

чтобы для любых рациональных чисел г и s выполня лось

: (г, s) ~ • (г, об (s)).

.г1 ^

Очевидно,

! : ( r , s ) s j ^ 0 .

<?>

.0»

Алгорифмы + , —, •, : будем называть соответствен-

&& & &


но операциями		сложения,	вычитания,	умножения		и	де
ления	рациональных чисел. Вместо записи				б (г, s)		(где
б — знак одной		из только что введенных операций) мы
будем	часто использовать		более привычную		запись		r6s.
В тех случаях,		когда это не может вызвать			недоразуме
ний, индекс		в знаках	отношений	равенства		и по

рядка и в знаках арифметических операций будет опу скаться.

Арифметические операции над рациональными чис лами, как нетрудно показать, сохраняют равенство рациональных чисел. Операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности и ассоциативно сти. Выполняются также распределительные законы для умножения относительно сложения и вычитания. Фор мулировка соответствующих свойств предоставляется читателю.

Непосредственно из определений арифметических операций и отношений равенства и порядка вытекают следующие утверждения,

124	КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА		[ГЛ. 2
Т е о р е м а 5. Каковы бы ни были		рациональные
числа	г и s

1)г + ( ( - 1 ) т ) = 0;

2)г + 0 = г;

3)г - 1 = г ;

4)r:l=r;

если

s ф

О,

то

s: s =

s • об (s) =

если

s=£0,

то

s • (г: s) =

г.

Имеют

место и обычные

свойства

неравенств.

Т е о р е м а

6. Пусть б—любой из знаков

<!,

г2,

гi,

s2 — произвольные

рациональные

числа.

Тогда

(г, +

s) б (r2 + s);

если

г{Ьг2,

то

&•

если

Г[ 6г2

О,

го

(г, • s) б (г2

• s);

если

г, бг2

s < О,

го

(г2

• s) б (г,

• s);

если

Г] бг2

s, 6s2,

то

(гг

+ «i) б (г2 +

«г);

если

г1 бг2 ,

s, 6s2

г, >

г2

О,

>& 0,

то

&•

(Г, • 5,) б (г2

• S2).

Обозначим

через

mod

алгорифм

алфавите

со

схемой

Очевидно, mod является алгорифмом типа (^'->^5 ).

Для любого рационального числа г рациональное число

mod (г)	будем называть		модулем,	или	абсолютной	вели-
чиной г.	Вместо записи		mod (г)	мы будем, как правило,
			0
использовать запись		\| г \^ или просто			\| г \|.
Непосредственно		из	определения		алгорифма	mod и

определений отношений порядка и равенства рациональ-

§ 1]

НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

125

ных чисел и	арифметических	операций усматриваются
следующие утверждения.
Т е о р е м а	7. Для всякого	рационального	числа г
1) \| г \| > 0	и \г \| = 0 = г = 0;

2)г < | г | ;

3)(r = | r | ) s ( r > 0 ) ;

4)	\| r \| =	\| - r \| .
Т е о р е м а			8.	Для	всяких				рациональных чисел t, s
1) \| r - s \| = \| r \| - \| s \| ;
2)	если	s Ф	О,	то \| г: s				\| = \| г \|: \| s \|;
3)	l \| r \| - \| s \| \| < \| r +				s \| < \| r \|				+ \|s\|.
Построим алгорифм max такой, что для любых
рациональных			чисел г ь			г2
		max (г,, г2 ) = .					.	г,,	если	г , ^ г 2 ,
		max (г,, г2 ) = .				I	.	г2 ,	если	Г[ <; г2 .
		,9»				I		г2 ,	если	Г[ <; г2 .

Очевидно, всегда

max (г,, г 2 ) > г ,

max(r„ г2 ) > г 2 .

Нетрудно убедиться также, что

max	( г „ г 2 ) =	(* + *> + 1 ' . - ' . 1 .
&	&	z

Построим также алгорифм min такой, что

iin(r„		г8 )==\|	ги	если	r t ^ r 2 ,
m 1	" 4 ' "	' '		если	г, > r2 .
Очевидно,		min(r„		г 2 ) < л ,
		min(r„		г 2 ) < л ,

m i n ( r „ r 2 ) < r 2 .

126

КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

[ГЛ. 2

Нетрудно показать, что

m i n ( r „ < ' « + ' » > - l ' i - * l .

Индекс

«^"»

записи вида max(ri, r2 ),

min(rI ( f2)

будет,

как

правило, опускаться.

§ 2. Конструктивные действительные числа

(КДЧ).

Основные определения

О п р е д е л е н и е

Последовательностью

натураль

ных

(рациональных)

чисел

будем

называть

алгорифм

(в

алфавите

Ча)

типа

{Ж-*-Ж)

(соответственно

типа

(Ж^Р)).

Вместо

термина

«последовательность

натуральных

(рациональных)

чисел»

мы

будем

часто

использовать

сокращение ПНЧ

(ПРЧ).

р называется

О п р е д е л е н и е

ПНЧ

регулятором

сходимости

себе

(или

регулятором

фундаментально

сти) ПРЧ а,

если

Vnml

(m, I >

р (n) => I a (m) — a (/) J <

2_ ").

О п р е д е л е н и е

ПРЧ

называется

фундамен

тальной

(квазифундаментальной),

если

осуществима

(не

может не существовать)

ПНЧ

р,

являющаяся

регулято

ром

сходимости в себе ПРЧ

а.

О п р е д е л е н и е

ПРЧ

называется

псевдофунда

ментальной,

если

~] ~] BmVkl

О,

I > m Z31 a (k) -

a (I) | <

2~n).

О п р е д е л е н и е

Слово

алфавите

назовем

FR-числом

(конструктивным

действительным

числом

или,

короче,

КДЧ),

если

Q является

рациональным

чис

лом

или

Q == £<в О £РЗ> где а — ПРЧ,

р — ПНЧ,

являю

щаяся регулятором

сходимости

себе

ПРЧ

а.

О п р е д е л е н и е

Слово

Ч назовем

F-числом

(квазичислом),

если

Q — рациональное

число

или

= £свО. где

а — фундаментальная

(квазифундамен

тальная)

ПРЧ,

	ОСНОВНЫЕ	ОПРЕДЕЛЕНИЯ			127
О п р е д е л е н и е 7. Слово Q в			Ч назовем		псевдочис
лом, если	Q — рациональное	число	или	Q =	£a3<0>> г ^ е
а — псевдофундаментальная		ПРЧ.
Понятия FP-числа*), F-числа, квазичисла и псевдо
числа введены Ш а н и н ы м [6] * * ) .
Каждое	из определений	5—7 может		быть	положено

в основу построения системы конструктивных действи тельных чисел. На получающиеся системы действитель ных чисел естественным образом распространяются с системы рациональных чисел отношения равенства, по рядка и арифметические операции (причем последние могут быть заданы алгорифмами). Каждая из этих си стем в различной степени соответствует интуитивному представлению о том, что вычислимое (конструктивное) действительное число должно быть объектом, сколь угодно точно аппроксимируемым рациональными чис лами.

С этой точки зрения наиболее естественным пред ставляется понятие FR-чшпа. Индивидуальное задание FP-числа содержит в себе исчерпывающую информацию о последовательности рациональных приближений к это му числу и о скорости сходимости этих рациональных приближений.

Индивидуальное задание F-числа (квазичисла) по зволяет лишь вычислять члены фундаментальной (ква зифундаментальной) последовательности рациональных чисел;- в этом задании не содержится, вообще говоря, никакой информации об эффективной оценке скорости сходимости упомянутой ПРЧ (т. е. о регуляторе сходи мости в себе этой ПРЧ) . Ясно, что такое различие со держащейся в индивидуальном задании РР-чисел и F-чисел (квазичисел) информации приводит к сущест венной неравноценности этих объектов как исходных данных для тех или иных алгорифмов (ср. § 2 гл. 4). Что же касается псевдочисел, то, как будет показано ниже (§ 3 гл. 3), последовательность рациональных чи сел, извлекаемая из задания псевдочисла, может вообще

*) В качестве синонима этого термина в литературе исполь зуется часто термин «дуплекс».

**) Наши определения отличаются от соответствующих опреде лений Н. А. Шанина несущественными техническими деталями.

128

КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

(ГЛ. 2

не допускать никакой эффективной оценки скорости схо димости. Таким образом, можно привести пример псевдочисла, не являющегося F-числом (а следователь но, и квазичислом). Это псевдочисло не может быть, очевидно, дополнено до FR-числа * ) .

Несколько менее очевидна разница между ^-числа ми и квазичислами. В самом деле, непосредственно из определений 3 и 6 следует, что нельзя построить квази число, которое не являлось бы F-числом. Однако тогда

как	для	доказательства	того,	что	некоторое	слово Q
вида	£ « 3 0 ' г Д е а — ПРЧ, есть			F-число, нужно		постро
ить	регулятор фундаментальности а, для доказатель
ства	того, что Q — квазичисло,			достаточно лишь опро
вергнуть		предположение,	что такой		регулятор	невозмо

жен. Нетрудно привести примеры квазичисел, для которых в настоящее время неизвестно доказательство того, что они являются Р-числами * * ) . Другое различие между F-числами и квазичислами, также связанное с конструктивным пониманием математических сужде ний, можно пояснить следующим примером.

Пусть алгорифм 9Г переработает всякое натуральное

число в запись		ПРЧ,	а алгорифм 91 таков, что
		21 ( п ) = Г ( п ) 0 .
Обозначим		через	&~\ {ЗГ2)	множество	всех	слов в Ч,
являющихся ^-числами (квазичислами).					Для	доказа
тельства	утверждения: «алгорифм 91 является					алгориф
мом типа	(Зё->&~\)»		нужно	указать построение алго

рифма 93 такого, что при любом л алгорифм 23„ являет ся регулятором сходимости в себе той ПРЧ, записью которой является 91' (п). Для доказательства же утвер ждения, что 91 является алгорифмом типа ( ^ - v #~г),

достаточно лишь опровергнуть предположение, что			су
ществует л, при котором ПРЧ с записью 91'(я)		не	яв
ляется фундаментальной. Можно	построить алгорифм 91
так, что 91 является алгорифмом	типа (Ж-^^"2),	но не

*) Будет построено также псевдочисло, которое не равно (в не котором естественном смысле) никакому FR-чпслу.

**) Нетрудно, в частности, привести пример такого квазичисла, для которого решение этой задачи давало бы решение проблемы Ферма.

	ОСНОВНЫЕ		ОПРЕДЕЛЕНИЯ	129
является	алгорифмом	типа	(Ж-^&х)	(т. е. упомянутый
выше алгорифм 33 невозможен).
Мы	сосредоточим	основное внимание на понятии
FR-числа;	за FP-числами		мы сохраняем название «кон

структивное действительное число»*). Таким образом, ниже термин «конструктивное действительное число»

(КДЧ) понимается	как синоним термина	«FR-чнсло».
Множество слов	в алфавите Ч, являющихся	КДЧ, мы

обозначаем через 3). В качестве переменных по КДЧ будут использоваться буквы х, у, z, t, и, v (с индексами

или без	индексов).
Обозначим через Id алгорифм со схемой
			{->•			-
Очевидно, при любом Р е				Ч
		ld(P)-P.
Построим также		алгорифм			IcH1) (см. пример			6 п. 4
§ 1 гл. 1) так, что		при	любых			слозах	Р и Q в	алфа
вите Ч\		I d ( I )	(Р,	Q) =		P.
		I d ( I )	(Р,	Q) =		P.
О п р е д е л е н и е		8.	Пусть		г — рациональное			число.
Слово £ Й ^ З О Е И З		будем		называть			действительным
образом	г.

Очевидно, действительный образ любого рациональ ного числа есть КДЧ. Можно построить алгорифм Ф, перерабатывающий всякое рациональное число в его

действительный образ			и такой,	что	если Р е Ч не		яв
ляется	рациональным		числом,	то Ф(-Р) =г= Р.
Примем следующие			сокращенные		обозначения.
Если	х — К Д Ч	и	х = £аЗ О £РЗ> то через			х	и х
будут обозначаться		соответственно			алгорифмы	а и р .

Если же х— КДЧ и х является рациональным числом, то под х и х будут подразумеваться алгорифмы

иЩх].

*) Некоторые сведения о F-числах, квазичислах и псевдочислах

можно	найти в работах Ш а н и н а	[6], К у ш н е р а [4]—[5], К у ш-
н е р а	и Ц е й т и н а [1], Л и ф ш и ц а	[4].

бБ. А. Кушнер

130

КОНСТРУКТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

[ГЛ. 2

Очевидно, для любого рационального числа г при всяком натуральном п выполняется

г[п) == г,

г (п) = п.

Ниже вместо х(х(п)) мы будем часто использовать более короткую запись х„.

§ 3. Отношения равенства и порядка на множестве КДЧ

1. О п р е д е л е н и е

Будем

говорить,

что КДЧ

равно

КДЧ

у, и писать

х =

у,

если

при

любом

нату-

ральном

з>

\х(х(п))-у(у(п))

U < 2 - " + I

—

(обозначения

х и х

введены

предыдущем

параграфе").

О п р е д е л е н и е

Будем

говорить,

что КДЧ

больше

КДЧ

у, и писать

х >

у,

если

можно

найти

нату-

з>

ральное

число

п, при

котором

x(x(n))-y(y(n))>2~n+1.

Будем

говорить,

что х

меньше

у,

писать

х <

у,

если

имеет

место у >

х.

з>

Будем

говорить,

что КДЧ

не

О п р е д е л е н и е

меньше

(не

больше)

КДЧ

у,

писать

х^у

(соответ-

з>

ственно

х ^

у), если

неверно,

что х < у

(соответственно

неверно,

что х > у).

~] (х — у)

Вместо

записи

мы будем

использовать

запись хфу.

Индекс

«3)»

при знаках отношений

будет,

как

з>

опускаться.

правило,

Отметим,

что, в отличие

от

одноименных

отношений

над рациональными числами, все введенные только что отношения не являются разрешимыми.

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ КДЧ

131

Ниже будут изложены некоторые свойства отноше

ний равенства и порядка на КДЧ.

и у

2. Т е о р е м а

1. Для

любых

КДЧ х

х =

х;

у =

х.

х =

Теорема

1 легко следует из определения

Т е о р е м а

Пусть

х,

у — произвольные

КДЧ.

То

гда 1)

если

х =

У,

то

х>у;

если

у,

то

х =

х<у;

если

то

з>

х>у,

х>у;

если

х<у,

то

если

ЗУ

у,

то

х >

ХФУ,

если

то

х<у,

хфу.

1),

2),

5),

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждения

очевидны. Утверждение 4)

следует из утверждения 3).

Докажем утверждение 3). Пусть

(1)

х>у.

Предположим, что

(2)

х<у.

Тогда

по

определению

осуществимы

натуральные

числа тип

такие, что *)

(3)

x m - y m > 2 - m + i ,

(4)

Уп-ха>2-»+1.

Пусть

/ ^ т а х ( л : ( т ) ,

у{т)).

Тогда

(5)

\x(i)-xm\<2~m,

(6)

\y(i)-ym\<2~m.

Напомним,

что

через х„

мы

обозначаем

х (х(п)) (§

2).

Б*

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20235.79 Mб13Куцый П.Ф. Повелители молний.pdf
#
25.10.202312.79 Mб19Кучко А.С. Аэрофотография. Основы и метрология.pdf
#
25.10.202318.43 Mб47Кушманов И.В. Электронные приборы учеб. пособие.pdf
#
27.10.202319.55 Mб11Кушнарев Д.М. Использование энергии взрыва в строительстве.pdf
#
19.10.20232.48 Mб24Кушнарев, Ю. М. Авторулевой Печора учебное пособие для студентов судоводительского факультета.pdf
#
22.10.202314.87 Mб19Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf
#
24.10.202311.94 Mб20Кушнерев Н.Т. Программирование для ЭВМ Минск-32.pdf
#
25.10.202312.78 Mб21Кушнирская М.Ц. Крашение древесины в производстве мебели.pdf
#
27.10.202320 Mб7Кэтермоул К.В. Принципы импульсно-кодовой модуляции.pdf
#
23.10.20234.75 Mб13Лабинский Ю.В. Корабельные ядерные реакторы учеб. пособие.pdf
#
23.10.20238.6 Mб4Лабозин П.Г. Качество крупнопанельного домостроения.pdf