- •Расчётно-графическая работа № 3 на тему: «Сложное движение точки»
- •Решение:
- •Получить то же самое дифференциальное уравнение движения системы, используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.
- •Получить дифференциальное уравнение движения механической системы на основании общего уравнения динамики.
-
Получить то же самое дифференциальное уравнение движения системы, используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.
На систему действуют следующие внешние силы: силы тяжести – катка 1, – блока 2, – блока 3 и – цилиндра 4, – нормальная реакция груза 1, сила натяжения троса и вращающий момент .
Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: , где – сумма работ внутренних сил на элементарном перемещении (для этой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями: - сумма работ внешних сил на этом же перемещении, то есть .
Кинетическая энергия системы равна: , где – кинетическая энергия катка 1, движущегося плоско-параллельно; – кинетическая энергия цилиндра 2, вращающегося вокруг неподвижной оси; – кинетическая энергия цилиндра 3, вращающегося вокруг неподвижной оси; - кинетическая энергия цилиндра 4, движущегося плоско-параллельно.
Таким образом, получаем.
Выразим скорости центров масс и угловые скорости тел системы через линейную скорость катка 1 (составим уравнения связей). Мгновенный центр скоростей катка 1 находится в точке , а мгновенный центр скоростей цилиндра 4 – в точке . Находим
, но
, ,
но ,
.
Учитывая исходные данные, имеем
,
,
Подставляя все в выражение для кинетической энергии, получаем:
Найдем сумма элементарных работ внешних сил:
,
где , так как точки приложения сил тяжести цилиндров 2 и 3 – неподвижны; , так как эти силы приложены в мгновенных центрах скоростей соответствующих тел; ;
Так как соотношения между перемещениями, такие же как и между скоростями, то .
В результате получаем .
В итоге имеем следующее уравнение:
.
Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно S.
-
Получить дифференциальное уравнение движения механической системы на основании общего уравнения динамики.
Так как система приходит в движение из состояния покоя, то направления ускорений тел соответствуют направлениям их движения.
Будем считать, что движение системы таково, что каток 1 поднимается.
Покажем внешние силы: силы тяжести – катка 1, – блока 2, – блока 3 и – цилиндра 4, – нормальная реакция груза 1, сила натяжения троса и вращающий момент .
Приложим силы инерции. Сила инерции катка 1, совершающего плоско-параллельное движение, приводятся к вектору , где – ускорение центра масс катка 1 (точка А), и к паре сил, момент которой , где – угловое ускорение катка 1.
Силы инерции цилиндра 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , приводятся к паре, момент которой .
Силы инерции цилиндра 3, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , приводятся к паре, момент которой .
Сила инерции цилиндра 4, совершающего плоско-параллельное движение, приводятся к вектору , где – ускорение центра масс цилиндра 4 (точка В), и к паре сил, момент которой , где – угловое ускорение цилиндра 4.
Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения.
Составим общее уравнение динамики:
где – линейные перемещения центров тяжести цилиндров 1 и 4, и – углы поворотов цилиндров 1, 2, 3, 4.
Зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями. Поэтому выразим скорости центров масс и угловые скорости тел системы через линейную скорость катка 1 (составим уравнения связей).
Мгновенный центр скоростей катка 1 находится в точке , а мгновенный центр скоростей цилиндра 4 – в точке .
Находим
, но
, ,
но ,
.
Такие же зависимости и между возможными перемещениями
,,
и между ускорениями ,, .
Таким образом, общее уравнение динамики принимает вид:
Учитывая исходные данные, имеем
, ,
, ,
,
, ,
В результате общее уравнение динамики приобретает следующий вид:
или
Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно s.
-
Получить то же самое дифференциальное уравнение движения системы, составив для неё уравнения Лагранжа 2-го рода.
Данная механическая система имеет одну степень свободы, поэтому в качестве обобщенной координаты выберем перемещение центра масс катка 1, то есть , тогда . Уравнение Лагранжа 2 рода имеет вид: , где – кинетическая энергия системы, – обобщенная сила.
Таким образом, получаем , ,
Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно s.
-
Убедившись в совпадении результатов, полученных четырьмя независимыми способами, проинтегрировать дифференциальное уравнение движения системы, получив зависимость координаты точки от времени.
.
Так как система начинает двигаться из состояния покоя, то при
То есть
Так как при
.
Таким образом, получили следующую зависимость координаты точки от времени
-
Построить графики зависимостей и .
Построим график зависимости :
Построим график зависимости .
Данный график будет разным в зависимости от отношения .
Если , то график имеет вид
Если , то график имеет вид
Причем чем ближе отношение к 70, тем ближе вершина параболы к оси y и оси х, и тем больше график напоминаете предыдущий, а чем ближе отношение к 140, тем больше график напоминает тот, что расположен ниже.
Если , то график имеет вид
-
Определить натяжения тросов в начальный момент времени (при ).
При натяжения тросов найдем по формулам: