- •Расчётно-графическая работа № 3 на тему: «Сложное движение точки»
- •Решение:
- •Получить то же самое дифференциальное уравнение движения системы, используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.
- •Получить дифференциальное уравнение движения механической системы на основании общего уравнения динамики.
Расчётно-графическая работа № 1 на тему:
«Кинематическое исследование движения точки»
Исходные данные:
c.
Решение:
-
По заданным уравнениям движения точки определить траекторию и изобразить её на чертеже.
Для определения траектории точки выразим и , после чего возведем выражения в квадрат и затем их сложим:
,
Таким образом, получили, что траектория точки – это эллипс с центром в точке и полуосями м, м.
-
Определить проекции вектора скорости на координатные оси и модуль вектора скорости.
;
.
-
Определить проекции вектора ускорения на координатные оси и модуль вектора ускорения.
-
Вычислить и изобразить на чертеже начальное положение точки, вектор начальной скорости и вектор начального ускорения.
Найдем начальное положение точки в момент времени c:
рад;
м;
м;
Проекции и модуль вектора скорости в начальный момент времени c:
м/с;
м/с;
м/с.
Проекции и модуль вектора ускорения в начальный момент времени c:
м/с2
м/с2;
м/с2.
-
Выбрать начало и направление отсчёта дуговой координаты и получить закон изменения дуговой координаты со временем.
В качестве начала отсчёта дуговой координаты возьмем точку , направление отсчёта – против хода часовой стрелки.
Изменение дуговой координаты по времени можно найти следующим образом: .
Так как начало отчета мы совместили с точкой , то при c: .
Таким образом, или , где .
-
Вычислить касательное и нормальное ускорения точки.
Касательное ускорение точки:
Нормальное ускорение точки:
где - радиус кривизны траектории движения точки выводится из уравнения эллипса
,
.
-
Построить графики зависимости от времени дуговой координаты, проекции вектора скорости на касательную, касательного ускорения и пройденного пути.
График зависимости от времени дуговой координаты
:
График зависимости от времени проекции вектора скорости на касательную :
График зависимости от времени касательного ускорения :
График зависимости от времени пройденного пути
-
Для заданного момента времени определить декартовы и дуговую координаты точки, вектор скорости, вектор ускорения и все его проекции. Полученные результаты изобразить на чертеже.
Найдем положение точки в заданный момент времени c:
рад;
м;
м;
м.
Проекции и модуль вектора скорости в заданный момент времени c:
м/с;
м/с;
м/с.
Найдем направляющий косинус вектора скорости (угол, который образует вектор скорости с положительным направлением оси х)
Проекции и модуль вектора ускорения в заданный момент времени c:
м/с2
м/с2;
м/с2.
Найдем направляющий косинус вектора ускорения (угол, который образует вектор ускорения с положительным направлением оси х):
.
Касательное и нормальное ускорения в заданный момент времени c:
м/с2;
м
м/с2.
Расчётно-графическая работа № 3 на тему: «Сложное движение точки»
По ободу диска радиуса движется точка . Уравнение движения задано в таблице; там же указано начало отсчёта дуговой координаты . Положительное направление отсчёта – по ходу часовой стрелки, если смотреть навстречу оси . Уравнение вращения диска задано в таблице. Положительным направлением вращения считается направление против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения . Для момента времени с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки .
Исходные данные: , , c.
Найти: абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени c.
Решение:
Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью диска. Положение точки М на диске определяется расстоянием .
При с: . Найдем угол, на который повернулся радиус при движении точки М по окружности: рад.
Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей: .
Модуль относительной скорости , где
При с: ; .
Положительный знак у показывает, что вектор направлен в сторону положительных значений , перпендикулярно радиусу окружности, то есть вертикально вниз.
Модуль переносной скорости , где – радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М, ; - модуль угловой скорости тела: .
При с: ; .
Положительный знак у величины показывает, что вращение диска происходит вокруг оси в сторону отсчета угла . Поэтому вектор направлен по оси , перпендикулярно плоскости рисунка на нас (параллельно оси z).
Таким образом, модуль переносной скорости при с равен
.
Вектор направлен перпендикулярно радиусу в сторону вращения.
Модуль абсолютной скорости точки М находим способом проекций:
или .
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений: , или в развернутом виде .
Модуль относительного касательного ускорения , где
.
При с: ; .
Отрицательный знак показывает, что вектор направлен в сторону отрицательных значений , перпендикулярно радиусу окружности, то есть вертикально вверх. Знаки и не одинаковы; следовательно, относительное движение точки М замедленное.
Относительное нормальное ускорение , то есть при с:
.
Вектор направлен к центру диска, то есть горизонтально влево.
Модуль переносного вращательного ускорения , где – модуль углового ускорения диска: .
При с: ; .
Таким образом, получаем .
Модуль переносного центростремительного ускорения или
.
Вектор направлен к центру вращения .
Кориолисово ускорение . Модуль кориолисова ускорения , где .
С учетом найденных выше значений и получаем при с: .
Вектор направлен согласно правилу векторного произведения, то есть перпендикулярно одновременно векторам , в ту сторону, откуда поворот от к виден против хода часовой стрелки, то есть вдоль оси x вправо.
Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций:
;
;
;
.
Ответ: , .
Расчётно-графическая работа на тему:
«Динамическое исследование движения механической системы»
Механическая система состоит из четырёх цилиндров, связанных между собой нерастяжимыми тросами. Каток 1 массы радиуса катится без скольжения по неподвижной плоскости, наклонённой под углом к горизонту. Блоки 2 и 3 – одинаковые сплошные однородные сдвоенные цилиндры массы с внутренним радиусом и наружным радиусом . Даны моменты инерции цилиндров:
Система приводится в движение из состояния покоя моментом , приложенным к катку 1.
Исходные данные:
При выполнении задания необходимо:
-
Используя общие теоремы динамики, составить систему уравнений, описывающих движение заданной механической системы. Исключая из этой системы уравнений внутренние силы, получить дифференциальное уравнение, служащее для определения зависимости координаты точки от времени – дифференциальное уравнение движения системы.
Рассмотрим каток 1 и составим для него два уравнения, воспользовавшись двумя теоремами – теоремой о движении центра масс в проекции на ось
и теоремой об изменении кинетического момента: , где , , то есть второе уравнение имеет вид .
Рассмотрим цилиндр 2 и составим для него одно уравнение, используя теорему об изменении кинетического момента: , где , то есть .
Рассмотрим цилиндр 3 и составим для него одно уравнение, используя теорему об изменении кинетического момента – , где , то есть .
Рассмотрим цилиндр 4 и составим для него два уравнения, воспользовавшись двумя теоремами – теоремой о движении центра масс в проекции на ось
и теоремой об изменении кинетического момента: , где , , то есть второе уравнение имеет вид .
Таким образом, получили систему из 6 уравнений:
Исключим из этой системы уравнений внутренние силы и выразим все кинетические характеристики через ускорение центра масс катка 1 - , воспользовавшись равенствами: ,, (подробнее о кинематических зависимостях написано в п.2 и п.3). При выводе уравнения использовали, что , , . В каждом уравнении выразили силы натяжения, а затем все уравнения сложили, в результате получили
.
Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно S.