16. Приведение сил и масс в механизмах. Определение момента инерции маховика

Машинный агрегат. Приведение сил масс в механизмах. Энергетическая и дифференциальная формы уравнения движения. Частные случаи интегрирования.

16.1. Приведение сил и масс в механизмах

Система, состоящая из двигателя, передаточного механизма и исполнительного органа (рабочей машины), как было уже сказано в начале курса, называется машинным агрегатом. Машинный агрегат является многозвенным механизмом, а его динамический расчет трудоемким. Для упрощения динамического анализа сложного механизма реальный многозвенный механизм условно заменяют одним звеном, связанным со стойкой, называемым звеном приведения, с приведенными силовыми и инерционными характеристиками.

Приведенной силой (моментом) называется такая сила (момент),которая будучи приложенной к звену приведения развивает такую же мощность, что и все силы и моменты, приложенные к исходному механизму. Приведенной массой (моментом инерции) называется такая масса (момент инерции) звена приведения, которая обладает кинетической энергией равной кинетической энергии всего механизма.

Таким образом, условием приведения сил и моментов является равенство мощностей исходного механизма N_и и звена приведения N_п; условием приведения масс и моментов инерции является равенство кинетических энергий исходного механизма T_и и звена приведения T_п. Из этих условий получаем соответствующие выражения.

Пусть звеном приведения будет ползун, к которому приложена приведенная сила F_п. Если ползун движется со скоростью V_п, то мощность приведенной силы будет равна

.

Если к каждому звену i механизма приложены внешние сила F_i и момент M_i, то мощность всех этих сил и моментов равна

где - скорость точки приложения силы;- угол между векторами силы и скорости;- угловая скорость движения звена.

Из равенства этих мощностей получаем выражение для приведенной силы

(16.1)

Рассуждая аналогично при звене приведения кривошипе, вращающемся с угловой скоростью и к которому приложен приведенный момент, развивающий мощность звена приведения

получаем выражение для определения приведенного момента

(16.2)

Таким образом, мы получили силовые характеристики звена приведения. Найдем теперь его инерционные характеристики, воспользовавшись понятием кинетической энергии: поступательно движущаяся со скоростью массаобладает кинетической энергиейа звено с моментом инерцииотносительно центра масс и скоростью вращенияобладает кинетической энергиейУчитывая эти выражения, запишем сразу кинетическую энергию звена приведения и всего механизма отдельно для случаев звена приведения в виде ползуна и в виде кривошипа:

(16.3)

Из этих равенств получаем выражения для приведенной массы и приведенного момента инерции:

(16.4)

(16.5)

Сравним выражения (16.1) и (16.4), а также (16.2) и (16.5). Они очень похожи, но в формулах (16.4) и (16.5) отношение скоростей во второй степени, а в формулах (16.1) и (16.2) - в первой. Действительно, масса и момент инерции являются скалярами и могут иметь только положительное значение, а сила и момент силы являются векторами и могут быть как положительными, так и отрицательными. Это замечание неплохо иметь в виду для проверки получаемых результатов.

Решим задачу №278 из задачника Артоболевского [ ].

278. К зубчатым колесам 1 и 3 редуктора приложены моменты М₁=8Нм и М₃=10Нм. Определить угловое ускорение ₁ первого колеса, если моменты инерции колес равны I₁=0,01кгм², I₂=0,0064кгм², I₃=0,04кгм² и числа зубьев колес равны z₁=20, z₂=16, z₃=40.

Рис. 16.1 Схема редуктора к задаче 278

Для решения задачи воспользуемся понятием звена приведения и в качестве него выбираем первое колесо: оно будет иметь приведенный момент инерции и к нему будет приложен приведенный момент. Угловое ускорение первого колеса равно угловому ускорению звена приведения. Закон движения звена приведения в данной задаче можно использовать в виде

,

откуда Таким образом, для решения задачи необходимо найти приведенный момент и приведенный момент инерции. Момент находим из условия равенства мощностей приведенного момента и моментов исходного механизма:

,

откуда

Здесь сделаем два пояснения: а) перед вторым членом знак минус, так как моменты направлены в разные стороны; и б) отношение скоростей (передаточное отношение) равно обратному отношению чисел зубьев со знаком плюс, так как в схеме два внешних зацепления и второе колесо паразитное не влияет на величину передаточного отношения.

Подставляя в полученное выражение соответствующие исходные данные, получаем

Теперь найдем приведенный момент инерции из условия равенства кинетических энергий звена приведения и исходного механизма:

,

откуда

Здесь отношение чисел зубьев в квадрате и поэтому знак отношений можно не учитывать. Подставляя в полученное выражение соответствующие исходные данные, получаем

Теперь легко определить угловое ускорение первого колеса:

Задача решена. Можно обратить Ваше внимание на то, что использовались не готовые формулы (4) и (5), а условия приведения момента и момента инерции. Такой подход, на мой взгляд, более продуктивен с точки зрения конечного результата.