Лекция 10. Системы линейных алгебраических уравнений
1. О совместности системы
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными:
(1)
Положим
.
Здесь A – матрица системы, х – неизвестный вектор, b – вектор правых частей.
Матрично-векторная запись системы:
.
Система, имеющая хотя бы одно решение х, называется совместной, в противном случае – несовместной.
Обозначим
– столбцы матрицы А. Тогда систему можно записать в виде:
.
Из этой записи видно, что решить систему – значит представить вектор b как линейную комбинацию столбцов А1, ..., Аn матрицы А, причем х1, ..., хn – коэффициенты этой линейной комбинации. Это представление возможно, если добавление вектора b к столбцам А1, ..., Аn не повышает ранга системы столбцов. Значит, совместность системы (1) эквивалентна тому, что расширенная система векторов {А1, ..., Аn, b} имеет тот же ранг, что и система {А1, ..., Аn}.
Сформулируем то же самое на языке матриц. Введем матрицу
,
т.е. добавим к А столбец b.
Назовем расширенной матрицей. Из сказанного выше вытекает:
Теорема 1 (Кронекера–Капелли). Система (1) совместна тогда и только тогда, когда (т.е. ранги матрицы системы и расширенной матрицы совпадают).
Пример. Решить систему
Запишем расширенную матрицу и вычислим ее ранг (и одновременно ранг матрицы системы А).
система несовместна.
Действительно, последнее уравнение в новой системе, соответствующее последней строке матрицы, имеет вид:
3 (1')
– решений нет.
2. Однородная и неоднородная системы
Если , система (1) называется неоднородной. Соответствующая однородная система имеет вид:
(2)
или, коротко
.
Однородная система всегда совместна, поскольку всегда имеет нулевое решение
Вопрос лишь в том, единственно ли это решение, и если нет, что собой представляет множество всех решений?
Теорема 2. Множество всех решений однородной системы является подпространством в Rn.
Доказательство. Если х0 – решение, т.е. , и– число, то– тоже решение, ибо. Кроме того, еслих1 и х2 – решения, т.е. , то и– решение, ибо.
Между решениями однородной и неоднородной систем имеется простая связь.
Теорема 3. Решение однородной системы плюс решение неоднородной системы есть решение неоднородной системы.
Доказательство. Пусть х0 и х1 таковы, что . Тогда.
Теорема 4. Разность двух решений неоднородной системы есть решение однородной.
Доказательство.
.
С помощью теорем 2–4 можно понять, как устроено множество решений неоднородной системы . Надо взять подпространство
решений однородной системы и «сдвинуть» его на произвольный вектор х1 – решение неоднородной системы, т.е. такой, что . Получим множество
,
состоящее из всех векторов вида , где– произвольное решение однородной системы. (Множествоне зависит от того, какое «частное» решениех1 однородной системы мы возьмем.) Этот факт формулируют следующим образом: общее решение неоднородной системы есть частное решение неоднородной системы плюс общее решение однородной. Имеется ввиду, что если частное решение неоднородной х1 фиксировано, а х0 «пробегает» все множество решений однородной системы, то сумма «пробегает» все множество решений неоднородной системы.
Сначала мы научимся находить общее решение однородной системы, а затем – общее решение неоднородной.