Клашанов Федор Константинович
Лекция №1 12.02.13
Испытания и события
Событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти либо не произойти.
Совокупность условий S осуществлена или равносильна, произведено иcспытание.
Событие будем рассматривать как результат испытания.
Пример:
Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 области.
Выстрел – испытание.
Попадание в определенную область мишени - событие.
Результат испытания – элемент выборки, а множество всех возможных элементов определяет выборочное пространство.
Событием называется подмножество выборочного пространства.
Элементарное (простое) событие - один элемент выборочного пространства.
Сложное событие – состоит более чем из одного элемента.
Графически выборочное пространство можно представить деревом событий
Пример:
В урне имеются цветные шары, из них на удачу берут 1 шар.
Излечение шара из урные – испытание.
Появление шара определенного цвета – событие.
Виды случайных событий
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном итом же испытании.
Пример:
Брошена монета.
Появление “герба” исключает появление “надписи”.
События – появился “герб” и появилась “надпись” – несовместны.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Появление хотя бы одного из событий полной группы – достоверное событие.
Если события, образующие полную группу попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
Классическое определение вероятности
Вероятность :
число, характеризующее степень возможностей появления события.
количественный способ учета неопределенности.
Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу называют вероятностью события А.
m – число благоприятствующих событию А;
n – общее число.
Примечание:
Предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.
Свойства вероятностей
вероятность достоверного события = 1
вероятность невозможного события = 0
вероятность случайного события – положительное число от 0 до 1
Относительная частота
принадлежит к основным понятиям теории вероятности.
Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.
m – число появления события;
n – общее число испытаний;
Чем больше n, тем больше W стремится к P.
Определение вероятности не требует проведения испытания в действительности, т.е. не вероятность вычисления до опыта, а относительную частоту после опыта.
Из наблюдения следует, что если в одинаковых условиях произведены опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.
Теорема сложения вероятностей
Суммой A+B называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих этих событий, т.е. появление хотя бы одного из этих событий.
Теорема:
Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Доказательство:
доказать методом полной математической индукции.
Если число несовместных событий, входящих в сумму будет бесконечно большим, то распространение правила сложения вероятностей на этот случай распространяется аксиоматически.
Аксиома:
Вероятность суммы бесконечно большого числа несовместных событий = сумме вероятностей этих событий.
Следствия:
если события
образуют полную группу несовместных
событий, то сумма их вероятностей равна
1.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
