9.3 Определение границ действительных корней

ПОЛИНОМА ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА.

Положим, что при x = β (β=0) все коэффициенты bi в схеме Горнера неотрицательны, причем первый коэффициент положителен, т.е.

b₀ = a₀ > 0 и b_i>0 (i=1,2,…,n)

Тогда можно утверждать, что все действительных корней x_k полинома f(x) расположены не правее β, т.е. x_k ≤ β (см. рис.)

В самом деле, так как f(x) = (b0xn-1 + … + bn-1)(x – β) + bn,

то при любом x>β будем иметь f(x)>0. Таким образом, имеем верхнюю оценку для действительных корней x_k полинома.

Для получения нижней оценки корней x_k составляем полином

(–1)ⁿf(–x) = a₀xⁿ – a₁x^n-1 + … + (–1)ⁿa_n

Для этого нового полинома находим такое число x = α (α>0)? Чтобы все коэффициенты в схеме Горнера были неотрицательны. Тогда согласно предыдущих рассуждений для действительных корней полинома (–1)ⁿf(–x), равных (–x_k), имеем неравенство –x_k ≤ α, т.е. x_k ≥ –α – это и будет нижняя граница (–α) действительных корней полинома f(x).

Отсюда следует, что все действительные корни полинома f(x) расположены на отрезке [–α, β].

ПРИМЕР. Найти границы действительных корней полинома

F(x) = x4 – 2x3 + 3x2 + 4x – 1

РЕШЕНИЕ. Подсчитаем значение полинома f(x), например, при x = 2. Пользуясь схемой Горнера, получим:

+	1 – 2 + 3 + 4 – 1	2
	2 0 6 20
	1 0 3 10 19 =f(2)

Так как все коэффициенты bi≥0, то действительные корни x_k полинома f(x) удовлетворяют неравенству x_k < 2 – это и есть верхняя граница.

Для оцени нижней границы составим новый полином:

f’(x) = (–1)⁴ f(–x) = x⁴ + 2x³ + 3x² – 4x – 1

Подсчитаем значение полинома f’(x)? например, при x = 1:

+	1 2 3 –4 – 1	1
	1 3 6 2
	1 3 6 2 1 =f’(1)

Все коэффициенты bi>0, значит, –x_k < 1, т.е. x_k > –1.

Итак, все действительные корни данного полинома находятся внутри отрезка [ –1 ; 2 ].

70