5.3 Метод средних.

Этот метод заключается в том, что параметры a_i эмпирической зависимости

y = φ(x_i;a₀,a₁,…,a_n)

определяются из условия равенства нулю суммы отклонений ее от табличных значений y во всех точках x_i

Поскольку из уравнения (5.1) нельзя однозначно определить n+1 коэффициент эмпирической формулы φ(x,a_i), то уравнение (5.1) путем группировки отклонений ε_i, разбивается на систему, состоящую из m+1 уравнений. Например:

Решая систему (5.2), находим неизвестные параметры a_i.

Пример. Рассмотрим торможение движущегося тела.

t,с	0	5	10	15	20	25
S,м	0	106	182	234	261	275

Считая движение равнозамедленным, найти приближенные значения скорости V₀ и ускорения a.

Решение. Согласно физическому смыслу уравнение движения имеет вид следующей эмпирической формулы:

x = At² +Bt + C

Из таблицы видно, что при t=0 x=0, следовательно, C=0, тогда:

x = At² + Bt

Воспользуемся методом средних и запишем уравнения для всех точек, кроме начальной:

ε₁+ ε₂+ ε₃+ ε₄+ ε₅=0

Путем расщепления этого уравнения запишем систему двух уравнений:

Используя выражение x = At² + Bt и табличные данные, получим:

A = –0,30; B = 39,07

Формула, дающая приближенную связь между пройденным расстоянием и времени имеет вид:

x = –0,30t² + 39,07t

Сравнивая это уравнение с уравнением

x = + V₀t,

получим:

a = 2A = –0,60 , V₀ = 39,07 .

5.4 Метод средних.

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x₀, x₁, …, x_n

Поскольку здесь параметры эмпирической формулы a₀, a₁, …, a_m выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим параметрам:

= 0; = 0; …; = 0

Это и есть система уравнений для определения коэффициентов a₀, a₁, a₂, …

Рассмотрим применение этого метода на примере эмпирической функции:

φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m

Тогда:

…………………………………………………………….

Приравниваем эти выражения нулю и, собирая коэффициенты a₀, a₁, …, a_m, получаем следующую систему:

Решая эту систему, получим искомые параметры эмпирической формулы. Систему можно записать в более компактном виде.

Введём обозначения:

Получим:

b₀₀a₀ + b₀₁a₁ + … + b_0ma_m = c₀

b₁₀a₀ + b₁₁a₁ + … +b_1ma₁ = c₁

...................................................

b_m0a₀ + b_m1a₁ + … + b_mma_m = c_m

ПРИМЕР. Вывести эмпирическую формулу для функции y=f(x) заданной таблицей, используя метод наименьших квадратов.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Эти данные изобразим на графике, из которого видно, что в качестве функции y= f(x), можно принять квадратный трехчлен:

m = 0 1 2

y = φ(х) = a_{0 +} a₁х ₊ a₂х²

В данном случае m=2, n = 4 и система уравнений (5.4) примет вид:

b₀₀a₀ + b₀₁a₁ + b₀₂a₂ = c₀

b₁₀a₀ + b₁₁a₁ + b₁₂a₂ = c₁

b₂₀a₀ + b₂₁a₁ + b₂₂a₂ = c₂

Коэффициенты системы вычисляются по формулам (5.3):

Система уравнений записывается в виде:

5a₀ + 11,25a₁ + 30,94a₂ = 11,35

11,25a₀ + 30,94a₁ + 94,92a₂ = 29,00

30,94a₀ + 94,92a₁ + 309,76a₂ = 90,21

Отсюда находятся значения параметров эмпирической формулы:

a₀ = 5,54; a₁ = –4,73; a₂ = 1,19

В результате получим эмпирическую формулу:

φ(x) = 5,54 – 4,73x + 1,19x²

Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках:

σy_i ==

x	φ(x)	y	△y	σy
0,75	2,66	2,50	0,16	0,064
1,50	1,12	1,20	-0,08	-0,067
2,25	0,92	1,12	-0,20	-0,179
3,00	2,06	2,25	-0,19	-0,084
3,75	4,54	4,28	0,26	0,061

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 5

С помощью метода наименьших квадратов определить коэффициенты а₀, а₁, а₂ полинома второй степени

y = φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x²

аппроксимирующего функцию, заданную таблицей 5, вычислить значение функции в точке х^*

ТАБЛИЦА 5

	0,1,2			3,4,5,6			7,8,9
	Х	У	Х*	Х	У	Х*	Х	У	Х*
0, 1	0,2 0,3 0,8 1,2 1,8	2,2 2,1 1,9 1,8 1,7	0,4	2,0 4,0 6,0 8,0 10,0	5,3 4,2 3,3 1,2 1,4	3,0	1,9 2,5 3,0 3,6 4,0	7,6 7,8 7,9 8,0 8,2	2,0
2, 3	1,2 1,3 1,5 1,6 1,8	2,3 2,9 3,4 3,5 3,4	3,0	2,2 2,1 1,9 1,8 1,4	6,1 5,7 5,2 4,7 3,7	2,0	0,5 1,0 1,5 2,0 2,5	1,5 1,4 1,2 1,0 0,9	1,3
4, 5	0,8 0,9 1,0 1,1 1,2	6,1 7,2 8,5 9,9 1,1	0,7	0,0 0,5 1,0 2,0 2,2	2,4 2,3 2,0 5,4 6,3	0,7	-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0	-0,7 0,0 0,5 0,8 0,9	-1,5
6, 7	1,0 2,0 3,0 4,0 5,0	1,1 1,5 2,0 2,6 3,3	2,5	6,0 3,0 1,5 1,0 0,7	4,8 3,2 2,1 1,7 1,4	2,0	1,0 2,0 3,0 4,0 5,0	1,0 1,9 2,4 3,2 3,9	2,5
8, 9	0,0 1,0 2,0 3,0 4,0	1,7 1,6 1,3 1,1 1,0	1,5	0,6 0,8 1,1 1,4 1,8	0,2 0,6 1,2 1,8 2,6	0,9	0,0 2,0 4,0 6,0 8,0	0,6 0,9 1,4 2,0 2,8	3,0

ПРИМЕР

Определите методом наименьших квадратов коэффициенты а₀, а₁, а₂ полинома, аппроксимирующего в 5-ти точках функцию, заданную таблицей и вычислить значение функции в точке Х^*=2,5

n	0	1	2	3	4
x	1	2	3	4	5
y	1,5	1,2	1,0	0,8	0,7

Р

m = 0 1 2

ЕШЕНИЕ. В качестве функции можно принять квадратный трехчлен

y = φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x²

В данном случае m=2, n=4.

Запишем систему уравнений для расчета коэффициентов а₀, а₁, а₂ для функции, заданной в 5 точках n=0, 1, 2, 3, 4.

b₀₀а₁ + b₀₁а₁ + b₀₂а₂ = с₀

b₁₀а₀ + b₁₁а₁ + b₁₂а₂ = с₁

b₂₀а₀ + b₂₁а₁ + b₂₂а₂ = с₂

Вычислим величины

b₀₀= + + + + = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

b₀₁ = + + + + = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

b₀₂ = + + + + = 1 + 49 + 16 + 25 = 55

b₁₀ = b₀₁ = 15

b₁₁ = b₀₂ = 55

b₁₂ = + + + + = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 118 + 27 + 64 + 125 = 255

b₂₀ = b₁₂ = 55

b₂₁ = b₁₂ = 255

b₂₂ = + + + + = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + 5⁴ = 1 + 16 + 81 + 256 + 625 = 979

Вычислим величины

С₀ = + + + + = 1⁰∙1,5 + 1⁰∙1,2 + 1⁰∙1.0 + 1⁰∙0,8 + 1⁰∙0,7 = 1,5 + 1,2 + +1,0 + 0,8 + 0,7 = 5,2

С₁ = + + + + = 1∙1,5 + 2∙1,2 + 3∙1,0 + 4∙0,8 + 5∙0,7 = 1,5 + 2,4 + 3,0 + 3,2 + 3,5 = 13,6

С₂ = + + + + = 1²∙1,5 + 2²∙1,2 + 3²∙1,0 + 4²∙0,8 + 5²∙0,7 = 1,5 + 4,8 + +9 + 12,8 + 17,5 = 45,6

Подставим полученные числа в систему.

5а₀ + 15а₁ + 55а₂ = 5,2

15а₀ + 55а₁ + 225а₂ = 13,6

55а₀ + 225а₁ + 979а₂ = 45,6

Решим эту систему методом Гаусса.

Прямой ход. Переводим систему к треугольному виду. Исключим а₀ из второго и третьего уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 5:

а₀+3а₁+11а₂=1,04

Затем это уравнение умножим на 15 и результат вычтем из второго, затем умножим на 55 и вычтем из третьего. Получим систему:

а₀ + 3а₁ + 11а₂ = 1,04

+10а₁+ 60а₂ = –2

60а₁+ 374а₂ = –11,6

Затем умножаем второе уравнение на 6 и вычтем из третьего уравнения. В итоге избавляемся в третьем уравнении от а₁. Получим систему:

а₀ + 3а₁ + 11а₂ = 1,04

10а₁ + 60а₂ = –2

14а₂ = 0,4

В результате получены а₀ = 1,84;

а₁ = –0,37

а₂ = 0,03

Запишем функцию:

y = 1,84 – 0,37х + 0,03х²

Значение функции в точке Х^*=2,5

у(2,5) = 1,84 – 0,37 ∙ (2,5) + 0,03 ∙ (2,5)² = 1,1