Шифр: Б2.в.4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

КУРС ЛЕКЦИЙ

МОСКВА 2010

ВВЕДЕНИЕ

При исследовании реальной системы (объекта) обычно систему представляют в виде математической модели, что позволяет использовать для ее исследования различные математические методы. Для исследования системы по е математической модели необходимо найти вычислительный метод, приводящий к решению поставленной задачи. Рассмотрению совокупности вычислительных методов и посвящена дисциплина «Вычислительная математика».

Вычислительная математика играет важную роль в естественно-научных, инженерно-технических и экономических исследованиях.

Реально на практике мы работаем с дискретностью: конечным множеством экспериментально полученных данных, дискретным описанием непрерывных процессов, что широко используется для решения многих прикладных задач. Это дает возможность разрабатывать эффективные машинные алгоритмы решения задач. Владение основными понятиями и теоретическими результатами дисциплины «Вычислительная математика» является необходимым условием подготовки квалифицированного инженера.

Ниже рассматриваются основные математические методы, применяемые в инженерной практике при создании и исследовании систем (объектов).

Материал приводится в виде курса лекций, включающего в себя девять разделов. Для некоторых из разделов студент выполняет свой вариант контрольного задания на самостоятельную работу. Индивидуальное задание студента находится по последней паре цифр номера зачетной книжки. Строка выбирается по предпоследней цифре зачетной книжки, а столбец таблицы выбирается по последней цифре номера зачетной книжки. Например, зачетная книжка № 432074. Задание находится в строке 7 и столбце 4 таблицы задания на самостоятельную работу.

Цель дисциплины – дать студентам необходимые знания для работы с формальным математическим аппаратом, обучить стандартным методам и приемам приближенного решения прикладных задач.

При изучении дисциплины используются знания, навыки и умения, приобретенные студентами в процессе изучения общего курса высшей математики.

В результате изучения дисциплины «Математика: вычислительная математика» студенты должны:

- ЗНАТЬ теоретические основы и методы, используемые для приближенного решения прикладных задач.

- УМЕТЬ использовать полученные знания при построении и описании моделей реальных процессов, при разработке методов и алгоритмов решения прикладных задач.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

1. Математические модели, их создание

И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ

1.1 Этапы решения задачи на компьютере.

При решении задачи на компьютере основная роль все-таки принадлежит человеку. Машина лишь выполняет его задания по разработанной программе. Широкое внедрение математики во все сферы жизни вызвано необходимостью анализа и прогнозирования явлений и процессов. Для осуществления указанных целей, прежде всего необходимо разработать математическую модель рассматриваемого явления. Математическая модель – то описание наиболее существенных свойств и особенностей явления на языке математических понятий и уравнений.

Схема исследования технической задачи представлена на рисунке:

Техническая задача Математич. модель Математич. метод Алгоритм Вычисление на ЭВМ Программа

Построение модели задачи начинается выделения его наиболее существенных черт и свойств и описания их с помощью математических соотношений. Математическая модель, основанная на упрощении, идеализации, не тождественна реальному явлению, а является его приближенным описанием. Однако благодаря замене реального объекта приближенной моделью становится возможным его математическое описание. Математика позволяет провести детальный анализ рассматриваемого явления, предсказать его поведение в различных условиях и в будущем.

Как правило, приходится использовать наряду с точными методами и приближенные методы, обеспечивающие получение результата с заданной точностью. Поэтому важной задачей по выбору вычислительного метода является оценка погрешности решения. Процесс решения задачи согласно выбранному методу описывается в виде алгоритма. После анализа результатов разработчик сопоставляет их с поставленной задачей и, если необходимо, меняет модель, метод, алгоритм и программу. Цикл, показанный на рисунке, повторяется до тех пор, пока цель не будет достигнута.

Основным критерием истины является эксперимент. Только практика позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них наиболее простую и достоверную, указать области применимости различных моделей и направление их совершенствования.

1.2 Примеры используемых подходов

И РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ.

Рассмотрим развитие модели на примере известной задачи баллистики об определении траектории тела, выпущенного с начальной скоростью V₀ под углом x₀ к горизонту.

Для начала предположим, что скорость V₀ и дальность полета тела небольшие. Тогда для данной задачи будет справедлива математическая модель Галилея, основанная на следующих допущениях:

1) Земля – инерциальная система;

2) ускорение свободного падения g = const

3) сопротивление воздуха отсутствует.

В этом случае составляющие скорости V движения тела по осям X и Y равны (см. график к траектории полета тела).

V_x=V₀cosα₀, V_y=V₀sinα₀ – gt, а их пути являются функциями времени.

X= V₀tcosα₀; Y= V₀tsinα₀ – , где t – время движения.

Определяя t из первого уравнения t= и подставляя его во второе, получаем уравнение траектории тела, представляющего собой параболу

Из условия y=0 получаем дальность полета тела

Однако, как показывает практика, результаты, получаемые на основе этой модели, оказываются справедливыми лишь при малых скоростях движения тела. С увеличением скорости V₀ дальность полета становится меньше величины, даваемой формулой (1). Такое расхождение эксперимента с расчетной формулой (1) говорит о неточности модели Галилея, не учитывающей сопротивление.

Дальнейшее уточнение модели баллистической задачи было сделано Ньютоном. Это позволило с достаточной точностью рассчитать траектории движения пушечных ядер, выстреливаемых со значительными начальными скоростями.

Переход от гладкоствольного к нарезному оружию позволил увеличить скорость, дальность и высоту полета снарядов, что вызвало дальнейшее уточнение математической модели задачи. В новой математической модели были пересмотрены все допущения, принятые в модели Галилея. Земля уже не считалась плоской и инерциальной системой, а сила земного притяжения не принималась постоянной.

Последующее совершенствование математической модели задачи связано с использованием методов теории вероятности.

В результате последовательных уточнений была создана математическая модель, наиболее точно описывающая задачу внешней баллистики. Совпадение ее данных с результатами стрельб показало хорошее совпадение.

Хорошим и наглядным примером является разработка и внедрение математической модели полета самолета для различных целей.

На этих примерах показаны этапы создания, развития и уточнения математической модели объекта, которые сопоставляются постоянно сопоставлением и проверкой практикой. Именно недостаточно хорошее совпадение результатов, предоставляемых моделью, с объектом вызывает дальнейшее совершенствование модели.

Наконец отметим, что выбор конкретной математической модели для ее анализа необходимо производить из условия обеспечения достаточной точности и простоты модели. При этом всегда следует помнить, что нельзя стрелять из пушки по воробьям, т.е. не следует использовать очень точную и сложную модель, когда требуется небольшая точность результатов.