TPI_slaydy
.pdf
4.3. Редукция кинетического уравнения к интегральному
|
|
r r |
r |
r |
r |
|
|
|
1 |
|
∂ϕ(r , Ω, t) |
|
|
|
|||
|
+ Ω ϕ |
(rr, Ω, t) +Σ(rr) ϕ(rr, Ω, t) |
= |
|
|
|||
v |
∂t |
|
|
|||||
|
|
r r r r′ |
r r |
′ |
′ |
r r |
||
|
|
|
= ∫ |
|||||
|
|
|
ΣS (r ) g(r , Ω Ω |
) ϕ(r , Ω , t) dΩ |
+ q(r , Ω, t) |
|||
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
I. Правая часть (изотропность источников и рассеяния)
q(rr, t)= ∫q(rr, Ω, t)dΩ = q(rr, Ω, t) ∫dΩ = 4π q(rr, Ω, t)
4π 4π
|
r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q(rr, Ω,t)= |
q(rr, t) |
|
||||||
4π |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
|
|
|
Теория переноса излучения |
||
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая часть КУ
|
r r |
r′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
(r , Ω, Ω )= |
|
|
|
изотропность рассеяния |
|
||||||||
4π |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ΣS (rr) |
|
|
|
|||
∫ |
r |
r |
r r |
′ |
r r′ |
′ |
|
|
r |
r′ |
′ |
|||
ΣS (r ) g(r , Ω Ω |
) ϕ(r , Ω , t) dΩ = |
4π |
∫ϕ(r , Ω , t) dΩ = |
|||||||||||
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
||
|
r |
r |
r r |
′ |
r r′ |
′ |
|
|
1 |
|
r |
r |
|
|
∫ |
ΣS (r ) g(r , Ω Ω |
) ϕ(r , Ω , t) dΩ |
|
= |
|
|
ΣS (r ) ϕ |
(r , t) |
|
|||||
|
4π |
|
||||||||||||
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая часть = 41π [ΣS (rr) ϕ(rr, t) + q(rr, t)]
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Левая часть КУ
t = t0 |
− ρ / v |
Фиксация точки сбора – наложение связей |
||||
r |
r |
r |
ϕ(rr, Ω, t)=ϕ(rr |
− ρ Ω, Ω, t |
|
− ρ / v)=ϕ(ρ) |
r |
= r0 |
− ρ Ω |
0 |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
= |
∂ϕ |
dt |
+ |
∂ϕ dx |
+ |
∂ϕ dy |
+ |
∂ϕ dz |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂x dρ |
∂y dρ |
∂z dρ |
|
|||||||||||||||
dρ |
∂t dρ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x = x0 − ρ Ωx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= y0 − ρ Ωy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= z0 − ρ Ωz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dϕ |
= − |
1 |
|
∂ϕ − ∂ϕ Ω |
x |
− ∂ϕ Ω |
y |
− ∂ϕ |
Ω |
z |
||||||||||
dρ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
v |
∂t |
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
||||||||||
Огородников И.Н. ogo@dpt.ustu.ru
dt |
1 |
|
|
||
|
|
= − |
|
|
|
dρ |
v |
|
|||
|
|
|
|
|
|
dx |
= −Ωx |
||||
|
|
||||
|
|||||
dρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= −Ω |
y |
||
|
|||||
dρ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= −Ω |
z |
||
|
|||||
|
|
|
|
||
dρ |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
Теория переноса излучения
Редукция кинетического уравнения
|
|
dϕ |
|
|
|
1 |
|
∂ϕ |
+ ∂ϕ |
Ωx + ∂ϕ |
|
|
|
+ ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= − |
|
Ωy |
Ωz |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dρ |
|
∂t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dϕ |
|
|
|
1 |
|
∂ϕ |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
∂t |
+Ω ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r r |
|
|
|
|
|
ϕ(rr |
− ρ Ω, Ω, t |
|
− ρ / v)−Σ(rr |
− ρ Ω) ϕ(rr |
− ρ Ω, Ω, t |
|
− ρ / v)= |
||||||||||||||||||
|
dρ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
[Σ |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
− ρ / v)] |
||
= − |
|
S |
(rr − ρ Ω) ϕ(rr |
− ρ Ω, t |
|
− ρ / v) + q(rr |
− ρ Ω, t |
|
||||||||||||||||||
|
4π |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДУ первого порядка
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение ЛДУ
|
|
d |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(rr − ρ Ω, |
Ω,t |
|
− ρ / v)−Σ(rr − ρ Ω) ϕ(rr − ρ Ω, Ω,t |
|
− ρ / v)= 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
dρ |
|
|
0 |
r |
r |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
r r |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ϕ(rr |
|
|
|
|
− ρ / v)=ϕ(rr |
− ρ |
|
|
|
− ρ |
|
/ v) exp((ρ − ρ |
) Σ) |
||||||||||||
|
− ρ Ω, Ω, t |
0 |
0 |
Ω, Ω, t |
0 |
0 |
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
Общее решение ОЛДУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
~ r |
|
|
r |
|
|
− ρ / v)= |
|
|
Частное решение НЛДУ |
|
||||||||||||||
|
|
ϕ(r0 |
− ρ Ω, Ω, t0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 ρ |
r |
|
|
~ |
r |
r |
~ |
r r |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|||
|
|
= − |
|
|
|
ΣS (r0 − ρ Ω) ϕ(r0 − ρ Ω, Ω, t0 |
− ρ / v) exp((ρ − ρ) Σ)dρ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4π ρ∫ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ρ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
Выбрали пределы интегрирования |
|||||||||||||||
|
ρ0 |
= R(rr0 ,−Ω) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Промежуточный результат
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
r |
r |
1 |
R(r0 |
,−Ω) |
|
r |
~ r |
~ |
||
|
|
|
|
|||||||
ϕ(r0 |
, Ω, t0 )= |
|
|
|
∫[Σs ϕ(r0 |
− ρ Ω, t0 |
− ρ / v)+ |
|||
|
4π |
|||||||||
|
|
|
r |
0 |
r |
|
~ |
~ ~ |
||
|
|
|
|
|
~ |
|
||||
|
|
+ q(r0 |
− ρ Ω, t0 |
− ρ / v)] exp(−Σ ρ) dρ |
||||||
|
|
r |
r |
|
r |
1 |
R(r0 ,−Ω) |
||
ϕ(rr0 , Ω, t0 )= |
|
∫[Σs ϕ(rr, t)+ q(rr, t)] exp(−Σ ρ) dρ |
||
4π |
||||
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Особенности уравнения Пайерлса
1.В точке r = 0 есть особенность.
2.Требование однородности может быть снято, т.к.
это касается только экспоненциального множителяr
|
|
rr−rr0 |
|
r |
|
|
|
rr−rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
exp |
− |
|
Σ r |
−ξ |
|
r |
r |
|
|
dξ |
|
||
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
r |
−r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.Невогнутость объема является существенной.
4.Отсутствие внешнего облучения на поверхности.
5.Если функция (рассеяние + источники) ограничена при r → ∞, то интеграл сходится при V → ∞
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Интегральное уравнение в плоскопараллельной задаче
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стационар- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
ное уравне- |
|
|
Z |
|
ние перноса |
|
Y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-по осям X и Y среда бесконечна и однородна;
-по оси Z среда конечна и неоднородна;
θ– полярный угол;
ψ– азимутальный угол;
азимутальная симметрия – свойства не зависят от ψ.
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение переноса
плоско-параллельной задачи
ϕ(rr ) = |
1 |
|
V∫ |
[Σ ϕ(rr)+ q(rr)] |
exp(−Σ |
|
rr−rr0 |
|
) |
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
4π |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
rr |
−rr |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F (z) = Σs ϕ(z)+ q(z) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
H |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+( y − y0 ) |
2 |
+(z − z0 ) |
2 |
|
||||||||
ϕ(z0 ) = |
|
|
∫ |
F (z) dz |
∫ |
dx |
∫ |
dy |
exp(−Σ (x − x0 ) |
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − x0 ) +( y − y0 ) +(z |
− z0 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
−∞ −∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ρ2 |
|
= (x − x0 ) 2 +( y − y0 ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переход в цилиндрическую |
|
|
|||||||||||||||||
tgψ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
систему координат |
|
|
|
|
|||||||||||||||
dS |
|
= ρ dρ dψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
