TPI_slaydy
.pdf
Кинетическое уравнение в декартовой системе координат
1 |
|
∂ϕ |
|
|
2 |
|
∂ϕ |
|
∂ϕ |
|
|
∂ϕ |
|
|
|
+ |
1− μ |
|
+sinψ |
|
+ μ |
+ Σ ϕ = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
v |
∂t |
|
cosψ |
∂x |
∂y |
|
∂z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ΣS 2∫π dψ ′∫1 g(x, y, z, μ0 ) ϕ(x, y, z, μ′,ψ ′,t) dμ′+ q(x, y, z, μ,ψ ,t),
0 −1
где ϕ =ϕ(x, y, z, μ,ψ ,t)
μ0 = μ μ′+ 
1− μ2 
1−(μ′)2 cos(ψ −ψ ′)
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. Плоскопараллельная стационарная задача
X
θ Z
Y |
H |
|
ψ |
||
|
-по осям X и Y среда бесконечна и однородна;
-по оси Z среда конечна и неоднородна;
θ– полярный угол;
ψ– азимутальный угол;
азимутальная симметрия – свойства не зависят от ψ.
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение переноса
плоско-параллельной задачи
Функции φ, g, q, Σ, ΣS не зависят от x, y, t
μ |
∂ϕ |
+ Σ ϕ = ΣS 2∫πdψ ′∫1 g(z, μ0 ) ϕ(z, μ′,ψ ′) dμ′+ q(z, μ,ψ ) |
|
|
∂z |
0 |
−1 |
Азимутальная симметрия:
Функции φ, g, q, Σ, ΣS не зависят также от угла ψ и ψ′
|
∂ϕ |
1 |
2π |
|
ϕ(z, μ′) dμ′+ q(z, μ) |
|||
μ |
+ Σ ϕ = ΣS ∫ |
∫g(z, μ0 ) dψ ′ |
||||||
|
∂z |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1442443 |
|
|
|
|
|
|
|
|
g ( z,μ,μ′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
∂ϕ |
1 |
′ |
|
′ |
′ |
+ q(z, μ) |
|
|
|
|
||||||
∂z |
+ Σ ϕ = ΣS ∫g (z, μ, μ ) ϕ(z, μ ) dμ |
|
|
|||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изотропные источники и рассеяние
r |
r |
r |
′ |
|
|
|
|
|
|
ΔΩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P(r |
|
, Ω Ω , ΔΩ) |
= |
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r |
|
r |
r |
|
|
|
|
dP |
|
|
|
|
|
ΔΩ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
g(r |
, Ω Ω′)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d(ΔΩ) |
4π |
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ΔΩ→0 |
|
ΔΩ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
1 |
|
|
ϕ(z, μ′)dψ ′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
g (z, μ, μ′) = ∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2π = |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
μ |
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
+ q(z, μ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂z |
+ Σ ϕ = ΣS ∫g (z, μ, μ ) ϕ(z, μ ) dμ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
μ |
∂ϕ |
+ Σ ϕ = |
ΣS |
|
1 |
|
′ |
|
′ |
+ q(z, μ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂z |
|
2 |
|
∫ϕ(z, μ ) dμ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничные условия
|
j− = 0 |
|
|
|
(Ω nr)≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 |
= |
|
|
− |
|
|
= −μ |
μ ϕ( |
μ)= |
|
μ ≥ |
|
||||
(0,0, |
1) |
Ω |
0, |
0 |
||||||||||||
|
n |
|
|
( |
r |
n) |
|
0, |
|
|
||||||
z = H |
nr = (0,0,1) |
|
|
|
|
μ ϕ(H , μ)= 0, |
μ ≤ 0 |
|||||||||
(Ω nr)= μ |
||||||||||||||||
Контактные условия
μ ϕ(z = S1, μ)= μ ϕ(z = S2 , μ)
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. Кинетическое уравнение в сферической системе координат
Ωвсегда задается в сферической системе координат
1.Представление оператора (Ω ) как производной
по направлению Ω
r
ξ = ξ Ω
r r |
|
|
|
dϕ |
|
|
|
||||
(Ω ϕ)= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
dξ |
|||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|||
cosα = |
|
(Ω ϕ) |
|||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Ω |
|
|
ϕ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Огородников И.Н. ogo@dpt.ustu.ru
ξ
r
(Ω ϕ)
ϕ
α
Ω 
Теория переноса излучения
Частный случай
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
A=A(r,θ) исходная точка |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B=B(r′,θ′) смещенная точка |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B θ′ |
|
|
|
|
dξ |
|
− величина смещения |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|AC|= −r dθ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ω |
θ |
|
|
|
|
θ′ ≈ θ |
|
|
|BC|=dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dθ |
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|AB|=dξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ′ ≈ θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
O |
|
|
r |
|
A |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ω ϕ)= |
dϕ |
= |
∂ϕ dr |
+ ∂ϕ |
dμ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r dξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
≈ cosθ = μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dξ |
|
|
|
|
∂μ dξ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
dξ |
|
|
|
|
dμ |
|
dμ dθ |
|
|
|
d(cosθ) (- sin θ) |
|
1 |
− μ2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
− r dθ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
≈ sin θ |
|
|
|
|
dξ |
dθ |
dξ |
|
|
dθ |
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
dξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
∂ϕ |
|
1− μ |
2 |
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ω ϕ)= μ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Огородников И.Н. |
|
|
|
|
∂r |
|
r |
|
|
∂μ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теория переноса излучения |
|||||||||||||||||||||
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение переноса для сферически-симметричных задач
|
∂ϕ |
|
1− μ2 |
|
∂ϕ |
1 |
|
|
|
||
μ |
+ |
|
′ |
′ |
′ |
+ q(r, μ) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
∂r |
|
r |
∂μ |
+ Σ(r) ϕ = ΣS ∫g (r, μ, μ ) ϕ(r, μ ) dμ |
|
||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры граничных условий
a)Отсутствие облучения свободной поверхности r = R из пустоты:
μϕ(r = R, μ)= 0 μ < 0
b)Контактные условия на поверхности смежных слоев r = S
μ ϕ(z = S1, μ)= μ ϕ(z = S2 , μ)
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Односкоростное интегральное уравнение
Огородников И.Н. |
Теория переноса излучения |
|
ogo@dpt.ustu.ru |
||
|
4.1. Ограничения интегрального |
|||||
|
|
уравнения |
|
|
|
Диффузионное |
Интегральное |
Кинетическое |
|||
уравнение |
|
уравнение |
|
уравнение |
|
q |
ΣS |
q |
ΣS |
q |
ΣS |
ϕ(r , t) |
|
ϕ(rr0 , t0 ) |
ϕ(rr, Ω, t) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(rr0 , t0 ) = ∫ϕ(rr, Ω, t) dΩ |
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
Огородников И.Н. |
|
|
|
Теория переноса излучения |
|
ogo@dpt.ustu.ru |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|