- •Науково-методичне видання
- •Рекомендовано науково-методичною радою
- •Вінницького національного аграрного університету
- •Протокол№___від «___»_____________ 2011 р.
- •Лінійна алгебра
- •1.2 Системи лінійних рівнянь та методи їх розв’язків.
- •Розділ 2 Аналітична геометрія
- •2.1. Вектори, типи добутків векторів та методи їх розв’язування.
- •2.2 Пряма на площині
- •2.3. Пряма та площина у просторі
- •Розділ 3 Математичний аналіз
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання 7
- •Завдання 8
- •Завдання 9
- •Завдання 10
- •Завдання 11
- •Завдання 12
I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
Якщо обчислюється , при цьому, тоді для спрощення при знаходженні відповіді такого інтеграла зручно ввести нову зміннуt=U(x), тоді
В новій змінній t наш інтеграл прийме вигляд .
Наприклад,.
ІІ. Метод інтегрування частинами.
Основна формула цього метода , U=U(x), V=V(x) Даний метод стандартно використовується, якщо під знаком інтеграла є добуток степеневої функції на тригонометричну чи показникову, присутність під інтегралом логарифмічної або будь-якої оберненої тригонометричної функції, добуток позикової функції на тригонометричну. Також цей метод доцільний в деяких окремих випадках. За функцію U(x) звичайно приймають степеневу функцію (при диференціюванні степінь х понижується), логарифмічну чи обернену тригонометричну (оскільки для цих функцій відносно легко знаходяться похідні згідно відповідної таблиці). В ряді випадків даний метод застосовують послідовно декілька разів.
Приклад2.
Корисним є обчислення інтеграла
Звідки .
Аналогічно .
Два останні інтеграли самі по собі є корисними, наприклад, в геометричних додатках означеного інтеграла. З іншого боку цими формулами можливо користуватись як уже готовими.
Наприклад,
.
ІІІ Метод інтегрування дробово-раціональних функцій.
Розглядається обчислення інтегралів вигляду, де,- многочлени відповідно зі степенемm і n змінної х. нагадаємо, що степінь многочлена встановлюється найбільшим показником степені х цього виразу. Якщо m<n, тоді дріб правильний, і його необхідно шляхом ділення многочлена чисельника на знаменник звести до суми многочлена результата ділення плюс уже правильний раціональний дріб. Згідно основної теореми алгебри многочлен завжди можливо записати у вигляді добутку лінійних на х множників типу, де k- кратність множника , на квадратні тричлени типу з від’ємним дискримінантом, тобто <0. Згідно цього
, де
деякі неозначені константи, для знаходження яких складають і розв’язують деяку алгебраїчну систему шляхом прирівнювання на основі рівності чисельників від коефіцієнтів при відповідно однакових степенях х. отримані після цього доданки інтегруються за допомогою інших методів інтегрування.
Приклад 3
. Оскільки m=4, n=3-дріб під інтегралом неправильний. Тому , тоді . Для обчислення розглянемо дріб на суму простіших дробів:, звідки
Отже, =.
Знайдемо первісну ;
,тоді .
Тоді первісна може бути записана
. Остаточно відповідь початкового інтеграла буде .
ІV. Інтегрування ірраціональних функцій.
Якщо обчислюється , тоді корисним є скористатись підстановкою виду, деk – спільний знаменник дробів .
V. Інтегрування тригонометричних функцій.
1. Розглядаються інтеграли вигляду
А)Якщо , тоді
Б)Якщо , тоді
В)Якщо , тоді
Г)Якщо R- довільна функція тоді застосовують універсальну тригонометричну підстановку , звідки.
2.Розглядаються інтеграли .
А)Якщо >0 ,тоді
Б)Одне із чисел m чи n-непарне, наприклад, ,тоді
тобтоспрощує підінтегральний вираз.
В) Перетворення добутку тригонометричних функцій в суму згідно відомих співвідношень:
;
;
.
Приклад 4.
,функція під інтегралом непарна по sinx, тоді , отже
=.
Завдання 9
Знайти неозначені інтеграли.
Варіанти завдань для самостійного виконання
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. ,
21. ..
22. .
23. .
24. ..
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .