- •Науково-методичне видання
- •Рекомендовано науково-методичною радою
- •Вінницького національного аграрного університету
- •Протокол№___від «___»_____________ 2011 р.
- •Лінійна алгебра
- •1.2 Системи лінійних рівнянь та методи їх розв’язків.
- •Розділ 2 Аналітична геометрія
- •2.1. Вектори, типи добутків векторів та методи їх розв’язування.
- •2.2 Пряма на площині
- •2.3. Пряма та площина у просторі
- •Розділ 3 Математичний аналіз
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •I Метод заміни змінної в неозначеному інтегралі.
- •V. Інтегрування тригонометричних функцій.
- •3.5 Означений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання 7
- •Завдання 8
- •Завдання 9
- •Завдання 10
- •Завдання 11
- •Завдання 12
1.2 Системи лінійних рівнянь та методи їх розв’язків.
Система лінійних рівнянь - сукупність скiнченної кількості лінійних рівнянь, розв'язком яких вважають точку, що є розв'язкoм кожного її рівняння. Зокрема, систему тpьох лінійних рiвнянь з тpьома змінними (невiдoмими) зaписyють y вигляді:
(1)
де і- задані коефіцієнти системи.Числа називають також вiльними членами системи.
Метод Крамера.
Формули Крaмеpа для системи (1) мають вигляд:
, де
-визначник системи (1), а
, ,- визначники, які дістають з визначникаΔ заміною першого, другого і третього стовпців відповідно стовпцем вільних членів.
Приклад 1.
Користуючись формулами Крамера, pозв'язaти систему pівнянь:
Розв'язок. 0бчислимо визначники системи:
, ,
,
Тоді за формулами Крамера
Таким чином, x = -1, y = 0 , z = 2 - розв'язок системи.
Матричний метод
Система лінійних рівнянь можна записати у вигляді матричної рівності
де - квадратна матриця порядку, складена з коефіцієнтів при невідомих, матриця розмінності , складена з невідомих; матриця розмірності , складена з вільних членів.
Розвязком не виродженої системи лінійних рівнянь записаної у вигляді матричної рівності знаходять за формулою:
Приклад 2
Розв’язати систему рівнянь
методом оберненої матриці.
Розвязок
Запишемо систему в матричному вигляді де
, ,.
Для матриці А обернену ми побудували в попередньому прикладі, тому маємо:
.
Отже, x1 = 1, x2 = 2, x3 = –1 — розв’язок системи.
Завдання 2
Рoзв'язати системи лінійних рівнянь методом Крамера.
Рoзв'язати системи лінійних рівнянь матричним методом.
Рoзв'язати системи лінійних рівнянь методом Гаусса.
Варіанти завдань для самостійного виконання.
1. | ||
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ||
7. | ||
8. | ||
9. | ||
10. | ||
11. | ||
12. | ||
13. | ||
14. | ||
15. | ||
16. | ||
17. | ||
18. | ||
19. | ||
20. | ||
21. | ||
22. | ||
23. | ||
24. | ||
25. | ||
26. | ||
27. | ||
28. | ||
29. | ||
30. |
Розділ 2 Аналітична геометрія
2.1. Вектори, типи добутків векторів та методи їх розв’язування.
До лінійних належать такі операції над векторами:
множення вектора на скаляр . При цьому одержаний векторгеометрично, залежно від величини і знака, розтягується, стискається, змінює напрям ;
додавання векторів. Дія виконується за правилом паралело- грама або трикутника.
Якщо вектор задано в координатній формі, то у разі множення його на скаляр всі координати треба помножити на цей скаляр, а в разі додавання — додати відповідні його координати.
Cкалярного добутку векторів: ;
,
Кут між векторами: ,
умови паралельності та перпендикулярностідвох векторів.
За використання векторного добутку слід пам’ятати, що він некомутативний, а його модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-множниках. Знаходять векторний добуток за формулою:
.
Геометричний зміст мішаного добутку полягає в тому, що його модуль дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах добутку.
.
У зв’язку з цим його часто використовують для знаходження об’єму і перевірки компланарності трьох векторів
Приклад 1.
Обчислити довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах і, якщо відомо, що.
Розвязок.
З визначення операції додавання векторів відомо, що одна діагональ паралелограма ,а друга .Довжина довільного вектора визначається за формулою: . Тоді:
Приклад 2.
Дано три послідовні вершини паралелограма: . Знайти його четверту вершинуі кут між діагоналями.
Розвязок.
Нехай шукана вершина має координати . З умови колінеарності векторіві маємо: , або. Згідно з властивостями паралелограмаабо. Діагоналі паралелограма дорівнюють відповідно сумі і різниці векторів-сторін;. Кут між діагоналями знайдемо за формулою:
соs отже,.
Приклад 3.
Знайти площу паралелограма, діагоналями якого є вектори і, деі— одиничні вектори, а кут між ними дорівнює 45.
Розвязок.
Позначимо через сторони паралелограма, тоді, звідки. Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку. Отже,.
Приклад 4.
Знайти площу і висоту трикутника, вершинами якого є:Розвязок
Знайдемо вектори і. Модуль їх векторного добутку буде дорівнювати подвоєній площі трикутника:звідки.
Знайдемо висоту трикутника: .
Приклад 5.
Для піраміди з вершинами ,обчислити об’єм, площу граніАВС і висоту, опущену на цю грань.
Розвязок.
Знайдемо вектори .Модуль мішаного добутку у шість разів більший за об’єм піраміди, побудованої на векторах, тобтоДля обчислення площі гра- ніАВС знайдемо . Тоді, а висота піраміди .
Варіанти завдань для самостійного виконання.
1. Знайти кут між векторами .
2. При якому значенні вектори ібудуть перпендикулярними, якщо
3. Визначити кути трикутника з вершинами ,і.
4. У трикутнику з вершинами знайти кут, утворений стороноюОВ і медіаною ОМ.
5. Який кут утворюють одиничні вектори і, якщо векториівзаємно перпендикулярні?
6. Знайти проекцію вектора на вісь, що має напрям вектора, деівзаємно перпендикулярні орти. Обчислити кути між віссю проекції і ортамита.
7. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах .
8. Обчислити , якщо.
9. Дано компланарні вектори , причому і.
Обчислити модуль вектора .
10. Задано вектори і. Знайтиі.
11. Обчислити довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах , де.
12. Дано вектор , де. Знайтиі.
13. Дано точки . Побудувати векториіта знайти.
14. Визначити кут між бісектрисами двох плоских кутів правильного тетраедра, які проведені з однієї вершини.
15. З вершини прямокутника зі сторонами 6 і 4 проведено прямі, що ділять протилежні сторони навпіл. Знайти кут між ними.
16. Обчислити площу і висоту паралелограма, побудованого на векторах .
17. Вектори іутворюють кут, що дорівнює 45. Знайти площу і одну з висот трикутника, побудованого на векторах і, якщо.
18. Обчислити висоту і площу трикутника з вершинами в точкахі.
19. Обчислити синус кута між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах .
20. Обчислити проекцію вектора на напрям вектора.
21. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах .
22. Чи знаходяться точки в одній площині?
23. Знайти об’єм тетраедра, побудованого на векторах , якщо ці вектори направлені за бісектрисами координатних кутів і довжина кожного з них дорівнює 2.
24. Дано піраміду з вершинами і. Обчислити її об’єм і висоту, опущену на граньАВС.
25. Довести, що при будь-яких вектори,компланарні.
26. Дано піраміду з вершинами і. Обчислити її об’єм і висоту, опущену на граньАВС.
27. Обчислити висоту і площу трикутника з вершинами в точкахі.
28. Вектори іутворюють кут, що дорівнює 45. Знайти площу і одну з висот трикутника, побудованого на векторах і, якщо.
29. Дано піраміду з вершинами і. Обчислити її об’єм і висоту, опущену на граньАВС.
30. Обчислити висоту і площу трикутника з вершинами в точкахі.