Круги Эйлера 1

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».

11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».

Получаем:

Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».

4)На доске нарисованы два круга, внутри которых отмечено несколько точек. Внутри перого из них всего 190 отмеченных точек. Внутри второго — всего 230 отмеченные точки. Внутри обоих кругов одновременно находится ровно 70 точек. А сколько отмеченных точек всего?

Решение:

Сложим количества точек в обоих кругах. При этом точки, находящиеся в их пересечении (то есть и в первом, и во втором), будут посчитаны дважды, то есть лишний раз, поэтому от суммы нужно отнять число точек в пересечении. Теперь получим тот же ответ с помощью математических обозначений. Введём обозначения:

a — количество точек, лежащих только в первом круге;

b — только во втором круге;

c — в их пересечении. Тогда в первом круге всего a + c точек, а во втором — c + b. Нужно найти общее число точек. В наших обозначениях это a + c + b. Чтобы можно было вычислить это выражение, его нужно записать только через известные величины a + c = 190, c + b =

=230, c = 70. В искомом выражении есть a и b, которые в известных встречаются только

в a + c и b + c соответственно.

Значит, a + c и b + c нужно включить в запись. Однако (a+ c) + (b + c) не равно a + c + b. Чтобы сравнять их, нужно отнять c. Таким образом, получаем формулу для решения задачи, в которую остаётся только подставить конкретные

числа:a + c + b = (a + c) + (b + c) − c = 190 +230 − —70 = 350.

Шаров Алексей (sharov_15@mail.ru) Козлов Александр (vodka3104@gmail.com)

Круги Эйлера Часть I

Город Н. Новгород Лицей №180

2013-2014

Мы выбрали тему «Круги Эйлера» потому что, они используются при решении логических задач.

Круги Эйлера— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Круги Эйлера используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Этот метод был придуман Леонардом Эйлером.Он сам распространял его, но так же данный метод широко использовал английский логик Джон Венн, поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

Задачи:

1)В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим,11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Решение:

Изобразим эти множества на кругах Эйлера:

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

2) На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение:

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.

Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

3)Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:

Чертим два множества таким образом: