Тема №3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
.docТИПОВОЙ РАСЧЕТ №3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Повторите теоретический материал.
-
Системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Основные задачи на метод координат.
-
Уравнение линии. Прямая на плоскости.
-
Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
-
Преобразование координат при параллельном переносе и при повороте осей координат.
-
Плоскость. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей.
-
Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости.
Задание 10. Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
-
Составить уравнение стороны АВ и найти ее длину.
-
Составить уравнение высоты BD и найти ее длину.
-
Составить уравнение медианы АМ.
-
Через точку пересечения медиан провести прямую, параллельную стороне АВ.
-
Найти угол А.
-
Координаты точки А/, симметричной вершине А, относительно точки D.
-
Записать систему неравенств, определяющих АВС.
-
, ,.
-
, , .
-
, ,.
-
,,.
-
, ,.
-
,,.
-
,,.
-
, , .
-
, ,.
-
, ,.
-
, , .
-
, , .
-
,, .
-
, ,.
-
, , .
-
, , .
-
, , .
-
, , .
-
, , .
-
, , .
-
, , .
-
, , .
-
, , .
-
, ,.
-
, ,
-
, , .
-
, ,
-
, , .
-
, ,
Задание 11. Решить задачу. (Прямая на плоскости.)
-
В точке пересечения прямой с осями координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Написать их уравнения.
-
В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны вершина острого угла ( 5, 7 ) и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон треугольника.
-
Составить уравнение прямой, если точка Р (2; 3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат на эту прямую.
-
Стороны треугольника заданы уравнениями 4х-у-7=0, х+3у--31=0, х+5у-7=0. Определить точку пересечения его высот.
-
Даны вершины треугольника: А( 1;-1), В(-2;1), С(3;5). Составить уравнение перпендикуляра из точки А на медиану, проведенную из В.
-
Даны середины сторон треугольника: М1(2; 1), М2 (5; 3) и М3 (3; -4). Составить уравнение его сторон.
-
Через точку М1(-1; 2) и М2 (2; 3) проведена прямая. Определить точку пересечения этой прямой с осями координат.
-
Найти проекцию точки Р(-8; 12) на прямую, проходящую через точки А(2; -3) и В(-5; 1).
-
По координатам трех вершин параллелограмма А(-3; 2), В(9;6), С(4; 11) найти координаты вершины D.
-
Отрезок между точками А(3; -2) и В(6; 4) разделен на 3 равные части. Определить координаты точки деления.
-
По координатам трех вершин ромба А(1; 4), В(-3; 1) и С(4;0). Определить координаты четвертой вершины.
-
Точка В(0,8; 0,6) делит отрезок АС в отношении , при этом С(-1; 3). Вычислить длину АС.
-
На оси ОУ найти точку, через которую проходит прямая, соединяющая точки (-3; -2) и (2; 8).
-
Проведен отрезок от точки (1;-1) до точки (-4;5). До какой точки нужно продолжить его в том же направлении, чтобы его длина утроилась?
-
Найти точку, находящуюся на расстоянии 10 единиц как от оси ОХ , так и от точки А(-5; 2).
-
На прямой, соединяющей точки А(2; 3) и В(11; 15) найти точку С с абсциссой х=5.
-
По координатам двух вершин параллелограмма А(-3; 5) и В(2; 7) и точки пересечения его диагоналей М(1; 2) найти координаты его остальных вершин.
-
Противоположные вершины ромба лежат в точках А(5; 7) и С(3; 3). Написать уравнения его диагоналей.
-
Даны две точки М(2; 2) и N(5; -2). На оси ОХ найти точку Р, чтобы угол МРN был прямым.
-
Даны вершины треугольника: А(4; 6), В(-4; 0) и С(-1; -4). Составить уравнения ВС, медианы СЕ, высоты АD.
-
Даны вершины треугольника А(-8; -3), В(2; 4,5) и С(7; 2). Найти систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
-
Даны вершины треугольника А(-4; 8), В(5; -4) и С(10; 6). Найти угол А.
-
Даны вершины треугольника А(-4; 8), В(5; -4) и С(10; 6). Составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
-
Даны вершины треугольника А(-1; 2), В(3; 4) и С(1; -4). Составить уравнение средней линии треугольника, уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку В.
-
Найти проекцию точки А (-1; -5) на прямую 4х+7у-26=0.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -3), перпендикулярной вектору , если точка В(-4; 5).
-
Даны середины сторон треугольника (2; 1), (4; 3) и (-2; 5). Найти уравнения сторон этого треугольника.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 6х-4у+3=0 и 4х+5у+10=0, перпендикулярной прямой 3х-7у-18=0.
-
В равностороннем треугольнике АВС известно уравнение основания АС: 2х-3у-5=0. Найти уравнение боковой стороны ВС, если известно, что она проходит через точку М(1; 1).
-
Через точку Р(0; 1) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными прямыми х-3у+10=0 и 2х+у-8=0, делился в точке Р пополам..
Задание 12. Решить задачу. (Составить уравнение линии.)
-
Найти уравнение множества точек, расстояние каждой из которых от точки А(3; 0) втрое меньше расстояния от точки В(-5; 0).
-
Найти уравнение множества точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(-3; 0) и В(3; 0) равна 50.
-
Найти уравнение множества точек, разность квадратов расстояний которых до точек А(-а; 0) и В(а; 0) равна С.
-
Найти уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-3; 0) и F2 (3; 0) есть величина постоянная, равная 10.
-
Найти уравнение множества точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(3; 0) и F2 (5; 0) есть величина постоянная, равная 6.
-
Найти уравнение множества точек, для которых расстояние до данной точки F(3; 0) равно расстоянию до данной прямой х+3=0.
-
Найти уравнение множества точек, для которых отношение расстояния до данной точки F (-4; 0) к расстоянию до данной прямой 4х+25=0 равно .
-
Составить уравнение множества точек, для которых отношение расстояния до данной точки F (-5; 0) к расстоянию до данной прямой 5х+16=0 равно .
-
Составить уравнение множества точек, равноудаленных от данной точки А(3; -4) и данной прямой у=2.
-
Составить уравнение множества точек, отношение расстояний которых до данной точки А(6; 0) и до данной прямой х=1,5 равно 2.
-
Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (2; 2) и от оси абсцисс.
-
Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(4; 0) и F2 (-4; 0) равно 10.
-
Точка движется так, что остается вдвое ближе к точке (3;4), чем к точке (12; 16). Найти ее траекторию.
-
Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (1; -3) и квадратом расстояния от точки (2; -1) остается равной 4. Найти траекторию точки.
-
Точка движется так, что остается вдвое ближе к прямой х=1, чем к точке (4; 0). Найти ее траекторию.
-
Составить уравнение множества точек – центров окружностей, касающихся оси абсцисс и проходящих через точку (3; 4).
-
Составить уравнение множества точек – центров окружностей, касающихся оси ординат и проходящих через точку (-2; 3).
-
Составить уравнение траектории точки, которая при своем движении остается вдвое ближе к прямой у=1, чем к точке (0; 4).
-
Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (-3; 4) и квадратом расстояния от точки (-2; 1) остается равной 3. Найти траекторию точки.
-
Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(0; 4) и F2 (0; -4) равна 10.
-
Точка движется так, что остается втрое ближе к точке (-2; 3), чем к точке (-18; 27). Найти траекторию точки.
-
Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (0; -3) и от прямой у=3.
-
Составить уравнение множества точек, отношение расстояний которых до данной точки А(3; 0) и до данной прямой x=12 равно 0,5.
-
Составить уравнение множества точек, равноудаленных от данной точки А (-2; -3 ) и от прямой у= -1.
-
Точка движется так, что разность между квадратом расстояния ее от точки (2; 1) и квадратом расстояния от точки (3; -4) остается равной 0. Найти траекторию точки.
-
Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (-2; 0) и от прямой x=4.
-
Написать уравнение множества точек, равноудаленных от точки F (1; 1) и от прямой у=3.
-
Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(0;3) и F2 (0; -3) равна 10.
-
Составить уравнение множества точек, отношение расстояний которых до данной точки А(10; 2) и до данной прямой x=2,5 равно 2.
-
Найти уравнение множества точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(0; -5) и F2 (0; 5) есть величина постоянная равная 8.
Задание 13. Решить задачу. (Кривые второго порядка.)
-
Составить уравнение параболы, если вершина в точке А(3; -3), а директриса у-3=0.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы у= -х2+2х и центр окружности х2+у2+4х--3у+4=0.
-
Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы в точках F1 (-10; 2), F2 (16;2).
-
Составить уравнение диаметра окружности х2+у2+4х-6у-17=0, перпендикулярного прямой 5х+2у--13=0.
-
Составить простейшее уравнение эллипса, если сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже 8.
-
Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы в точках F1(-10; 0), F2 (14; 0), а большая ось равна 26.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы у= х2-4х+1, перпендикулярно прямой 2х-3у+5=0.
-
Эллипс проходит через точки и . Написать простейшее уравнение эллипса.
-
Написать уравнение окружности, радиус которой равен параметру параболы у2= -6х, с центром в правом фокусе эллипса х2+4 у2 = 16.
-
Написать простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между фокусами равно параметру параболы х2= -60 у.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы 9 х2 – 16 у2 = 144 и образующий угол с осью абсцисс.
-
Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F (4; 3) и директриса у + 1 = 0.
-
Найти угол между радиусами окружности х2+у2+4х-6у=0, проведенными в точки пересечения ее с осью ОY.
-
Написать уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен угловому коэффициенту прямой 3х-5у+5=0, а большая ось равна радиусу окружности х2+у2-12х+6у-55=0.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы х2+4х+3у+1=0, параллельно прямой 5х-3у+7=0.
-
Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.
-
Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ , если А(2; -3), а В – вершина параболы у2-10у+2х+17=0.
-
Написать уравнение касательной к окружности х2-2х+у2-4y=20 в точке М(5; 5).
-
Составить простейшее уравнение гиперболы, если ее действительная полуось равна 5, а вершины делят расстояние между центром и фокусами пополам.
-
Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса х-5=0.
-
Действительная полуось гиперболы равна параметру параболы у2+2у+10х-19=0, ее эксцентриситет равен угловому коэффициенту прямой 7х-5у+1=0.
-
Доказать, что радиусы окружности х2+у2-4х+6у-5=0, проведенные в точки пересечения ее с осью ОХ перпендикулярны.
-
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса 9х2+25у2-225=0. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен параметру параболы х2+1= -4у.
-
Написать уравнение окружности, центр которой совпадает с правым фокусом гиперболы 16х2-9у2-144=0, проходящей через точку (1; - 8).
-
Составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности х2+у2-4х+6у-3=0 параллельно прямой 2х-у+1=0.
-
Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке С(3; -2) и проходящей через вершину параболы у2-2у+3х+4=0.
-
Составить уравнение эллипса, если фокусы в точках F1(7; 5), F2 (-9; 5), а эксцентриситет равен 0,8.
-
Составить уравнение линии центров окружностей, заданных уравнениями х2+у2-12х+14у+60=0 и х2+у2+8х+16у-1=0.
-
Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ с вершиной в левом фокусе эллипса 3х2+4у2=48, фокус которой в точке F(4; 0).
-
Составить уравнение окружности, радиус которой равен 2, концентрической окружности х2+у2+2х-6у+1=0.
Задание 14. Найти проекцию точки D в плоскости АВС.
|
А (1; 3; 6) |
В (2; 2; 1) |
С (-1; 0; 1) |
D (-4; 6; -3) |
|
А (-4; 2; 6) |
В (3; -3; 0) |
С (-10; 5; 8) |
D (-5; 2; -4) |
|
А (7; 2; 4) |
В (7; -1; -2) |
С (3; 3; 1) |
D (-4; 2; 1) |
|
А (2; 1; 4) |
В (-1; 5; -2) |
С (-7; -3; 2) |
D (-6; -3; 6) |
|
А (-1; -5; 2) |
В (-6; 0; -3) |
С (3; 6; -3) |
D (-10; 6; 7) |
|
А (0; -1; -1) |
В (-2; 3; 5) |
С (1; -5; -9) |
D (-1; -6; 3) |
|
А (5; 2; 0) |
В (2; 5; 0) |
С (1; 3; 4) |
D (-1; 1; 1) |
|
А (2; -1; -2) |
В (1; 2; 1) |
С (5; 0; -6) |
D (-10; 9; -7) |
|
А (-2; 0; -4) |
В (-1; 7; 1) |
С (4; -8; -4) |
D (1; -4; 6). |
|
А (4; 4; 5) |
В (-5; -3; 2) |
С (-2; -6; -3) |
D (-2; 2; -1) |
|
А (1; 2; 0) |
В (3; 0; -3) |
С (5; 8; 6) |
D (8; 4; -9) |
|
А (2; -1; 2) |
В (1; 2; -1) |
С (3; 2; 1) |
D (-4; 2; 5) |
|
А (1; 1; 2) |
В (-1; 1; 3) |
С (2; -2; 4) |
D (-1; 0; -2) |
|
А (2; 3; 1) |
В (4; 1; -2) |
С (6; 3; 7) |
D (7; 5; -3) |
|
А (1; 1; -1) |
В (2; 3; 1) |
С (3; 2; 1) |
D (5; 9; -8) |
|
А (1; 5; -7) |
В (-1; 1; -5) |
С (3; 4; -6) |
D (3; -2; 4) |
|
А (-3; 6; 3) |
В (-1; 3; 1) |
С (0; 2; -1) |
D (4; -2; 1) |
|
А (-3; 4; -7) |
В (1; 5; -4) |
С (-5; -2; 0) |
D (2; 5; 4) |
|
А (-1; 2; -3) |
В (4; -1; 0) |
С (2; 1; -2) |
D (3; 4; 5) |
|
А (4; -1; 3) |
В (-2; 1; 0) |
С (0; -5; 1) |
D (3; 2; -6) |
|
А (1; -1; 1) |
В (-2; 0; 3) |
С (2; 1; -1) |
D (2; -2; -4) |
|
А (1; 2; 0) |
В (1; -1;-2) |
С (0; 1; -1) |
D (-3; 0; 1) |
|
А (1; 0; 2) |
В (1; 2; -1) |
С (2; -2; 1) |
D (2; 1; 0) |
|
А (1; 2; -3) |
В (1; 0; 1) |
С (-2; -1; 6) |
D (0; -5; -4) |
|
А (3; 10; -1) |
В (-2; 3; -5) |
С (-6; 0; -3) |
D (1; -1; 2). |
|
А (-1; 2; 4) |
В (-1; -2; -4) |
С (3; 0; -1) |
D (7; -3; 1) |
|
А (0; -3; 1) |
В (-4; 1; 2) |
С (2; -1; 5) |
D (3; 1; -4) |
|
А (-1; 2; 1) |
В (2; -1; 0) |
С (-2; 4; 2) |
D (3; -5; 1) |
|
А (2; -1; 4) |
В (3; 1; 5) |
С (5; 3; 1) |
D (0; -1; 4) |
|
А (2; 3; 1) |
В (3; 2; 1) |
С (1; 1; -1) |
D (0; 1; -3) |
Задание 15. Решить задачу. (Пространство.)
-
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1; 6; -3), перпендикулярно к прямой, проходящей через две точки Р(4; -2; 3) и Q (3; -1; -2).
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и точку М (3; -4; 5).
-
Дано: А(2; -1; -2) и В(8; -7; 5). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярно к АВ.
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы х2+у2+z2-4х+2у-6z-6=0 и ось OZ.
-
Составить уравнения прямой, проходящей через центр сферы х2+у2+z2-3х+4у+5z+2=0 и начало координат.
-
Составить уравнения прямой, перпендикулярной плоскости 3х+2у-4z+3=0 и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью ОХ.
-
Составить уравнения прямой, проходящей через точки А(2; 3; -5) и В(-4; 3; 2).
-
Составить канонические уравнения осей координат.
-
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(-3; 4; 0) параллельно оси OZ.
-
Найти точки пересечения прямой с координатными плоскостями.
-
Найти точки пересечения прямой с плоскостью .
-
Составить канонические уравнения прямой .
-
Записать общие уравнения прямой .
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ, параллельно прямой .
-
Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки А(2; 0; 1) и В(3; 1; 5).
-
Через ось ОХ и точку А(4; -3; -1) провести плоскость.
-
Плоскость параллельна плоскости ХОZ и проходит через точку А(3; 2; -7). Написать ее уравнение.
-
Написать уравнение плоскости, параллельной оси OY и проходящую через точки А(1; -5; 1) и В(3; 2; -2).
-
Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(2; -1; 3) параллельно оси OZ.
-
Привести к каноническому виду уравнения прямой .
-
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2; -1; 3) и делящей отрезок АВ пополам, если А(1; 8; 2) и В(1; -4; 2).
-
Даны вершины треугольника А(2; 3; -1) , В(1; -2; 0) и С(-3; 2; 2). Составить канонические уравнения медианы АР.
-
Найти точку пересечения прямой с плоскостью 3х+5у-z-2=0.
-
Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость х+2у-z-3=0.
-
Проверить, лежит ли прямая на плоскости 4х+3у+z+3=0.
-
Составить канонические уравнения какой-либо прямой, лежащей в плоскости 2х-3у+z+1=0.
-
Написать уравнение плоскости, проходящей через центр сферы х2+y2+z2-2x+4y-4z=0 и ось OY.
-
Написать уравнение плоскости параллельной оси OZ и проходящей через точки (2; 3; -1) и (1; -2; 2).
-
Написать уравнения какой-либо прямой, лежащей в плоскости 3x-5y+z-2=0.
-
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; -2; 3), В(2; -3; 1) и перпендикулярно плоскости x+3y-8z-1=0.