Определение на растяжение(сжатие)

ный стержень, то нужно рассмотреть все возможные варианты разрушения (выхода из состояния равновесия) конструкции. Выйти из состояния равновесия конструкция может ввиду того, что в некоторых элементах конструкции усилия достигнут предельных значений, а оставшиеся элементы хотя и будут сопротивляться упруго, но не смогут обеспечить равновесия. Данная задача статически неопределима и, если в одном из стержней возникает деформация текучести, то два других будут обеспечивать равновесие как в статически определимой конструкции. Очевидно, что для выхода из состояния равновесия нужно, чтобы состояния текучести достигло количество стержней на единицу большее, чем степень статической неопределимости конструкций. Следовательно, в нашем случае необходимо для разрушения конструкции, чтобы достигли состояния текучести два стержня. С другой стороны, мы не знаем, какие из стержней достигнут предельного состояния в первую очередь. Возможны такие варианты: 1 и 2; 2 и 3; 1 и 3. Поэтому рассмотрим три варианта предельного равновесия одного стержня под действием разрушающей нагрузки и предельных усилий в двух других стержнях. Предельное усилие в стержне считается известным и подсчитывается по формуле: Niпр Т Аi .

1.Предельного состояния достигли стержни 2 и 3 (рисунок 5.2)

2.Предельного состояния достигли стержни 1 и 3 (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3

∑mВ= 0;

F2разр. N3пр.2cos15o N1пр.

35 2 0,966 40 240 102 2104 кН .

3.Предельного состояния достигли стержни 1 и 2 (рисунок 5.4)

0,866

Выбираем из трёх возможных нагрузок наименьшую

Задача 6.

Условие задачи. Для заданной расчётной схемы методом допускаемых напряжений определить площади поперечных сечений стержней 1 и 2 при отношении площадей А1: А2 = 5:4. Считать, что усилия в стержнях возникают как за счет силы F = 60 кН, так и за счет того, что первый стержень нагревается на ∆t=60о, а второй выполнен короче проектного размера на ∆ =0,5 мм, [σ] = 160 МПа (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1

Решение задачи. По существу данная задача состоит из трех. На первом этапе решения находят усилия в стержнях от каждого фактора отдельно, а затем результаты всех трех решений алгебраически складывают и из условия прочности находят расчетные площади сечений, одновременно удовлетворяя заданное отношение этих площадей:

1. Определяем усилия, возникающие в стержнях от силы F. Рассмотрим равновесие жесткого бруса АВ под действием силы F

и возникающих в стержнях усилий N1F и N2F (рисунок.6.2):

Рисунок 6.2

33

Полученное уравнение (1) содержит два неизвестных усилия. Два других уравнения статики доставят две компоненты реакции опоры A, которые по условию задачи определять не требуется.

Таким образом, задача статически неопределима. Для нахождения зависимости между усилиями N1F и N2F найдем зависимость между

удлинениями стержней 1 и 2, для чего построим деформированное состояние системы (рисунок 6.3).

Рисунок 6.3

В результате действия силы F жёсткий брус повернётся на бесконечно малый угол. Стержни при этом получат удлинение. Зададимся произвольным удлинением второго стержня по его направлению, например, отрезок ВВ1. Проведём перпендикуляры ко второму стержню через точку В1, и к жесткому брусу через точку В. Их точка пересечения В2 будет означать, что конец второго стержня и точка В жесткого бруса соединяются в этой точке. Линия АВ2 определяет положение жесткого бруса после поворота. По условию неразрушимости конструкции первый стержень должен оставаться в соединении с жестким брусом, для этого он должен растянуться на величину ∆l2 =CC1. Из подо-

бия треугольников АСС1 и АВВ2 следует:

l1 AC 1.

BB2 AB 2

34

Раскрывая выражение удлинений по закону Гука и учитывая заданное соотношение площадей поперечных сечений, а такжето, что

l1 l2 cos45o , получим N1 = 1,25 N2.

Решая это соотношение совместно с уравнением статики, найдём:

2. Определим напряжения в стержнях 1 и 2 от нагревания первого стержня на Δt°=60 oC.

При нагревании первый стержень расширяясь будет стремиться повернуть жесткий брус вокруг опоры А по часовой стрелке, но этому будет препятствовать второй стержень. Поэтому первый стержень окажется сжат, а второй - растянут (рисунок 6.4).

Рисунок. 6.4

Рассмотрим равновесие жесткого бруса под действием усилий в стержнях 1 и 2. Сила F не учитывается.

Уравнение равновесия не позволяет найти величину усилий, поэтому найдем зависимость между абсолютными деформациями стержней. Построим деформированное состояние системы (рисунок

6.5).

35

Рисунок 6.5

Жесткий брус АВ повернется на бесконечно малый угол по часовой стрелке. При этом первый стержень расширяется на величину

1 1t 1. Изобразим это расширение отрезком СС1. Точка С1

будет одновременно принадлежать концу первого стержня и жесткому брусу.

Брус займет положение АС1. Точка В, принадлежащая жесткому брусу, будет перемещаться по вертикали и займет положение на прямой АС1. Опустим перпендикуляр из точки В2 на направление второго

стержня и получим точку В1. Отрезок ВВ1 2. Как в пункте 1, из

Выражаем абсолютные деформации через усилия в стержнях:

l2 N2tl2 2t 22 или, учитывая N1t 2N2t ,

EA2 E

36

Аналогично находим:

Подставляем в дополнительное условие найденные выражения

Знак «минус» означает сжатие первого стержня.

3. Определим напряжения в стержнях 1 и 2 от неточности изготовления второго стержня.

При сборке конструкции второй стержень будем растягивать, а жесткий брус поворачивать против часовой стрелки, сжимая первый стержень. Рассматривая равновесие жесткого бруса вод действием усилий, возникающих от монтажа, получим как и в пункте 2 соотношение усилий N1 2N2 .

Найдем зависимость между абсолютными деформациями стержней, для чего построим деформированное состояние конструкции (рису-

нок 6.6).

Рисунок 6.6

Точка В жесткого бруса при повороте будет смещаться по перпендикуляру к AВ и займет положение В2.Чтобы второй стержень соединился в этой точке с жестким брусом, он должен быть растянут. Величину этого растяжения найдем, опустив перпендикуляр из

точки В2 на направление второго стержня, В3В1 2.

Жёсткий брус займёт положение АВ2, для чего первый стер-

жень должен сжаться на величину СС1 1.

37

Из подобия треугольников АСС1 и АВВ2 следует

Выражаем абсолютные деформации через усилия в стержнях

4. Подставляем найденные усилия и напряжения в условие прочности и рассчитываем площади первого и второго стержней.

Выполняя использованное отношение площадей, принимаем

A2 0,57 10 3 м2;

A1 5 A2 0,7125 10 3 м2. 4

38