Определение на растяжение(сжатие)

Из этих соотношений следует, что на участках бруса, где q=0, осевые перемещения меняются по линейному закону, а на участках, где q=const – по закону квадратной параболы. В сечениях, где продольная сила равна нулю, осевые перемещения имеют экстремум. В нашем случае эпюра перемещений будет меняться по квадратной параболе без экстремальных точек.

Задача 2.

Рисунок 2.1

Условие задачи. Короткий стержень из разнородных материалов ступенчатого сечения, жестко закрепленный левым концом, загружен сосредоточенной силой и нагрет на Δto =20oС. Правый конец бруса не доходит до неподатливой опоры на величину зазора δ= 0,03 см. Требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений (рисунок 2.1).

Решениезадачи.

Данный брус относится к так называемым конструктивно нелинейным системам, которые в процессе нагружения могут изменять свою расчетную схему. В нашей задаче брус под действием приложенной нагрузки и температурного нагрева должен удлиниться. При этом, если величина его возможного удлинения больше зазора δ, то правый конец бруса упрется в неподатливую опору, и брус будет работать как статически неопределимый. Для проверки этого условия вычисляем удлинение бруса от действия нагрузки и от нагрева (рисунок 2.2).

21

lt ( clc М lМ ) to (125 10 7 0,6 170 10 7 0,5) 20 32 10 5 м.

Сравнивая величину возможного удлинения бруса от действия нагрузки и температурного нагрева с величиной зазора δ, видим, что зазор исчезнет и правый конец бруса упрется в неподатливую опору В:

lр lt 4 10 5 32 10 5 36 10 5 м .

При этом в опорах А и В возникнут опорные реакции, которые нельзя определить с помощью уравнений статики

х 0, RА F RВ 0.

Отбросим мысленно правую опору и влияние ее заменим действием неизвестной силы X, равной опорной реакции В.

Образованная таким путем основная (рисунок 2.3) система должна деформироваться как заданная, т.е. её удлинение под действием заданной нагрузки, температурного нагрева и неизвестной силы X должно быть равно зазору δ. Это условие, вытекающее из рассмотрения харак-

22

тера деформации бруса, является дополнительным и позволяет раскрыть статическую неопределимость задачи.

Основная система

Рисунок 2.3

Дополнительное уравнение:

l lp lt lx

Вычисляем укорочение основной системы от действия неизвестной силы Х (рисунок 2.4):

Раскрывая дополнительное условие, вычисляем неизвестную силу

X :

l lp lt lx 4 10 5 32 10 5 X 0,065 10 7 30 10 5 м;

Х RВ 9,2308 кН

23

Статическая неопределимость системы раскрыта. Опорная реакция RА легко определяется из уравнения статики (рисунок 2.5).

RА =70,769 кН

Для построения эпюр продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений рассчитываем основную систему на действие заданной нагрузки, температурного нагрева и вычисленной силы Х.

Вычисляем удлинения (укорочения) участков бруса:

Вычисляем осевые перемещения характерных сечений:

Рисунок 2.5

24

x 0;u0 0

x 0,2м;u0,2 u0 l1 l1

x 0,6м;u0,6 u0,2 l2 (853,85 907,69) 10 7 1761,5 10 3 м x 1,1м;

u1,1 u0,6 l3 (1761,5 1238,46) 10 7 30 10 5 м .

Задача 3.

Условие задачи.

Для заданной статически определимой стержневой системы определить нагрузку по методу допускаемыхнапряжений.

Стержень I выполнен из двутавра №20.

Стержень 2 выполнен из двух швеллеров № 14 (ГОСТ 8240-97). Определить смещение узла С (Рисунок3.1).

Рисунок3.1

Решениезадачи.

Из условия прочности по допускаемым напряжениям следует, что усилие в любом стержне не должно превышать допускаемое усилие:

Ni (F) ≤ [σ]i ·Ai =[Ni]

Вычислим допускаемые усилия первого и второго стержней. Площадипоперечных сеченийвыписываем из таблицы сортаментов:

А 26,8 см2;[N1] [ ]1 А1 160 26,8 10 4; [N1] 428,8 кН ;

А[ 15,6 см2; [N2 ] [ ]2 А2 160 2 15,62 10 4; [N2 ] 499,2 кН .

25

1 и 2 взять по таблице вариантов.

Определим зависимость между усилиями и между нагрузкой и внутренними усилиями, рассмотрев равновесие узла С (рисунок 3.2):

Рисунок 3.2

x 0; N13 N2 2 .

Если принять в первом стержне допускаемое усилие, то во втором усилие будет равно:

Это противоречит условию прочности по допускаемым напряже-

Определяем смещение узла С. Построим деформированное состояние системы, для чего произвольно зададим удлинение первого стержня и укорочение второго. Проведя перпендикуляры из точек С1 и С2 (рисунок 3.3), на их пересечении найдем новое положение узла С3.

26

Рисунок 3.3

Для определения вертикального смещения δв = АС3 и горизонтального δ2 = АС продлим перпендикуляры С3С1 и С2С3 до пересечения с горизонталью. Из треугольников А2АС3 и А1АС3 следует:

Подсчёт вертикальной и горизонтальной компонент смещений доставляет их значения

г 1,07 10 4 м; в 33,57 10 4 м.

27

Полное смещение найдём как геометрическую сумму горизонталь-

ной и вертикальной компонент AC3 2г в2 .

Задача 4.

Условие задачи. Для заданной статически неопределимой стержневой системы определить нагрузку пометодудопускаемых напряжений. Материал стержней: сталь 3 (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1

Решение задачи. Из условия прочности по допускаемым напряжениям следует, что усилие в любом стержне не должно превосходить до-

пускаемое усилие: Ni(F) i Ai Ni .

1. Рассматривая равновесие абсолютно жесткого стержня под действием внешней нагрузки и внутренних усилий, возникающих в стержнях 1 и 2, выразим нагрузку F через усилия N1 и N2.

Используем уравнение сумм моментов относительно опоры B, так как суммы проекций будут содержать неизвестные компоненты реакции опоры B (рисунок 4.2):

Рисунок 4.2 28

2. Так как задача статически неопределима (зависимость между усилиями N1 и N2 не удается установить из уравнений статики), необходимо рассмотреть зависимость между деформациями стержней 1 и 2. Под действием силы F брус АB повернется на бесконечно малый угол, при этом стержни 1 и 2 получат удлинения от усилий N1 и N2.

Построим план перемещений; пусть первый стержень получит удли-

нение l1 (назначаем произвольный отрезок СС1 по направлению

стержня 1. Проводим перпендикуляры через точку С1 к линии первого стержня и через точку С жесткого бруса; пересечение их (точка С2) будет общей точкой для жесткого бруса и конца первого стержня (рису-

нок 4.3).

Рисунок 4.3

Так как брус АВ жесткий, он должен занять положение ВС2. При повороте бруса должно быть выполнено условие неразрушимости конструкция, т.е. конец второго стержня также придет в точку С2, второй стержень, следовательно, должен вытянуться на величину

СС2 l2 . Из треугольника СС1С2 следует

l1 l2 cos300.

3. Раскрываем дополнительное уравнение, используя закон Гука:

N1l1 N2l cos30o.

EА1 EА2

Учитывая, что l2 1,5м, l1 1,5м/cos30o А2 = 2А1, получим:

N1 = 0,75N2.

Допускаемые значения усилий стержней соответственно равны:

Так что, если принять N2 N2 , то из полученной зависимости

каемую нагрузкупометодуразрушающих нагрузок А1=40 см2; А2=30 см2; А3=35 см2.

Пределтекучести дляматериаластержней σт= 240 МПа. Коэффициент запаса прочности понагрузке k=1,5 (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 Решение задачи. Разрушающей нагрузкой называется такая,

при которой конструкция перестает выполнять свои функции ввиду получения больших остаточных деформаций или выхода из состояния равновесия. Поэтому допускаемой нагрузкойможет быть уменьшенная, в коэффициент запаса прочности разрушающая нагрузка:

F F Fразр. .

k

При увеличении нагрузки усилия в элементах конструкции также возрастают. Если нет упругого расчета и мы не знаем самый напряжен30