- •Сходимость степенного ряда. Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости
- •Исследование степенного ряда на сходимость
- •1) Подставляем значение в наш степенной ряд :
- •2) Исследуем второй конец интервала сходимости. При
- •1) Если , то получается следующий числовой ряд:
- •2) Что происходит на другом конце интервала? При – сходится.
2) Что происходит на другом конце интервала? При – сходится.
А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения:
Пример 9
Найти область сходимости ряда
Достаточно для начала =)
В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел , при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени.
Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При Используем признак Лейбница. – Ряд является знакочередующимся. – члены ряда не убывают по модулю. Вывод: Ряд расходится 2) При Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда
Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ответ: Ряд сходится при
Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему.
Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на : В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3: – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: 1) При Степень сократилась, значит, мы на верном пути. Используем признак Лейбница. Ряд является знакочередующимся. – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на . Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд сходится только условно. 2) При – расходится (по доказанному). Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , при ряд сходится только условно. Область сходимости окончательно можно записать так:, или даже так: . Примечание: Ряд можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения.
Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера: Ряд сходится при – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения. Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом. 2) При – расходится (по доказанному). Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: