1) Подставляем значение в наш степенной ряд :

 

Будьте предельно внимательны, множитель  не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения  в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на . Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Исследуем второй конец интервала сходимости. При

Используем признак Лейбница:  – Ряд является знакочередующимся. –  – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится

Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку   – расходится (по доказанному).

Ответ:  – область сходимости исследуемого степенного ряда, при  ряд сходится только условно.

Пример 7

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Это пример для самостоятельного решения.

Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера.

Пример 8

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала 

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:

Предел   по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статьеПризнак Даламбера. Признаки Коши.

Итак, ряд сходится при 

Умножаем обе части неравенства на 9: Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол : Раскрываем модуль: И прибавляем ко всем частям единицу:

 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель  бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились степени , а значит, интервал сходимости найден правильно.

По всем признакам для полученного числового ряда  следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал на уроке Ряды для чайников. Повторим.

Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: .

Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд  сходится вместе с рядом .