Вариант № 11

1. Даны две функции. Требуется:

1. выяснить, является функция алгебраической или трансцендентной;

2. найти область определения функции;

3. вычислить ;

4. исследовать функцию на чётность, нечётность;

5. исследовать функцию на периодичность, если функция периодична, указать её наименьший период;

6. найти нули функции и интервалы знакопостоянства;

7. исследовать функцию на непрерывность и найти вертикальные асимптоты;

8. исследовать поведение функции на бесконечности и найти её горизонтальные и наклонные асимптоты;

9. для второй из заданных функций построить график.

1. . 2..

2. Решить задачу на составление аналитической функции.

Миноносец стоит на якоре в 9км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в15км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Гонец может делать пешком по5км/час, а на вёслах по4км/час. Выразить время в пути как функцию расстояния от точки высадки гонца на берег до лагеря.

3. Вычислить пределы:

1. .	7. .
2. .	8. .
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .	11. .
6. .	12. .
Вычислить односторонние пределы и предел этой же функции при . 13. .

4. Используя определение непрерывности функции в точке через предел её приращения, доказать непрерывность функции в заданной точке.

5. Даны две функции. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва, сделать схематический чертёж графика функции.

1.. 2.

6. По эскизу графика описать поведение функции на языке пределов в точках ии при стремлении аргумента функции к.

VII. Построить график функции, если известно, что

,,,

,.

Дать каждому из пределов определение по Коши (используя неравенства для задания - и-окрестностей).

Вариант № 12

1. Даны две функции. Требуется:

   1. выяснить, является функция алгебраической или трансцендентной;

   2. найти область определения функции;

   3. вычислить ;

   4. исследовать функцию на чётность, нечётность;

   5. исследовать функцию на периодичность, если функция периодична, указать её наименьший период;

   6. найти нули функции и интервалы знакопостоянства;

   7. исследовать функцию на непрерывность и найти вертикальные асимптоты;

   8. исследовать поведение функции на бесконечности и найти её горизонтальные и наклонные асимптоты;

   9. для второй из заданных функций построить график.

1. . 2..

2. Решить задачу на составление аналитической функции.

В полуокружности радиуса Rвписан прямоугольник со стороной, параллельной линии диаметра. Выразить периметр прямоугольника как функции одной из сторон.

3. Вычислить пределы:

1. .	7. .
2. .	8. .
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .	11. .
6. .	12. .
Вычислить односторонние пределы и предел этой же функции при . 13. .

4. Используя определение непрерывности функции в точке через предел её приращения, доказать непрерывность функции в заданной точке.

5. Даны две функции. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва, сделать схематический чертёж графика функции.

1.. 2.

6. По эскизу графика описать поведение функции на языке пределов в точках ии при стремлении аргумента функции к.

VII. Построить график функции, если известно, что

,,,

,;.

Дать каждому из пределов определение по Коши (используя неравенства для задания - и-окрестностей).