Вариант № 1

1. Даны две функции. Требуется:

1. выяснить, является функция алгебраической или трансцендентной;

2. найти область определения функции;

3. вычислить ;

4. исследовать функцию на чётность, нечётность;

5. исследовать функцию на периодичность, если функция периодична, указать её наименьший период;

6. найти нули функции и интервалы знакопостоянства;

7. исследовать функцию на непрерывность и найти вертикальные асимптоты;

8. исследовать поведение функции на бесконечности и найти её горизонтальные и наклонные асимптоты;

9. для второй из заданных функций построить график.

1. . 2..

2. Решить задачу на составление аналитической функции.

Бревно длиной 20м имеет форму усечённого конуса, диаметры оснований которого равны соответственно2м и1м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпала бы с осью бревна. Выразить объём балки как функцию высоты балки.

3. Вычислить пределы:

1. .	7. .
2. .	8. .
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .	11. .
6. .	12. .
Вычислить односторонние пределы и предел этой же функции при . 13. .

4. Используя определение непрерывности функции в точке через предел её приращения, доказать непрерывность функции в заданной точке.

5. Даны две функции. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва, сделать схематический чертёж графика функции.

1. . 2.

6. По эскизу графика описать поведение функции на языке пределов в точках ии при стремлении аргумента функции к.

VII. Построить график функции, если известно, что

,,,

,,.

Дать каждому из пределов определение по Коши (используя неравенства для задания - и-окрестностей).

Вариант № 2

1. Даны две функции. Требуется:

   1. выяснить, является функция алгебраической или трансцендентной;

   2. найти область определения функции;

   3. вычислить ;

   4. исследовать функцию на чётность, нечётность;

   5. исследовать функцию на периодичность, если функция периодична, указать её наименьший период;

   6. найти нули функции и интервалы знакопостоянства;

   7. исследовать функцию на непрерывность и найти вертикальные асимптоты;

   8. исследовать поведение функции на бесконечности и найти её горизонтальные и наклонные асимптоты;

   9. для второй из заданных функций построить график.

1. . 2..

2. Решить задачу на составление аналитической функции.

Полоса железа шириной 10м и длиной20м должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму кругового сегмента). Выразить объём желоба как функцию центрального угла, опирающегося на дугу сегмента.

3. Вычислить пределы:

1. .	7. .
2. .	8. .
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .	11. .
6. .	12. .
Вычислить односторонние пределы и предел этой же функции при . 13. .

4. Используя определение непрерывности функции в точке через предел её приращения, доказать непрерывность функции в заданной точке.

5. Даны две функции. Исследовать функции на непрерывность, указать тип точек разрыва, сделать схематический чертёж графика функции.

1.. 2.

6. По эскизу графика описать поведение функции на языке пределов в точках ии при стремлении аргумента функции к.

VII. Построить график функции, если известно, что

,,,

,,.

Дать каждому из пределов определение по Коши (используя неравенства для задания - и-окрестностей).