3.7.2. Аппроксимация опытных зависимостей

При обработке опытных данных часто приходится строить графики зависимости исследуемой величины от параметров режима. При этом, естественно, совсем не обязательно, чтобы кривая проходила через все опытные точки. Сглаживание экспериментальных зависимостей предполагает применение однотипных формул для сходных процессов в однотипных объектах. Вид таких формул определяется предварительным качественным анализом.

При известном виде аппроксимирующей функции задача сводится к отысканию численных значений параметров(коэффициентов) зависимости, при которых достигается наилучшее согласие выбранной кривой с опытными точками на основе некоторого принципа. В качестве такого принципа обычно используется метод наименьших квадратов, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений n отдельных точек с координатами x_iиу_iот аппроксимирующей кривой у = f (x).

= min (21)

Неопределенные коэффициенты A_j зависимости y = f(x, A₁,A₂,A₃, …) находятся из системы уравнений вида

 [y_i - f(x_i, A₁,A₂,A₃, …)] (f / A₁)_i

 [y_i - f(x, A₁,A₂,A₃, …)] (f / A₂)_i (22)

 [y_i - f(x, A₁,A₂,A₃, …) (f / A₃)_i

В качестве конкретного примера рассмотрим квадратичную аппроксимацию

y = Ax² + Bx + C .

Для коэффициентов A, B, C получим следующую систему линейных уравнений

Ax_i⁴ + Bx_i³ + Cx_i² = x_i²y_i

Ax_i³ + Bx_i² + Cx_i = x_iy_i (23)

Ax_i² + Bx_i + C = y_i

Коэффициенты А, В, С определяются с помощью стандартных методов решения систем линейных уравнений.

Продемонстрированный способ определения неизвестных параметров аппроксимирующей зависимости может быть использован и для других видов зависимостей. При этом для степенных зависимостей используется подстановка z = x^h, а для показательных подстановка z = ln y.

Очевидно, что после определения параметров аппроксимирующей зависимости у(х) , можно найти и показатели ее точности (погрешность).

Для этого можно использовать введенное выше понятие доверительного интервала и доверительной вероятности.

3.8. Некоторые практические методы расчета погрешности..

На практике возникает большое количество случаев, когда необходимо получить погрешность функции некоторого количества первично измеряемых величин, для каждой из которых известна погрешность измерения. Для примера рассмотрим случай, когда результат R является функцией двух измеряемых величин Х и Y:

R_p + r₁ = f(X_p+ x₁, Y_p + y₁)

Здесь х₁ и у₁ – погрешности, которые по смыслу должны быть малы по сравнению с самими переменными.

Разложим эту функцию в ряд Тейлора и будем рассматривать лишь первые два члена

R_p + r₁ = f(X_p, Y_p)+