3.2.2. Определения основных понятий, фигурирующих при рассмотрении случайных величин
В зависимости от того, принимает случайная величина только определенные дискретные значения или может принимать любые значения в заданном интервале она является дискретной или непрерывной. Вероятность появления данного значения дискретной случайной величины (события) мы будем обозначать буквой р.
Вероятностные свойства случайной величины Х считаются заданными, если известна функция распределения F(x), определяемая формулой
F(x) = P (X < x),
где х – любое вещественное число.
Эту функцию иногда называют интегральной функцией распределения.
Математическое ожидание случайной величины совпадает с ее средним значением, определяемым формулой (2). Однако, учитывая повторяемость событий, перепишем ее в виде
=
=mx
(4)
Если вероятности получены экспериментально через частоты наблюдения, то иногда используют знак * - М* и р*.
Начальным моментом порядка s случайной величины х называется сумма
(5)
Эти определения даны по аналогии с моментом в теоретической механике.
Формула (4) определяет первый момент - математическое ожидание.
Введем теперь понятие о центрированной случайной величине. Центри-рованной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания.
(6)
Очевидно, что математическое ожидание центрированной случайной величи-ны равно нулю, Действительно
Ее моменты носят название центральных моментов.
Второй центральный момент называется дисперсией случайной вели-чины. Ввиду особой важности этой величины она имеет особое обозначение D[X]. Согласно определению имеем
D[X] = M[(X – mx)2]
(7)
3.2.3. Условные вероятности. Априорная и апостериорная вероятность
При анализе удобно рассматривать так называемое пространство вероятно-стей, ограниченное контуром L. Будем считать событием попадание слу-чайной точки внутрь контура L , причем попадание это в любые равновели-кие площади считаем равновероятным. Попадание точки внутрь контура l1 - событие А, а внутрь контура l2 - событие В. Если площади контуров l1 l 2 равны соответственно SA и SB , а площадь всего контура l - то S, то вероят-ность Р(А) = SА / S.
Рис.1. Геометрическая интерпретация вероятностей
Р(В) = SВ / S. Очевидно, что имеют место неравенства
P(A) 1 , P(В) 1
Обозначая общую часть площади контуров через SАВ. Она соответствует одновременной реализации событий А и В, то есть их произведению. Как упоминалось выше, вероятность этого случая определяется произведением вероятностей.
P(AB)
=
Эта вероятность называется условной и будет обозначаться здесь как Р(В|A) или Р(А|В) . То есть
Р(АВ) = Р(В|A) P(А)= Р(А|В) P(В)
Приведенные зависимости уже были получены выше без использования геометрической интерпретации.
Рассмотрим
теперь ряд несовместных событий H1,
H2,
…, Hm
, образу-ющих
полную группу
событий, из
чего следует, что
.
Будем назы-вать эти события гипотезами.
Положим, что некоторое событие А может
про-изойти вместе с гипотезойHj
с вероятностью
P(A|Hj).
Теперь определим пол-ную вероятность
события А независимо от того, какая
гипотеза реализова-лась. Очевидно, что
Так как события АHj несовместны, то, применяя формулы сложения и умножения вероятностей, получим
Полученная формула и есть формула полной вероятности, позволяющая вычислить ее, зная вероятности гипотез и условные вероятности. Для каждого из членов последней суммы можно записать
P(A|Hj)P(Hj)
= P(Hj|A)P(A)
Отсюда имеем следующую важную формулу
Смысл этой формулы состоит в том, что вероятность гипотезы Hj после испытания, давшего исход А, равна вероятности гипотезы Hj до испытания, умноженной на вероятность события, имевшего место при испытании, и поделенной на полную вероятность этого события. Полученная формула носит название формулы Байеса. Поясним ее на примере решения двух задач.
1. Пусть имеется 4 измерительных прибора: 3 исправных и 1 неисправный.
При измерениях исправным прибором вероятность ошибки, превышающей допустимую ри = 0,04. Для неисправного прибора эта вероятность – 0,92.
Определить вероятность получения ошибки, превышающей допустимую, если измерение проведено прибором взятым наудачу (априорная вероятность). Сформулируем условия задачи.
Событие А – получение недопустимой ошибки. Гипотеза Н1- взятый прибор исправен, гипотеза Н2 – прибор неисправен.
Р(Н1) = 0,75; Р(Н2) = 0,25. Условные вероятности события А:
Р(А|H1) = pи = 0,04; Р(А|H2) = рн = 0,92.
По формуле для полной вероятности имеем:
Р(А)
=
0,04
0,75 + 0,92 0,25 = 0,26
2.При замере получена ошибка, превышающая допустимое значение.
Определить вероятность того, что измерения проводились неисправным прибором (апостериорная вероятность).
Воспользуемся формулой Байеса
P(H2|A)
=
0,884
Итак, до испытания вероятность гипотезы Н2 равнялась 0,25, а после испытаний выросла примерно в 3,5 раза.
При обратном результате измерения мы бы имели
P(H2|A)
=
0,027
и вероятность гипотезы Н2 уменьшилась бы в примерно в 9 раз.