3.6.2. Уточненные зависимости для доверительного интервала и доверительной вероятности
При анализе результатов измерения случайных величин доверительные вероятности определялись для отдельных результатов измерений xi , то есть устанавливалась вероятность того, что xi не отклоняется от истинного значе-ния более, чем на x. Однако, возможно даже важнее знать, насколько может уклоняться от истинного значения х среднее арифметическое наших измерений. Очевидно, что при малом количестве измерений такое уклонение может привести к заметной погрешности в определении доверительного интервала для заданной доверительной вероятности.
Построим случайные величины Т, V по формулам
T
=
, V
=
, (18)
в
которых
определяются по формулам (6, 7). Очевидно,
что величинаТ
является формой отыскиваемого уклонения.
В теории вероятностей доказывается, что при нормальном распределении величины х величина Т подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента с n – 1 степенями свободы, а величина V - так называемому распределению 2 с n – 1 степенями свободы.
Здесь приводятся конкретные формулы для указанных распределений, поскольку формулы эти достаточно громоздки и практически для опреде-ления этих функций все равно пользуются таблицами или готовыми пакета-ми программ для обработки наблюдений. Покажем, как используются эти распределения для уточнения доверительных интервалов.
Пусть для оценки математического ожидания имеется выражение
(19)
Перейдем
к в неравенстве к случайной величине
Т.
Умножим обе его части на величину
.
Тогда получим
=
или
=
.
Теперь, пользуясь таблицей, можно найти t , соответствующее условию
=
Тогда
и доверительный интервал будет
(20)
Как видно из формулы (23), при больших значениях n поправка окажет-ся незначительной.
3.7. Представление результатов измерений
3.7.1. Общие требования к представлению результатов измерений
Полученное в экспериментах опытное значение физической величины практически может быть использовано лишь при условии оценки его погрешности. Погрешности эти могут быть связаны с погрешностью измерительных приборов, а также математических операций, которые были проделаны с исходными первичными результатами при вычислении указанной величины.
В настоящее время метрологические стандарты требуют численных оценок уровней систематических и случайных погрешностей в прямой связи с вероятностным содержанием этих понятий. Поясним на примере форму представления результатов измерений, рекомендуемую ГОСТом:
Пусть измеренная температура в некоторой точке аппарата составляет 352 К и с вероятностью = 0,9 известно, что она не менее 351 К и не более 355 К. Тогда этот результат записывается так: Т = 352 К, от – 1 до 3 К; = 0,9. В случае симметричного интервала результат можно записать короче: Т = 352 2 К, = 0,9.
Данная форма может быть использована, когда наряду с рабочим изме-рением обеспечена многократная экспериментальная проверка показаний примененного средства измерения в условиях, максимально приближенных к рабочим. Задача состоит в изучении итогового отличия замеренного значения от действительного статистическими методами вне зависимости от физичес-кой природы и количественных соотношений систематической и случайной составляющих погрешности. Выражаясь конкретнее, речь идет о проверке показаний прибора при наличии образцового измерительного устройства или при иной возможности задания эталонного значения измеряемой величины. Полученный при этом эмпирический закон распределения погрешности слу-жит основанием для оценки суммарной погрешности в зависимости от доверительной вероятности . Примеры подобных оценок можно встретить при лабораторном определении погрешностей расходомерных устройств на основе измерения поля скоростей с применением пневмометрических трубок в качестве эталонных средств измерения.
Во многих температурных измерениях решающая роль принадлежит пог-решностям, возникающим в чувствительном элементе (первичном преобра-зователе). Как правило, при этом преобладают погрешности, обусловленные воздействиями со стороны изучаемого объекта. При изучении отдельных сос-тавляющих таких погрешностей они могут перейти в разряд детерминиро-ванных величин. В более общем случае эти составляющие можно рассматри-вать как случайные величины со своим математическим ожиданием и дис-персией. Это так называемые «функции влияния (ФВ)» , которые входят в число важнейших метрологических характеристик средств измерений. Фор-мальное определение этих функций следующее: ФВ – «зависимость измене-ний метрологической характеристики средства измерений от изменений вли-яющих величин или неинформативных параметров входного сигнала в пре-делах рабочих условий эксплуатации».
Учитывая ФВ мы получаем несимметричные относительно нуля преде-лы систематической погрешности, на которую накладывается симметричная случайная погрешность, связанная с классом точности измерительного при-бора или с колебаниями параметров режима при испытаниях.
Постоянная составляющая систематической погрешности может быть устранена путем введения поправки, равной по абсолютной величине мате-матическому ожиданию этой погрешности.