ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
13e |
j22,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U25 |
12 j5 |
|
0,13e |
j112,6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I1 |
|
jXC1 |
|
j100 |
|
100e j90 |
|
0,05 j0,12 |
A, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j14,9 |
|
||
I I1 I2 0,05 j0,12 0,2 j0,16 0,15 j0,04 0,155e |
A, |
|||||||||||||
|
U R1I1 U25 20 (0,15 j0,04) 12 j5 3 j0,8 12 j5 15 j4,215,5ej15,6 B.
Коэффициент мощности цепи определим как косинус разности начальных фаз входного напряжения и тока:
cos cos( U I) cos 15,6 ( 14,9 ) cos 30,5 0,855.
Сделаем проверку решения задачи, для чего рассчитаем комплекс эквивалентного входного сопротивления цепи:
|
|
|
R3jXL4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 j50 |
|
|
|
|||
|
jXC1 |
|
|
|
|
j(XL2 XC3) |
|
|
|
j100 |
|
|
|
j(90 65) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 j50 |
|
|
|
|||
Z |
|
R3 jXL4 |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
20 |
||||||
jXC1 |
|
R3jXL4 |
|
|
j(XL2 XC3) |
|
j100 |
40 j50 |
j25 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R3 jXL4 |
|
|
|
|
40 j50 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
84ej37,5 |
20 86,5 j51 100ej30,5 Ом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Откуда 30,5 , а cos 0,855. Тогда входное напряжение: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j14,9 |
|
|
j30,5 |
|
j15,6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U IZ 0,155e |
100e |
15,5e |
B. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для построения ВД токов выбираем масштаб токов МI = 0,1 A/см и используя расчетные значения токов I1, I2, I3 , I4, I строим в начале координат комплексной плоскости пятилучевую звезду (см. рис. 2.2.4.а).
Для построения ТВД напряжений, выбираем масштаб напряжений МU = 3 B/см и рассчитываем напряжения между точками, обозначенными на рис. 2.2.4. при построении ТВД напряжений также как и в задачах 2.2.3, 2.2.4 будем учитывать, что в активных сопротивлениях вектора токов и напряжений совпадают по фазе (располагаются параллельно), а в реактивных сопротивлениях сдвинуты на 90 (располагаются взаимноперпендикулярно), см. рис. 2.2.4.а.
|
|
|
|
|
|
20 (0,15 j0,04) |
||
|
|
|
|
U12 |
R1I1 |
|||
|
Рис. 2.2.4.а |
|
3 j0,8 3,11e j14,93 B, |
|||||
|
|
j90 (0,2 j0,16) 14,4 j18 23,05e |
j51,3 |
|
||||
U23 |
jXL2I2 |
B, |
||||||
|
||||||||
|
|
|
j0 |
B, |
|
|
|
|
U34 |
jXL4I4 |
R3I3 8e |
|
|
|
|
71
|
|
|
|
j65 (0,2 j0,16) 10,4 j13 16,65e |
j128,7 |
|
|
U45 jXС3I5 |
jXС3I |
2 |
B. |
||||
|
Задача 2.2.5 Определить КПД электрической цепи, представленной на рис. 2.2.5, считая нагрузкой параллельный контур XC3 R4. Найти токи в ветвях и показания вольтметра, если: Е 200 В, XC =20 Ом, R1 = ХL1 = ХL2 = 40 Ом, XC3 = 100 Ом, R4 = 200 Ом.
РЕШЕНИЕ:
Направим токи в ветвях и обозначим характерные точки на схеме. КПД определяется отношением полезной активной мощности нагрузки, к затраченной активной мощности источника:
|
|
Pпол.н |
|
|
UнIн cos н |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Pзатр.ист |
|
EIcos э |
|||
Рис. 2.2.5 |
В данной цепи: Uн Ubc, Iн I2, |
||||||
|
|
|
и |
|
|||
следовательно, для решения задачи необходимо найти Ubc |
I2. |
||||||
Прежде всего, определим сопротивление всей цепи Zэ, |
для этого введем |
соответствующие обозначения и рассчитаем комплексные сопротивления отдельных участков:
Z R |
1 |
jX |
L1 |
40 j40 57,6ej45 |
|
|
Ом, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z34 |
|
|
jXС3R4 |
|
|
j100 200 |
|
|
90,3e |
j63,6 |
40 j80 Ом, |
||||||||||||||||||
R4 jXC3 |
|
200 j100 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
отсюда можно иначе рассчитать cos н: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Gн |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rэ |
|||||
|
cos н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||
|
Yн |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
или cos |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
Zэ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
XC3 |
|
|
|
|
|
|
Подставляя значения сопротивлений в последнее выражение, получим:
|
cos |
н |
cos 63,6 0,444 |
или |
cos |
40 |
0,444. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
90,3 |
|
|
|
|||
Z jXС j20 |
Ом, Z2 jXL2 j40 |
Ом, |
|
|
|
|
|
|||||||||
Z |
24 |
Z Z |
34 |
j40 40 j80 40 j40 57,6e j45 |
Ом, |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
57,6ej45 |
57,6e j45 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Z Z |
24 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Zэ Z |
1 |
j20 |
|
|
|
40 j20 45e |
|
j26,4 |
Ом, |
|||||||
Z1 Z24 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
40 j40 40 j40 |
|
|
|
|
|
||||||
отсюда |
коэффициент |
мощности всей цепи: |
cos э cos 26,4 0,89 |
или |
cos э 40 0,89. 45
72
Рассчитаем токи в ветвях:
|
|
Е |
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,45e |
j26,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Zэ |
45e j26,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z24 |
|
|
|
4,45e |
j26,4 |
57,6e j45 |
3,18e |
j18,6 |
|
|
|||||||||
I1 |
I |
Z Z |
24 |
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
3 j1 |
A, |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
57,6ej45 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
4,45e |
j26,4 |
|
|
3,18e |
|
j71,4 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I2 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 j3 |
А. |
|||||||||
Z Z |
24 |
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем модуль напряжения на нагрузке:Uн Ubc Z34I2 90,3 3,18 287 B, и активную мощность нагрузки: Pпол 287 3,18 0,444 405 Вт,
Рассчитаем активную мощность, затраченную источником: Pзатр 200 4,45 0,89 792 Вт.
Тогда КПД электрической цепи: 405 0,511. 792
Для определения показаний вольтметра вычислим комплекс напряжения между точками "a" и "b":
|
|
|
|
j161,6 |
|
|
Uab Z2I |
2 |
R1I1 j40 (1 j3) 40 (3 j1) 240 j80 253e |
B. |
|||
|
Вольтметр покажет модуль комплекса действующего значения напряжения
Uab : UV Uab 253 B.
Задача 2.2.6 Определить токи в цепи, представленной на рис. 2.2.6, используя преобразования "треугольника" в эквивалентную "звезду", если:
Е 100 В, ХL = XC = R = 10 Ом.
РЕШЕНИЕ:
Направим токи в ветвях, отметим буквами узлы в цепи. В данной задаче для преобразования "треугольника" в "звезду" можно использовать два варианта: а) "треугольник" "abc" и б) "треугольник" "bcd".
Преобразуем "треугольник" "abc" в "звезду" (рис. 2.2.6.а).
Рис. 2.2.6
Вначале найдем сумму трех сторон "треугольника" Z в комплексной форме: Z R jXL jXC R 10 Ом, а затем рассчитаем комплексные сопротивления "звезды":
Za |
jXLR |
jXL j10 Ом, |
Zb |
jXC jXL |
|
j10 j10 |
10 Ом, |
|
|
||||||
|
Z |
|
|||||
|
Z |
|
10 |
|
73
Zc jXCR jXC j10 Ом. Z
Выразим в комплексной форме сопротивления в ветвях "с – d" Z1 и
"b – d" – Z2 :
Z1 jXC j10 Ом, |
Z2 R 10 Ом. |
Определим эквивалентное сопротивление це- |
|
пи относительно зажимов "a" и "d" источника |
|
ЭДС Е: |
|
Рис. 2.2.6.а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
b |
Z |
|
Z |
c |
Z |
|
|
20 20e j90 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z Za |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
j10 |
|
|
|
|
|
10 Ом. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
20 20e j90 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb Z2 Zc Z1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассчитаем токи во всех ветвях схемы на рис. 2.2.19.а: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Е |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
|
|
10 |
|
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
20e j90 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Z Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j45 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,07e |
|
|
|
|
||||
I |
4 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 j5 A, |
|||||||
Zb Z2 Zc Z1 |
|
20 20e j90 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
5 I I4 10 5 j5 5 j5 7,07e |
A. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для определения тока I1 в исходной схеме на рис. 2.2.6, рассчитаем на-
пряжение Uac в схеме (рис. 2.2.6.а):
|
|
|
|
|
|
|
j10 10 j10 (5 j5) 50 j50 7,07e |
j45 |
B, тогда |
||||
|
Uac ZaI ZcI5 |
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
50 j50 |
|
j45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Uac |
|
5 j5 7,07e |
|
|
|
|
||||
|
I1 |
|
R |
|
10 |
|
|
A. |
|
|
|
||
Токи |
|
и |
|
в исходной схеме найдем по первому закону Кирхгофа: |
|||||||||
I2 |
I3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j45 |
|
|
|
|
|
I2 I I1 10 5 j5 5 j5 7,07e |
A, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 j5 5 j5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
I2 |
I4 |
|
|
|
|
|
|
Правильность расчетов проверим с помощью уравнения, составленному по 2-му закону Кирхгофа для внешнего контура (рис. 2.2.6): jXLI2 RI4 Е, откуда после подстановки получим, что:
j10 (5 j5) 10 (5 j5) 100 Е 100 В.
Находим активную и реактивную мощности источника и приемников:
PИСТ EIcos 100 10 1 1000 |
|
Вт, |
|
|
||
PН R I12 |
I4 |
2 10 7,072 7,072 1000 |
Вт. |
|
||
QИСТ 0, |
|
QН XLI2 |
2 |
XCI52 |
10 7,072 10 7,072 |
0. |
Баланс мощностей сходится, следовательно, расчет схемы выполнен верно.
74
Задача 2.2.7 Рассчитать токи в схеме представленной на рис. 2.2.7. Определить мощность источника и мощность нагрузки, cos и КПД, ес-
ли:E |
100ej45 |
В, |
Z |
0 |
3 j4 Ом, |
Z 10 |
Ом, |
|
Z |
2 |
6 j8 |
Ом, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Z3 10 j10 Ом, |
Z4 16 j16 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяем |
эквивалентное |
ком- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плексное сопротивление цепи: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z234 Z2 |
|
Z3Z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z3 Z4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Рис. 2.2.7 |
|
|
|
6 j8 10 j10 16 j16 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 j10 16 j16 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14,844 j5,514 |
Ом, |
|
|
|
||||
Z Z |
Z1Z234 |
3 j4 |
10 14,844 j5,514 |
9,164 j3,149 9,69ej18,962 Ом. |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
э |
0 |
Z Z |
234 |
|
|
|
10 14,844 j5,514 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем ток, протекающий в ветви с источником ЭДС:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
70,7 j70,7 |
|
|
9,273 j4,53 10,32e |
j26,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
9,164 j3,149 |
|
|
|
А, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zэ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Методом "чужой" ветви определяем ток I1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z234 |
|
|
|
|
|
9,273 j4,53 |
|
|
|
|
14,84 j5,514 |
|
|
6,1 j2 6,422e |
j18,173 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
I1 |
I |
Z |
234 |
Z |
|
|
|
10 14,84 j5,514 |
|
|
|
|
|
А, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
По 1-му закону Кирхгофа определяем ток I2 : |
|
|
|
j38,55 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,273 j4,53 6,1 j2 3,171 j2,527 4,055e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I2 I I1 |
|
А, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Методом "чужой" ветви ток |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z4 |
|
|
3,171 j2,527 |
|
|
|
|
|
16 j6 |
2,6 j0,423 2,634e |
j9,25 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
I3 I2 |
Z3 Z4 |
|
10 j10 16 j6 |
|
|
|
А, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а по 1-му закону Кирхгофа находим ток I4 : |
|
|
|
|
|
|
|
j74,8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,171 j2,527 2,6 j0,423 0,571 j2,1 2,18е |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
I4 I2 |
I3 |
|
А. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Правильность расчета проверим с помощью баланса мощностей источни- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ка и нагрузки, для чего рассчитаем их комплексные мощности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SИСТ E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I 70,7 j70,7 9,273 j4,53 976,02 j335,38 1032еj18,964 ВА, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
H |
I2Z |
0 |
I2 Z I2 Z |
2 |
I2Z |
3 |
I |
2 Z |
4 |
10,322 3 j4 6,4222 10 4,0552 |
6 j8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2,6342 10 j10 2,182 16 j6 976,02 j335,38 1032еj18,964 BA. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Баланс сошелся, следовательно, токи найдены верно. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Запишем мгновенные значения токов в ветвях исходной схемы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i(t) 10,32 |
|
|
|
|
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2sin t 26,04 14,595sin t 26,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i1(t) 6,422 |
|
|
|
sin t 18,173 9,082sin t 18,173 |
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
75
|
|
|
|
|
i2(t) 4,055 |
|
2sin t 36,55 5,735sin t 36,55 A, |
||
i3(t) 2,634 |
|
2 |
sin t 9,25 3.725sin t 9,25 |
A, |
i4(t) 2,18 |
|
|
A. |
|
2sin t 74,8 3,083sin t 74,8 |
Для определения КПД вычислим активную мощность источника его внутреннего сопротивления и нагрузки:
|
|
* |
Re 976,02 j335,38 976,02 Вт, |
PИСТ Re EI |
|||
|
|
|
|
P Re I2Z0 Re 10,322 3 j4 Re 319,524 j426,01 319,524 Вт,
PH Re I12Z1 I22Z2 I32Z3 I24Z4
Re 6,4222 10 4,0552 6 j8 2,6342 10 j10 2,182 16 j6
Re 656,5 j90,68 656,5 Bт,
|
PH |
100% |
656,5 |
100% 67,3%. |
|
PИСТ |
976,02 |
||||
|
|
|
В завершение рассчитаем коэффициент мощности всей цепи:
cos P 976,02 0,946. S 1032
Задача 2.2.8 Для цепи, представленной на рис. 2.2.8 рассчитать комплексы токов и напряжений. Построить ВД токов и напряжений и найти выражения мгновенных значений входного тока, напряжения и мощности. Определить активные и реактивные составляющие мощностей во всех ветвях. Составить баланс мощностей в комплексной форме, если: R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом,
|
|
|
R3 =12 Ом, L = 50,93 мГн, C = 318,31 мкФ, u(t) 100 |
2sin t B, f = 50 Гц. |
Рис. 2.2.8
Z |
э |
Z |
Z2 Z3 |
|
Z2 Z3 |
||||
|
1 |
РЕШЕНИЕ:
По заданным L – C параметрам и частоте определим реактивные сопротивления:
|
XL L 2 f L 2 50 50,93 10 3 |
16 |
Ом, |
||||||||||
|
XC |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
10 Ом. |
||
|
|
|
2 f C |
2 50 318,31 10 6 |
|||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||
|
Найдем комплексные сопротивления ветвей и эк- |
||||||||||||
|
вивалентное сопротивление всей цепи Zэ: |
|
|||||||||||
|
Z1 R1 jXC 10 j10 |
Ом, |
|
|
|
||||||||
|
Z2 R2 5 |
|
|
Ом, |
|
|
|
|
|
|
|||
Z3 R3 jXL 12 j16 |
Ом, |
|
|
|
|
||||||||
10 j10 |
5 12 j16 |
|
|
14,22 j9,266 16,973e j33,1 |
Ом. |
||||||||
5 12 j16 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
76
Тогда входной ток в соответствии с законом Ома определим как:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
j33,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
4,936 j3,217 5,892e |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I1 |
Zэ |
|
14,22 j9,266 |
|
|
А, |
|
|
|||||||
|
Ток I2 |
рассчитаем методом "чужой" ветви: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Z3 |
|
|
4,936 j3,217 |
|
|
10 j10 |
3,694 j3,439 5,048e |
j42,96 |
|
||||||
I2 |
I1 |
Z2 |
Z3 |
|
5 10 j10 |
|
А, |
||||||||||||
|
Ток |
|
определим в соответствии с 1-м законом Кирхгофа: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
I3 |
|
j10,13 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
4,936 j3,217 3,694 j3,439 1,242 j0,222 1,262e |
|
|||||||||||||||
I |
3 I3 |
I2 |
А. |
||||||||||||||||
|
|
Найдем падение напряжений на участках цепи:
|
|
4,936 j3,217 10 j10 81,53 j17,197 |
83,323e |
j11,91 |
|
|||
U1 I1Z1 |
B, |
|||||||
|
j42,96 |
|||||||
|
|
|
3,694 j3,439 5 18,471 j17,197 |
25,238e |
|
|||
U2 U3 |
I2 Z2 |
B. |
||||||
|
На рис. 2.2.8.а приведена ВД токов и напряжений в комплексной плоскости в масштабах МI = 1 A/см и МU = 10 B/см.
|
|
|
|
Рис. 2.2.8.а |
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем мгновенные значения токов и напряжений: |
|
||||||||||||
u1(t) 83,323 |
|
|
|
|
B, |
i1(t) 5,892 |
|
|
sin t 33,1 |
A, |
|||
2sin t 11,91 |
2 |
||||||||||||
u2(t) u3(t) 25,238 |
|
|
i2(t) 5,048 |
|
|
|
A, |
||||||
2sin t 42,96 B, |
2sin t 42,96 |
||||||||||||
i3(t) 1,262 |
|
|
A. |
|
|
|
|
|
|
||||
2sin t 10,13 |
|
|
|
|
|
|
Определим мгновенное значение входной мощности: p(t) u(t) i1(t) 1002sin t 5,8922sin t 33,1
589,2 cos 33,1 cos 2 t 33,1 493,64 589,2cos 2 t 33,1 .
Найдем модули падений напряжений на элементах цепи:
UR1 I1R1 5,892 10 58,92 |
В, |
UС I1ХС |
5,892 10 58,92 |
В, |
UR2 I2R2 5,048 5 25,24 |
В, |
UR3 I3R3 |
1,262 12 15,144 |
В, |
UL I3ХL 1,262 16 20,192 |
В |
|
|
|
Рассчитаем активную и реактивную мощность на каждом участке цепи:
P1 I12R1 5,8922 10 347,16 |
Вт, |
P2 I2 |
2R2 5,0482 |
5 127,41 |
Вт, |
|
P3 I3 |
2R3 1,2622 12 19,11 |
Вт, |
Q1 I12ХС 5,8922 |
10 347,16 |
ВАр, |
77
Q2 0 ВАр, |
Q3 I3 |
2ХL 1,2622 16 25,48 ВАр. |
Рассчитаем полную мощность на каждом участке цепи:
S1 I12Z1 |
|
P12 Q12 5,8922 14,1 489,491 |
ВA, |
||||
S2 I2 |
2Z2 |
P2 127,41 |
ВA, |
|
|||
S3 I32Z3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
P32 Q32 |
|
1,2622 20 31,853 |
ВA. |
Составим уравнение баланса комплексных мощностей источника и приемников:
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
j31,1 |
|
||
SИСТ UI 100 4,936 j3,217 493,6 j321,7 589,18e |
BА, |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
S |
Н |
I |
2 Z I |
2 Z |
2 |
I |
2 Z |
3 |
5,8922 |
10 j10 5,0482 5 1,2622 |
12 j16 |
|||||
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
493,68 j372,7 589,18e j33,1 BА.
Баланс комплексных мощностей сошелся, значит, расчет цепи выполнен верно.
Задача 2.2.9 Для цепи, представленной на рис. 2.2.9 рассчитать комплексные токи и напряжения. Построить ВД токов и напряжений, найти выражения мгновенных значений входного тока, напряжения и мощности. Определить активные и реактивные составляющие напряжений и мощностей во всех ветвях. Составить баланс мощностей в комплексной форме, если: U = 220 B, ψU = 45°, R1 =5 Ом, R2 =10 Ом, R3 = 4 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 6 Ом, XL1 = 8 Ом, XC2 = 6 Ом, XL3 = 10 Ом, XC4 = 10 Ом, XC5 = 5 Ом.
Рис. 2.2.9
Рис. 2.2.9.а
РЕШЕНИЕ:
Заменяя сопротивления элементов в ветвях схемы комплексными сопротивлениями ветвей, построим схему замещения исходной цепи (рис. 2.2.9.а), а затем рассчитаем значения комплексных сопротивлений ветвей и эквивалентное сопротивление всей схемы.
Z R |
1 |
jX |
L1 |
5 j8 9,43ej57,99 |
Ом, |
1 |
|
|
|
78
Z2 |
R2 jXC2 |
10 j6 11,66e j30,96 Ом, |
||
Z3 |
R3 |
jXL3 |
4 j10 10,77ej68,2 |
Ом, |
Z4 |
R4 |
jXC4 |
8 j10 12,8e j51,34 |
Ом, |
Z5 |
R5 |
jXC5 |
6 j5 7,81e j39,81 |
Ом. |
Далее определим эквивалентное комплексное сопротивление цепи:
Z45 |
|
Z4Z5 |
4,85e |
j44,18 |
3,49 j3,39 |
Ом, |
||||||||||
Z4 Z5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
10ej41,43 7,49 j6,61 |
|
|
||||||||||
Z345 Z3 Z45 |
Ом, |
|||||||||||||||
Z2345 |
Z2 Z345 |
6,66e |
j8,47 |
6,58 j0,98 |
Ом, |
|||||||||||
Z2 Z345 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z |
э |
Z |
Z |
2345 |
14,65ej37,79 |
11,58 j8,98 |
Ом. |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В соответствии с исходными данными комплекс входного напряжения |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j45 |
|
|
|
|
|
|
|
запишем как: |
U 220e |
155,56 j155,56 |
В. Зная U, произведем расчет |
|||||||||||||
|
комплексных токов и напряжений на всех участках цепи символическим методом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220e |
j45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
15,02e |
j7,21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14,9 j1,89 А, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Zэ |
14,65ej37,79 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15,02e |
j7,21 |
6,66e |
j8,47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U2 |
|
|
|
|
I1Z2345 |
|
|
|
|
|
|
|
8,58e |
j46,64 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
I2 |
|
Z2 |
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
|
|
11,66e j30,96 |
|
|
|
|
|
|
5,89 j6,24 |
A, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j7,21 |
|
|
|
j8,47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
U2 |
|
|
|
I1Z2345 15,02e |
6,66e |
10,01e |
j25,77 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
I3 |
|
|
|
Z345 |
|
|
Z345 |
|
|
|
|
|
|
10ej41,43 |
|
|
|
|
|
|
|
9,02 j4,35 |
A, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,01e |
j25,77 |
4,85e |
j44,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U4 |
|
|
|
|
I3Z45 |
|
|
|
3,8e |
j18,59 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
I4 |
|
Z4 |
|
|
|
|
Z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12,8e j51,34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,6 j1,21 |
A, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,01e |
j25,77 |
4,85e |
j44,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U5 |
|
|
|
I3Z45 |
|
|
|
6,24e |
j30,12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
I5 |
|
Z5 |
|
|
|
|
|
Z5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7,81e j39,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5,39 j3,13 |
A. |
Находим комплексные падения напряжений на участках цепи:
|
|
|
|
|
j65,2 |
|
|
|
|
||
U1 I1Z1 141,64e |
|
59,41 j128,58 |
B, |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
100e |
j15,68 |
|
|
|
|
|
|||
U |
2 I2Z2 |
96,28 j27,03 |
B, |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
107,7e |
j42,43 |
|
|
|
|
||||
U3 I3Z3 |
|
79,49 j72,66 |
В, |
||||||||
|
j69,9 |
||||||||||
|
|
48,64e |
|
|
|
||||||
U |
4 I4 Z4 |
16,72 j45,68 |
B, |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
48,64e |
j69,9 |
|
|
|
|||||
U5 I5Z5 |
16,72 j45,68 |
B. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
Находим сопряженные комплексы токов: |
|||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
A, |
* |
|
|
I1 14,9 j1,89 15,02e j7,21 |
|
|
I4 3,6 j1,21 3,8ej18,59 A, |
79
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
A, |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A. |
|
|||||
I2 5,89 j6,24 8,58e j46,64 |
|
|
|
I5 5,39 j3,13 6,24ej30,12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
A, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 9,01 j4,35 10ej25,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислим комплексные мощности источника и приемников. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Комплексные мощности приемников найдем как: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
SН S1 S2 |
S3 S4 |
S5 |
3304,6ej37,75 2612,77 j2023,32 |
BA, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
где: |
* |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j57,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S1 I1 I1Z1 I1 U1 2127,4e |
1127,67 j1803,95 |
BA, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
|
|
|
* |
|
858,37e |
j30,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S2 I2 I2 Z2 |
I2 U2 |
736,08 j441,58 |
BA, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
|
|
|
* |
|
1077e |
j68,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S3 I3 I3Z3 |
I3 U3 |
399,96 j999,98 |
|
|
BA, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
* |
|
|
|
* |
|
184,8e |
j51,34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S4 I4 I4 Z4 |
I4 U4 |
115,46 j144,33 |
BA, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
|
|
|
* |
|
304,1e |
j39,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S5 I5 I5Z5 |
I5 U5 |
|
233,6 j194,7 |
|
|
|
|
BA. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Комплексная мощность источника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
* |
|
|
|
|
j37,79 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SИСТ UI1 3304,4e |
2611,3 j2024,8 |
ВА. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Баланс мощностей практически сошелся, т.к. погрешность не превышает 3%. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенные значения токов и на- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пряжений на участках цепи в об- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щем случае имеют вид: |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) Im sin t i , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) Um sin t u , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где: |
Im I |
|
|
|
|
|
|
|
|
и Um U |
|
|
‒ ам- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плитудное значение тока и напря- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жения; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
– |
начальная фаза |
тока; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u – начальная фаза напряжения. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда мгновенные значения токов в |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветвях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t 7,21 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1(t) 15,02 |
|
|
|
|
|
|
A, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2(t) 8,58 |
|
|
|
sin t 46,64 |
A, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i3(t) 10 |
|
|
|
|
|
|
sin t 25,77 |
A, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i4(t) 3,8 |
|
|
|
|
sin t 18,59 |
A, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i5(t) 6,24 |
|
|
sin t 30,12 |
A. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенные значения напряжений |
Рис. 2.2.9.б. |
на участках цепи: |
|
80