ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Дополнительные единицы измерений [S] = кВА, МВА, mВА, μВА; [P] = кВт, МВт, mВт, μВт; [Q] = кВАр, МВАр, mВАр, μВАр.

Баланс мощностей:

где Uk – напряжение на зажимах источника тока Jk.

1.4 Треугольники токов, напряжений, сопротивлений, проводимо-

стей и мощностей

.

Так как токи (U, Z, Y, S) в символическом методе представляются в ви-

де комплексов, то, отложив вдоль действительной оси комплексной плоскости

.

активную составляющую тока (U, Z, Y, S), а вдоль мнимой оси – реактивную

.

составляющую, получим треугольник токов (U, Z, Y, S), который дает графическую интерпретацию связи между модулем и его активной и реактивной составляющими. На рис. 1.5.а и 1.5.б приведены треугольники напряжений и сопротивлений, токов и проводимостей для RL – цепи, а на рис. 1.6 – треугольники сопротивлений и проводимостей, совмещенные с треугольниками мощностей.

а) б)

Рис. 1.6

12

1.5 Векторные и топографические диаграммы

Векторной диаграммой называется совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной частоты, построенных с соблюдением сдвига их относительно друг друга по фазе. Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока следует сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественной оценки и контроля этих расчетов.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек схемы, называется топографической диаграм-

мой. По топографической диаграмме можно определить напряжение между лю-

.

быми точками схемы. Так, например, вектор напряжения Uab на топографической диаграмме между точками "a" и "b" будет направлен в точку первого индекса, т.е от "b" к "a".

Общее замечание: не следует полностью отождествлять комплексный ток (напряжение) с реальным током, протекающим в цепи (напряжением, действующем на участке цепи). Необходимо помнить, что комплексные величины – это изображения реальных функций времени, поэтому, наряду с комплексными величинами, нужно записывать мгновенные значения этих величин.

1.6 Последовательное соединение R–L–C элементов

Для схемы, представленной на рис. 1.7, справедливы следующие соотношения, записанные для мгновенных (временных) и комплексных функций.

13

напряжением Um и комплексным током Im. Векторная диаграмма для последовательного соединения R–L–C элементов представлена на рис. 1.8.

Комплексное сопротивление для схемы, представленной на рис. 1.7: Z R jX R j(XL XC) R j L 1 C Z ej =Zcosφ + jZsinφ,

1.7 Параллельное соединение R–L–C элементов

ВД для параллельного соединения R–L–C элементов (рис. 1.9) представлена на рис. 1.10.

Комплексная проводимость для схемы, представленной на рис. 1.9:

Y G jB R j(BL BC) G j 1 L C Yej Ycos jYsin ,

где G Ycos , B Ysin , Y G2 (BL BC)2 , arctg 1 L C .G

1.8 Резонанс в электрических цепях

Резонансом называется такой режим работы пассивной электрической цепи, при котором ее полное эквивалентное комплексное сопротивление (проводимость) содержит только вещественную часть, то есть, оказывается чисто активным, а входной ток совпадает по фазе с входным напряжением.

1.8.1Резонанс напряжений

Всоответствии с определением резонанса в электрической цепи, резонанс напряжений возникает при последовательном соединении R, L ,C – элементов вследствие равенства на частоте ω0 реактивных сопротивлений (рис. 1.11).

14

1.8.3 Резонанс токов

Этот резонанс возможен на участке цепи, содержащем параллельное соединение индуктивного и емкостного элементов. Такую цепь часто называют

параллельным колебательным контуром. Если параллельные ветви контура со-

держат активные сопротивления, то их называют реальными параллельными контурами (рис. 1.12 и 1.13).

В соответствии с определением резонанса, в параллельном контуре он будет иметь место, если:

5)arctg BL0 BC0 0.

G1 G2

ВД для реального параллельного контура изображена на рис. 1.14. Здесь I1

=IGL + IBL = IGL – jIBL, а I2 =IGС + IBL = IGС + jIBL.

16

Резонансная частота реального параллельного контура находится из усло-

вия:

активные сопротивления реальных параллельных ветвей оказывают влияние на резонанс в параллельном контуре.

Для получения резонанса RL2 и RС2 должны быть одновременно или боль-

RL2>ρ2 и RС2<ρ2 или RL2<ρ2 и RС2>ρ2 резонанс в параллельном контуре не возникает.

В идеальном параллельном контуре RL=0 и RС=0. Это значит, что в схеме замещения GL и GC будут отсутствовать, а BL0 и BC0 будут зависеть только от частоты и L – C параметров:

ВД для этого случая изображена на рис. 1.15. Токи в параллельно включенных элементах, находящихся под общим напряжением, равны по величине, противоположны по знаку и взаимно компенсируют друг друга, вследствие чего входной ток:

I = IС + IL = 0.

Тогда собственная резонансная частота идеального параллельного контура может быть найдена как: от 1LC, отсюда следует, что ωот определяется, подобно резонансной частоте последовательного колебательного контура

( он).

Отношение:

17

называется добротностью параллельного контура, а величина d = 1/Q' называется затуханием параллельного контура.

При резонансе в реальном параллельном контуре сумма энергий электрического и магнитного полей не остается постоянной. Она постоянна лишь в теоретическом случае при RL = RС = 0, то есть в идеальном параллельном контуре.

1.9 Резонанс в сложных цепях

Если в сколь угодно сложной электрической цепи реактивные составляющие сопротивлений или проводимостей схемы обращается в нуль (X = 0, B = 0), то это служит свидетельством резонансных явлений в разветвленных цепях. Количество резонансных частот определяется числом разнородных L – C элементов и способом их соединения.

Условия резонанса напряжений X XL XC 0 и резонанса токов B BL BC 0 остаются справедливыми и для разветвленных электрических цепей. В целях упрощения частотного анализа таких цепей можно использовать мнемоническое правило, основанное на условиях резонанса токов и резонанса напряжений, а также на зависимости реактивных сопротивлений XL L и XC 1 C от частоты.

Так, при ω = 0 (на постоянном токе), реактивное индуктивное сопротивление в установившемся режиме обращается в нуль – XL L 0 L 0 (превращается в "шунт"), а реактивное емкостное сопротивление стремится в бесконечность – XC 1 C 10 C , что эквивалентно "обрыву" цепи. В этом случае последовательный и параллельный контура приводятся к виду:

Рис. 1.16

Если частота источника питания ω = 0, то это будет источник постоянной ЭДС, следовательно, для характеристики электромагнитных процессов в цепи при ω = 0 можно использовать понятие "постоянный ток – I". Тогда, мнемоническое правило можно сформулировать следующим образом:

18

Если в разветвленной (или последовательно-параллельной) электрической цепи есть контур для протекания постоянного тока, то первым по частоте, изменяющейся от 0 до ∞, будет резонанс токов (рис. 1.16.б).

Если в разветвленной (или последовательно-параллельной) электрической цепи контура для прохождения постоянного тока нет, то первым по частоте, изменяющейся от 0 до ∞, будет резонанс напряжений (рис. 1.16.а).

Применяя мнемоническое правило для разветвленных электрических цепей, представленных на рис. 1.17 – 1.18, получим, что в схеме на рис. 1.17 первым по частоте, изменяющейся то 0 до ∞ будет резонанс токов, а вторым – резонанс напряжений. В схеме, представленной на рис. 1.18 первым по частоте будет резонанс напряжений, а вторым резонанс токов. Это связано с тем, что в схеме на рис 1.17 есть контур для протекания постоянного тока, а в схеме на рис. 1.18 такого контура нет.

Для доказательства приведенного выше утверждения найдем входное сопротивление для схемы, приведенной на рис. 1.17.

2L1C1 1 0, тогда X 0, а резонансная частота для параллельного контура будет равна:

от 1L1C1.

При резонансе напряжений X 0, поэтому приравниваем к нулю всю квадратную скобку уравнения входного сопротивления (Zвх):

L1

L2 2L1C1 1 0.

Приведем все к общему знаменателю, а затем умножим на общий знаменатель левую и правую части тождественного равенства, после чего, получившееся выражение разделим на ω:

19

L2 2L1C1 1 L1 0|: , тогда: L2 2L1C1 1 L1 0,

откуда, раскрывая скобки и группируя подобные, получим:

2L1L2C1 L1 L2 0,

Из последнего выражения находим частоту, при которой в разветвленной цепи будет резонанс напряжений:

Рис. 1.19

Для схемы, представленной на рис. 1.18 справедливы аналогичные рассуждения. Выполнить самостоятельно.

20