ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

Из рассмотренного следует, что при проведении частотного анализа важно установить какой первый "по частоте" будет резонанс, так как нули (X 0) и полюса (X ) входного сопротивления схемы в разветвленных электрических цепях строго чередуются друг за другом.

1.10 Цепи со взаимоиндуктивностью

Если две или несколько катушек индуктивности имеют общую систему, то такие катушки называются магнитосвязанными (рис. 1.20).

Изменение тока i1(t) в катушке с индуктивностью L1 приводит к возбуждению в этой катушке ЭДС самоиндукции:

щий электромагнитную энергию магнитосвязанных контуров и имеющий ту же размерность, что и индуктивность отдельно взятой катушки; k – коэффициент, характеризующий степень сцепления магнитных потоков катушек; k ≤0,3 – для трансформаторов и катушек без ферромагнитных сердечников.

Индексы у коэффициента взаимоиндуктивности "Мi,k" имеют физический смысл. Первый индекс (i) указывает с какими контурами сцепляется магнитный поток, а второй индекс (k) указывает номер тока и катушки, создающей магнитный поток связи.

При последовательном и параллельном соединении катушек, в зависимости от направления намотки катушек и их токов, магнитные потоки катушек или складываются или вычитаются. В первом случае говорят о согласном, а во втором о встречном включении магнитосвязанных катушек.

Для удобства описания электромагнитных процессов на схемах замещения начала катушек маркируют или точками или звездочками.

1.11 Последовательное соединение магнитосвязанных катушек

Схема соединения для согласного включения представлена на рис. 1.21, а для встречного на рис 1.22. Катушки считаются включенными согласно, если конец предыдущей соединен с началом последующей и встречно, если это условие нарушено (рис. 1.22).

21

При последовательном соединении обе катушки обтекаются одним (общим) током, а напряжение источника питания u(t) прикладывается к активным сопротивлениям катушек R1 и R2 и уравновешиваются ЭДС самоиндукции e1L(t)

и e2L(t).

а также ЭДС взаимоиндукции катушек eМ12(t) и eМ21(t):

Тогда, в соответствии со вторым законом Кирхгофа для схем, представленных на рис. 1.21 и 1.22, получим:

На рис. 1.23 и 1.24 представлены схемы замещения магнитосвязанных цепей для расчета в символической форме:

Переходя от мгновенных токов и напряжений в (8) к комплексам действующих значений и "объединяя" описание согласного и встречного включения катушек в одном обобщенном уравнении, получим:

22

где U2Э и U1Э – комплексные действующие значения падений напряжений на первой и второй катушках с учетом явления взаимоиндукции.

Выражение (9) можно перегруппировать и представить в виде:

На рис. 1.25 представлены ВД, построенные в соответствии с уравнением

(9) для случая согласного включения катушек, на рис. 1.26 – для встречного включения, когда L1 > М и L2 > М. Ha рис. 1.27 для встречного включения, когда L1 < М, а L2 < М.

Анализ (11) показывает, что при L1 = L2 = L и k→1, M kL1L2 L, a это значит, что при согласном включении катушек LЭ.СОГЛ 4L, а при встречном включении LЭ.ВCТР 0.

23

Из ВД следует, что из-за отрицательной взаимоиндуктивной связи на отдельном участке цепи сдвиг по фазе может быть отрицательным (например, φ1э на рис. 1.27), но в целом полная реакция цепи будет положительной φэ > 0.

Рис. 1.27

1.12 Параллельное соединение магнитосвязанных катушек

Анализ и расчет разветвленных магнитосвязанных цепей можно вести составляя уравнения по первому и второму законам Кирхгофа или методом контурных токов. Остальные методы не пригодны. Для схемы, представленной на рис. 1.28, можно составить одно уравнение по первому и два по второму закону Кирхгофа:

тавления НАПРАВЛЕНИЯ ОБХОДА " k "-той катушки и ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ ТОКА в "n"-ной магнитосвязанной катушке по отношению к началам (или концам) катушек индуктивности.

Если НАПРАВЛЕНИЕ ОБХОДА "k"-той катушки и ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ ТОКА в "n"-ной магнитосвязанной катушке ОДИНАКОВЫ по отношению к началам (или концам) катушек, то падение напряжения в "k"-той катушке, вследствие взаимоиндукции, от тока в "n"-ной катушке будет положительно UMK j MIn. Если НАПРАВЛЕНИЯ различны, то UMK j MIn – отрицательно.

24

На рис. 1.29 и 1.30 представлены схемы замещения параллельных магнитосвязанных цепей для расчета в символической форме.

Переходя от мгновенных токов и напряжений (17) к комплексам действующих значений, получим следующую "обобщенную" систему уравнений:

где Y1Э, Y2Э – комплексные проводимости с учетом явления взаимоиндукции. Тогда комплексные сопротивления для отдельных ветвей и схемы в целом

с учетом явления взаимоиндукции:

Если пренебречь активными сопротивлениями в (15) и (18), то из (18) получим:

25

Здесь знак "минус" в знаменателе соответствует "согласному" включению магнитосвязанных катушек, а знак плюс "встречному", откуда следует, что случай СОГЛАСНОГО включения наиболее интересен, так как при M L1 L2 получаем, что L1Э, L2Э,и LЭ .

На рис. 1.31 представлена ВД, построенная, в соответствии системой уравнений (14), для случая согласного включения магнитосвязанных катушек, а на рис. 1.32 – для встречного включения.

1.13 Эквивалентная замена индуктивных связей или "развязка" цепей с взаимной индукцией

Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев значительно упрощается, если часть схемы, содержащую катушки с индуктивными связями заменить эквивалентной цепью без индуктивных связей. Этот прием называется "развязкой" индуктивных связей.

На рис. 1.33 приведена схема, где требуется "развязать" две индуктивносвязанные катушки, имеющие общий узел в котором сходятся разноименные или одноименные выводы катушек, которые обозначаются токами.

Рис. 1.33

26

Обозначим токи в ветвях и введем дополнительную ветвь "0 – 3", соединяющую индуктивно связанные ветви с общим узлом "3" и допустим, что в этой ветви протекает ток I3.

Составим уравнения по 1-му и 2-му законам Кирхгофа и найдем напряжения U13 и U23 в исходной схеме, где знак плюс у взаимоиндуктивного сопротивления ZM j M соответствует согласному, а знак минус встречному включению катушек:

U13 j L1I1 j MI2 Z1I1 ZMI2;U23 j L2I2 j MI1 Z2I2 ZMI1;

I1 I2 I3.

Используя уравнение баланса токов, исключим из первого уравнения токI2 , а из второго уравнения ток I1, тогда:

U13 Z1I1 ZM I3 I1 Z1 ZM I1 ZMI3;

U23 Z2I2 ZM I3 I2 Z2 ZM I2 ZMI3.

Из полученных выражений следует, что в результате "развязки" двух катушек с индуктивными связями в эквивалентной схеме появляются три дополнительных реактивных взаимоиндуктивных сопротивления: по одному взаимоиндуктивному сопротивлению, включенному, с "последовательно развязанной" катушкой и одно взаимоиндуктивное сопротивление в дополнительной ветви, причем знаки этих сопротивлений противоположны (см. рис. 1.33).

На рис. 1.34 приведены две схемы индуктивно связанных катушек, имеющих общий узел, в котором сходятся или одноименные выводы катушек, обозначенные точками, или разноименные, а также соответствующие им эквивалентные схемы без взаимоиндуктивных связей:

Напряжения между узлам "1 – 3" (U13) и "2 – 3" (U23) для обоих случаев, в соответствии со 2-м законом Кирхгофа и законом электромагнитной индукции или законом Фарадея будут иметь вид:

Если учесть, что для общего узла катушек L1 и L2 можно составить уравнение баланса токов по 1-му закону Кирхгофа I1 I2 I3, из которого можно

выразить токи I1 и I2 как I1 I3 I2 и I2 I3 I1 и подставить их в систему (20), то окончательно получим:

U13 Z1I1 ZM I3 I1 ZCI3 Z1 ZM I1 ZM ZC I3;

(21)

U23 Z2I2 ZM I3 I2 ZCI3 Z2 ZM I2 ZM ZC I3.

27

Рис. 1.34.а – согласованное включение катушек L1 и L2

Рис. 1.34. б – встречное включение катушек L1 и L2

Из анализа уравнений системы (21) следует, что при "развязке" согласно включенных индуктивно связанных катушек, в эквивалентной схеме замещения последовательно с катушками вводятся отрицательные взаимоиндуктивные сопротивления, а в ветвь, присоединенную к общему узлу катушек, вводится положительное взаимоиндуктивное сопротивление. Если "развязываются" встречно включенные индуктивно связанные катушки, то знаки дополнительных взаимоиндуктивных сопротивлений меняются на противоположные (см.

рис. 1.34.а,б).

На рис. 1.35 приведен пример "развязки" двух индуктивно связанных катушек в разветвленной цепи при их встречном включении:

Рис. 1.35

28

Более сложный вариант "развязки" получается в случае трех катушек с тремя взаимоиндуктивными связями (рис. 1.36), когда катушки соединены в "звезду".

Рис. 1.36

Напряжения, приложенные к узлам "1", "2" и "3", в соответствии со 2-м законом Кирхгофа и законом Фарадея, можно выразить следующим образом:

U10 R1 j L1 I1 j M12I2 j M13I3;U20 R2 j L2 I2 j M21I1 j M23I3;U30 R3 j L3 I3 j M31I1 j M32I2,

(к, i = 1, 2, 3).

В соответствие со 2-м законом Кирхгофа найдем напряжения U12, U23,

U31.

Составим уравнение баланса токов, на основании 1-го закона Кирхгофа, для узла "0":

I1 I2 I3 0.

Тогда один из трех токов можно выразить через два других и подставить в соответствующие уравнения системы (22), в результате чего ее можно привести к виду [1]:

где

Z1э R1 j L1 M21 M31 M23 R1 jX1 ;

29

Z2э R2 j L2 M32 M21 M31 R2 jX2 ;

Z3э R3 j L3 M13 M23 M12 R3 jX3 .

Уравнениям системы (23) удовлетворяет схема на рис. 1.36.б. Аналогичным образом, можно получить ''развязку'' и для трех индуктивно

связанных катушек, соединенных в "треугольник" (рис. 1.37.а). Эквивалентнаая "развязанная" схема замещения, без взаимных индуктивностей, показана на рис. 1.37.б.

Напряжения между узлами "1", "2", "3" "треугольника" U12, U23 и U31 схемы (рис. 1.37.а), характеризуется контурными уравнениями:

Рис. 1.37.а

Рис. 1.37.б

Для узлов "1", "2", "3" исходной схемы составляем уравнения баланса то-

ков:

I1 I12 I31,

I2 I23 I12,

I3 I31 I23.

Тогда из первого уравнения системы (24) можно исключить токи I23 и

I31, из второго – токи I31 и I12 , а из третьего – токи I12 и I23. В результате систему (24) приведем к виду:

Данная система уравнений (25) удовлетворяет схеме (рис. 1.37.б) без взаимоиндуктивных связей.

30