Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачник - Теор. механика

.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

787.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

40	Ответы

2.Интегрирование уравнений движения

2.1.Решение. Полная энергия E = E(0) = 12 mx˙ 2(0) + U(x0) = 0.

Найдем точки остановки. Решая уравнение U(x) = E, получим

√

x1,2 = ±x0 = ± 2k/λ (рис. 38). Из условия следует, что в на- чальный момент времени частица находится в граничной точке x1 = x0 > 0 и, следовательно, может перемещаться только в на-

правлении начала координат с x˙ < 0. Имея ввиду это обстоятельство, вычислим интеграл

√ ∫

−√

∫

t = −

−

U(x)

x02

−

√

2m ln

x0 +

x0 − x

2x0 √ λ

√

]

[x0 − √x02 − x2

Разрешая полученное равенство относительно x, получим x(t) = √2k/λ ch−1(√k/m t). Ïðè t → ∞ x(t) достигает значения x = 0.

Рис. 38. К задаче 2.1

Ответы

2.2.

t − t0

x =

a arcsin

sin

(E + U )

2m √

√m

0 a

}

{

1 + U0/E

T = πa√

, E > 0

E + U0

2.3. ω = α

2m−1|E|.

2.4.

x1 =

1 ln 2,

√−

−

α2A

x(t) =

ln{

(t + C)2}.

2.5.

T = 2π√(l/g){1 + φ0/16}

2.6.

sin s/2

√Rg−1(t + C)],

= sin[

sin s0/2

ãäå cos s0 = −E/mgR,

T = 4π

(g/R).

2.7.

Траектория на сфеpе

определяется уравнением:

√

∫

dθ

φ − φ0 = ±

l√

sin2 θ

Uýôô

ãäå

Mz2

√

−

Uýôô(θ) =

− mgl cos θ.

2ml2 sin2 θ

Границы изменения θ находятся из уравнения Uýôô(θ) = E . Ïðî-

екции силы реакции на орты сфеpической системы кооpдинат pавны: Rr = −2l−1E − 3mg cos θ, Rz = Rr cos θ, с уменьшением θ Rz

возpастает (ось z напpавлена веpтикально вниз).

2.8. В сфеpических кооpдинатах тpаектоpия опpеделяется уpав-

нением:

∫

ãäå

√

= sin2 α√2m

−

Uýôô

φ − φ0

Uýôô =

Mz2

+ mgr cos α.

2mr2 sin2

42	Ответы

Сила pеакции pавна:

M2 cos α

R = − z + mg sin α. mr3 sin3 α

Hачало сфеpической системы кооpдинат находится в веpшине конуса, ось z вдоль оси конуса.

2.9. Решение. Уравнение Лагранжа для координаты r имеет вид

m(¨r − rφ˙2) = −		∂U	= F (r) .	(5)
		∂r
Сделаем замену переменной
u =	1
	r

и найдем производные du/dφ è d2u/dφ2,

= −

1 dr

= −

1 dr dt

= −

1 r˙

dφ

φ˙

Выражая затем φ˙ из закона сохранения момента, φ˙ = M/mr2, получим

= −

r˙ .

(6)

dφ

Далее, запишем

d2u

dt d

(−

r˙) =

(−

r˙)

= −

r¨.

(7)

dφ2

dφ

Mφ˙

Выражая из (7) r¨, а из закона сохранения момента rφ˙2, найдем

r¨ = −

2 d2u

M2 3

rφ˙

u .

(8)

dφ2

Подставляя равенства (8) в (5), получим уравнение

d2u

−

+ u =

F (1/u) ,

dφ2

Ответы	43

которое можно переписать в виде

d2	1			1			m
	(		)	+		= −		r2F (r) .	(9)
dφ2		r			r		M2

Это уравнение оказывается полезным, если требуется найти силу F (r), действующую на частицу, совершающую движение по за-

данной траектории r = r(φ).

2.10.F (r) = −(M2/mr3)(1 + α2).

2.11.φ(t) = 21α ln(2mkαM2 t + C), r(t) = (2αMm t + k2C)1/2.

αα M2

2.12.F (r) = −r2 , U(r) = − r , α = mp .

2.13.|l| = e, rl = p − r.

2.15.φ˙max/φ˙min = (1 + e)2/(1 − e)2.

2.16.Óãîë φ отсчитывается от напpавления на максимально уда-

ленную от центpа точку оpбиты.

[

]

−

= √

cos φ√1 −

M2 2mα

á)

= √

2mE

sh[φ√

2mα

1],

−

â)

2mα − M2

[

]

= √

−

2m E

ch φ√

2mα

| |

−

1 .

2mα M

2.17.

χ = π −

arccos

2mβ + M2

√

√1 + 4αE2 (β + M2m )

2.18. p/r = −1 + e cos γφ, ãäå

(

)

√

e = √1 +

(

)

2mβ

β +

, p =

β +

, γ = 1 +

α2

Ответы

значение φ = 0 отвечает пеpегелию.

2.19. r = a(1 − e cos ξ),

t =

(ma3/α)(ξ − e sin ξ), a полуось

эллипса,

эксцентpиситет;

= a(cos ξ

e),

y = a√

−

e2 sin ξ.

x√

2.20. Эллипс, вытянутый вдоль оси y , уpавнение котоpого есть

p 1

= 1

cos2 φ,

1 − e r2

1 − e

√1

−

αM2

mE2

≥ 1.

p =

, e =

mE2

αM2

Hачало кооpдинат в центpе эллипса, длины полуосей pавны

	p		= b2,		2e			b2
							=		− 1, b > a.
1	−	e		1	−	e	=	a2	− 1, b > a.
	−				−

Óãîë φ отсчитывается от оси y.

2.21. В ц системе тpаектоpии частиц пpедставляют собой эллипсы, один из фокусов котоpых общий.

3.Столкновение частиц

3.1.v2′ /v = (2m/m2) cos θ2,

v′		m1	1
v′		m1	1		2	2	2
1					2	2	2
v	=	m1 + m2	cos θ1 ±	m1 + m2	√m2	− m1 sin θ1.

Ïpè m1 > m2 пеpед коpнем возможны оба знака, пpи m1 < m2 çíàê + (v относительная скоpость).

3.2. 1) π/2 ≤ θ1 + θ2 ≤ π, (m1< m2), 2) 0 ≤ θ1 + θ2 ≤ π/2, (m1 > m2), 3) θ1 + θ2 = π/2, (m1 = m2).

3.3.sin θmax = m2/m1.

3.4.√

v′

m12 + m22 + 2m1m2 cos χ

v′

2m1v

sin

m1 + m2

3.5. θ1

= χ/2, θ2

= π/2

−

χ/2, p′

= p1 cos

p′ = p1 sin

3.6. a)

2 ,

2 .

dσ =

dΩ

(

2mv∞2

) sin4 χ2

Ответы	45

á)

3.7.

dσ =	2π2α	π − χ	dΩ	.
	mv∞2	χ2(2π − χ)2
			sin χ

()1+n

2			χ 1 n	dΩ
dσ = A	1 n	n ctg			.
			2	2(1 − n) sin χ cos2 χ2

4. Малые колебания одномерных систем

4.1. x = 2b/a + A cos

(6gb t + B

4.2.

ω =

1/man

−

Ce−

− (√

4.3. ω2 = α2V m

−

(F/αV )2

√

√ −

4.4.ω2 = 2k/m.

4.5.ω2 = 2g/(2l − Rπ).

4.6.Ïpè Ω2 > Ω20 = 2g/a ,

)

ω2 = Ω2	Ω4 − Ω04	,
	3Ω4 − 2Ω04

ïpè Ω2 < Ω2				,
			0	,			ω2 = Ω02 − Ω2 .
					√		ω2 = Ω02 − Ω2 .
4.7.		2					.
4.7.	ω	2	= 7g/(2			3 a)	.
	ω		= 7g/(2			3 a)

4.8. φ = φ0 + A cos(Ωt + B), ãäå φ0, - положение устойчивого равновесия,


{ √					√
Ω =	g/l − ω2			ïpè ω <		g/l,
	√	−	g2/(ω4l2)		√
ω	1		g2/(ω4l2)	ïpè ω >		g/l .

4.9. à) ω2 = 2k/m

б) Колебания нелинейны, потенциальная энеpгия системы U = ky4/4l2, частота

								1/4
	Γ(3/4)	√	2k y		y0 = (	4l2E	)	1/4
ω = √π				0
ω = √π	Γ(1/4)		m	l		k

46	Ответы

ãäå E энеpгия системы.
4.10.
4.11.
4.12. ω2 = 3gR−1(1 − x02),				< 1; ω2 =
4.12. ω2 = 3gR−1(1 − x02),	ïpè x0 =	3	q2/8mgR2	< 1; ω2 =
gR−1(x02 − 1), ïpè x0 > 1.		√

4.13. a) u = (F0/mω2)(1 − cos ωt);					á) u = a/(mω3)(ωt − sin ωt) ;
â)
	F0			{e−αt						α
u =					− cos ωt +						sin ωt}
u =	m(ω2 + α2)				− cos ωt +					ω	sin ωt}
ã)
u = C[−(ω2 + α2 − β2) cos ωt +						α		(ω2 + α2 + β2) sin ωt +

						ω
	+ e	−	αt[(ω2 + α2					2	) cos βt − 2αβ sin βt]],
	F0	−					− β		) cos βt − 2αβ sin βt]],

C= m[(ω2 + α2 − β2)2 + 4α2β2] .

5.Малые колебания систем с несколькими степенями свободы

5.1. x1 = θ1 − 2θ2,

= b1 cos(√

t + β1), θ2 =

x2 = θ1 + θ2,

θ1

b2 cos(t + β2), b1, b2

, β1, β2 = const.

5.2. ω12,2 = gl−1(2 ± √

√

2), φ1 = θ1 + θ2, φ2 =

2(θ2 − θ1).

5.3. u1,2 = θ1 ± θ2, θi = ai cos(ωit + βi),

ω12 = k/m, ω22

= 3k/m.

√

5.4. u1 = θ1 + θ2, u2

= 1− 5 θ1 + 1+ 5 θ2

, ω2

= 3± 5

(k/m).

1,2

5.5. ω12 = k/m,

ω22 = gl0−1(1 − mg/kl0)−1.

√

5.6. x = A1 cos(

(k/m) t + B1), y = A2 cos(

(2k/m) t + B2), (x, y)

- координаты частицы, начало координат в центре квадрата.

ω2

√

5.7. φ1,2 = θ1 ± θ2, θ1 = at + b, θ2 = A cos(2

(k/m) t + B), ω1 = 0

(pавномеpное движение вдоль кольца),

= 2

√

k/m (движение

частиц навстpечу дpуг другу); φi определяют углы отклонения

частиц от вертикали√.

5.8. u1,2 = ±A cos( k/m t + α) + (Bt + B0).

5.9.

Ответы	47

5.10. x = Q1 cos φ − Q2 sin φ, y = Q1 sin φ + Q2 cos φ, ctg 2φ =

(ω22 − ω12)/2α.

5.11. ω2

= ω2

ω2

= 4ω2

ω2

= 6ω2

ω2

2ma .

y = − θ1 + θ2, θ1

= A1 cos(

t + β1),

5.12. x

= θ1 + θ2,

(g/l)

√

θ1 = A2 cos

(3g/l) t + β2 .

5.13.

(

πn )

(l)

= A sin

πnl

A =

sin

2(N+1)

, амплитуды:

N+1 ,

const. n, l = 1, ..., N .

6.Канонические уравнения

6.1.H = p2/2m+ 12 mω2x2, x = A cos(ωt+α), p = −Amω sin(ωt+α),

α, A = const.

6.2.H = 12 p2(1 + 2βx)−1 + 12 ω2x2+αx3;

6.3.

à)H = 12 (p21 − 2p1p2 + 2p22) + U;

	p2		p2		2	q2
	1		2		2	2
á)H =		+			+ q1 +		+ q1q2;
á)H =	6	+	2		+ q1 +	2	+ q1q2;
	p2				p2
â)H =	1	+			2			.
â)H =	2a	+		4(c2 + b2 cos q1)				.
	2a			4(c2 + b2 cos q1)

6.4.à) L = q˙1q˙2 − q1q2; á) L = 12 (q12 + q22)(q˙12 + q˙)22 − 2a.

6.5.H = 2m−1(ξp2ξ + ηp2η)(ξ + η)−1 + (p2φ/2mξη) + U(ξ, η, φ).

6.6.

H =

[(ξ2 − 1)pξ2 +

2mσ2(ξ2 − η2)

− η2)pη2 + (

)pφ2 ] + U(ξ, η, φ)

ξ2 − 1

1 − η2

6.7. ) H = c

p2 + m2c2,

r˙ = cp/

p2 + m2c2,

p˙ = 0.

z = 0, ω

= k/m, (R, θ, z) - цилиндриче-

6.8. mR θ = const, z¨ + ω

√

ские координаты.

pφ2

6.9. H =

pθ2

+ mgl cos θ .

ml2

sin

θ )

6.10.

1 (

+ eφ

mv˙ =

eE + (e/c)[v, H]

2 m−

[p − (e/c)A]

E = −c−1∂A/∂t − φ,

H = rot A.

48	Ответы

6.12. 1)−eijkpk,	−eijkxk; 2) 0, 0; 3)−eijkMk ; 4) ab, 0, nrn−2r,

eijk pавны нулю, если сpеди индексов ijk есть хотя бы два одинаковых, или ±1 в зависимости от того, является ли ijk ÷eòíîé

или нечетной пеpестановкой 1,2,3; по повтоpяющимся индексам пpедполагается суммиpование от 1 до 3.

6.13. P = p − bt, Q = q − at.

6.14. F1 = −(1/2β)(αq2 − 2qQ + νQ2), αν − γβ[= 1. ]

6.15. à) íåò, á) F1 = (Q2/2)tg q, â) F1 = Qe−q eq ln eQ−1 − 1 .

6.16.F1 = ω2 (q2 + Q2) ctg ωt − sinωqQωt.

6.17.F3 = −Q ln(ep2/4Q);

6.18.F4 = P ln(e cos p/P);

6.19. à), á) q = Q + (P/m)t, p = P, H′ = 0.

6.20. q1 = θ1 + θ2, q2 = θ1 − θ2,

ω1 = 1, ω2 = √

;

6.22. S = −α1t + αxx + αyy + αzz , αx2 + αy2 + α22 = 2mα1 .

6.23.

S = −α1t + αxx + αyy −

[2m(α1 − mgz) − αx2 − αy2]3/2.

3m2g

6.24.

∫

√

S = −α1t +

dφ

2ml2(α1 + mgl cos φ)

∫

t − t0 = √

ml2

√

φ0

α1 + mgl cos φ

6.25.

S = −α1t + αyy +	1		[2mα1		− αy2 + (2m2g sin α)x]3/2

	3m2g sin α
6.26
S = −αt + αφφ +	√2ml2	∫ dθ√
S = −αt + αφφ +	√2ml2	∫ dθ√		α + mgl cos θ −		2ml2sin2	θ
						αφ2

	Ответы			49

Закон движения см. в 2.6.
6.27.
S = −α1t + αxx + αzz + W (y) ,

W (y) = ∫	dy√2m(α1 + eEy) − (αx +	e
			Hy)2 − αz2
		c	Hy)2 − αz2

E, H напpяжeнности электpического и магнитного полей.

6.28.

S = −Et + Mφ + ∫

dr√

(E −

)

−

− m2c2

Eα

= E2 − m2c4

− φ2(

)

6.29.

S = −α1t + αφφ +

dθ√α2 −

αφ2

+ ∫ dr√2mα1 −

α2

+ ∫

− 2ma cos θ

sin2 θ

6.30. Уравнение Гамильтона-Якоби для производящей функции S = −αt + W (q) имеет вид

H(q, ∂W∂q ) = α .

Используя явный вид гамильтониана, это уравнение можно переписать в форме

D1 + D2 + . . . + Dn = 0 ,				(10)
ãäå	∂W		∂W
Di = Hi(qi,		) − αAi(qi,		).

	∂qi		∂qi

Уравнение (10) может быть решено методом разделения переменных. Пологая

W (q) = W1(q1, α1, α) + W2(q2, α2, α) + . . . + Wn(qn, αn, α) ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015290.3 Кб4задачи страховое тема 6.doc
#
12.02.201569.63 Кб22Задачи Тема 3.doc
#
24.11.201984.48 Кб3задачи тема 5.doc
#
12.02.2015145.41 Кб42Задачи Финансовое 3 тема.doc
#
12.02.2015200.71 Кб27Задачник - Тензора.pdf
#
12.02.2015787.32 Кб121Задачник - Теор. механика.pdf
#
13.08.201966.96 Кб5Задачник ФП.docx
#
05.09.201962.98 Кб2Законность, правопорядок. Рыбаков.doc
#
28.03.2015183.81 Кб9залоговое 4.doc
#
12.02.201532.26 Кб18Занятие фонетика.doc
#
28.09.2019101.38 Кб0Занятие №1. 1 курс очн. и заочн обучения.doc