Panin_M_P_Modelirovanie_perenosa_izluchenia

Уравнение (5.1) иногда будем записывать в компактной операторной форме:

При этом скобки означают интегрирование по всему фазовому

пространству (объему, энергии и направлениям).

Разделим и умножим подынтегральное выражение в (5.2) на полное сечение взаимодействия. В результате мы получим новую формулу для нахождения искомого функционала:

Здесь плотность входящих столкновений ψ есть результат

произведения плотности потока и сечения взаимодействия. Новую форму функции детектора определим так:

Ее физический смысл – это непосредственный вклад в показания детектора (в функционал Jp) от одного столкновения в точке r , в

которое частица входит с параметрами (E, Ω) .

всему фазовому пространству.

Запишем, пока только формально, сопряженное уравнение переноса в операторной форме подобно тому, как было записано

правой части. Если в равенстве (5.5) в качестве функций g и f взять соответствующие решения прямого и сопряженного уравнений, то получим следующий результат:

или, с учетом прямого (3.17) и сопряженного (5.6) уравнений переноса,

Среди всевозможных функций Q+ (xr) будет интересна

В последнем уравнении так же, как ранее в уравнениях (5.1) и (5.2), Jp есть интересующий нас функционал поля излучения.

В дальнейшем будем рассматривать только такие сопряженные уравнения, у которых в правой части стоит функция детектора

функционал Jp от одной частицы, запущенной в систему в точке

52

конкретному функционалу. Если заменить рассматриваемый функционал, изменится и функция ценности во всем пространстве. Это видно из сопряженного уравнения переноса (5.9), где в правой части стоит функция детектора, определяющая функционал. Решение этого уравнения и есть функция ценности. Размерность

частиц суть логически сопряженные друг другу функции. Плотность потока ϕ(rr, E,Ω) есть по существу показания δ- детектора (т.е. детектора, регистрирующего в точке r частицы c заданной энергией E, движущиеся точно вдоль Ω) в поле произвольного источника. В то время как ценность ϕ+ (rr, E,Ω)

представляет собой показания произвольного детектора в поле δ- источника (точечного, моноэнергетического и мононаправленного).

§5.3. Сопряженное интегродифференциальное уравнение переноса

вкладом в функционал, который в дальнейшем будет сделан частицами, влетающими в точку r . Данный вклад может быть внесен несколькими путями.

53

того, чтобы определить их ценность, необходимо учесть все результаты такого рассеяния

0 4π

Оператором полученного сопряженного уравнения будет

54

Осталось убедиться, что этот оператор действительно является сопряженным по отношению к прямому оператору (3.16).

Будем, как и ранее в п. 3.2.2, считать, что граница области переноса невогнутая. Кроме этого положим, что плотность потока

Это ни в коей мере не является ограничением общности наших рассуждений. Если внешний поток f (rr, E,Ω) все-таки существует,

его всегда можно включить в функцию источника:

Q′(rr, E, Ω) rr Γ,nr Ωr <0 = Q(rr, E,Ω) + f (rr, E,Ω)×| nr Ω| .

Наложим вполне естественное граничное условие на ценность:

которое отражает тот факт, что частицы, вылетающие из области переноса, более в нее не возвращаются и вклада в детектор внести не могут.

Для доказательства сопряженности операторов умножим прямое интегродифференциальное уравнение переноса (3.9) на ценность ϕ+, а сопряженное уравнение (5.11) – на ϕ . Вычтем второе из первого и проинтегрируем разность по всем энергиям E

и направлениям Ω. При этом интегралы столкновений, стоящие в правых частях обоих уравнений, взаимно уничтожаются, поскольку они идентичны с точностью до изменения порядка интегрирования. Оставшееся будет выглядеть так:

Очевидно, первое подынтегральное выражение может быть записано как

ϕ+ Ω ϕ +ϕ Ω ϕ+ = div(Ωϕ+ϕ).

55

Проинтегрируем уравнение (5.14) по объему области переноса и воспользуемся тем, что объемный интеграл от дивергенции вектора равен поверхностному интегралу (по границе) от потока вектора. Кроме того, заметим, что после интегрирования по пространственной переменной r правая часть уравнения будет содержать полные (по всем фазовым

переменным) интегралы от произведений Q ϕ+ и P ϕ .

∫∫∞ ∫Ωr nr(rrS )ϕ+ (rrS , E, Ωr)ϕ(rrS , E, Ωr)dEdΩdrrS = Q,ϕ+ − P,ϕ . (5.15)

Γ0 4π

Вуравнении (5.15) интегрирование по пространственной

переменной идет по поверхности границы. При этом n(rS ) – внешняя нормаль к границе, и ее направление, разумеется, зависит от конкретной точки. В каждой такой точке rS полный телесный

угол 4π в интеграле по направлениям может быть представлен как сумма двух углов:

4π = 2π Ωr nr<0 + 2π Ωr nr>0 .

Q,ϕ+ = P,ϕ .

Это свидетельствует о том, что уравнение, полученное исходя из физического смысла ценности как потенциального вклада в показания детектора, действительно является сопряженным по отношению к прямому уравнению переноса для плотности потока частиц. Аналогичное равенство (5.8) было

получено, считая, что ϕ+ (xr) есть решение сопряженного уравнения (5.6).

§5.4. Интегральная форма сопряженного уравнения переноса

Введем следующие сопряженные функции.

Ценность входящих столкновений ψ (rr, E,Ω) представляет

собой потенциальный средний вклад в показания детектора от одного столкновения в точке r , в которое частица входит, имея

56

параметры (E, Ω) . Ее размерность равна размерности искомого

функционала: [ψ ]=[J P ].

Ценность выходящих столкновений χ (rr, E,Ω) представляет собой потенциальный средний вклад в показания детектора от одного столкновения в точке r , которое частица покидает, имея энергию E и направление движения Ω. Размерность: [χ ]= [JP ].

Вспомним, что ранее (см. формулы (5.3) и (5.4)) уже была введена P* (rr, E,Ω) как непосредственный вклад в показания детектора (в функционал Jp) от одного столкновения в точке r , в которое частица входит с параметрами (E, Ω) . Слова

«непосредственный вклад» означают, что отклик детектора создается именно этим столкновением. Это может быть вспышка света (сцинтилляционный детектор), ионизация газа (газоразрядный детектор) и т.п.

Ценность ψ , в отличие от P* , определяется не только

вкладом данного столкновения, но и всеми возможными будущими взаимодействиями с веществом, которые последуют за данным столкновением. Для нее справедливо следующее уравнение:

Действительно, ценность входящего столкновения складывается из непосредственного вклада в функционал и ценности всевозможных результатов рассеяния. Под интегралом стоит произведение вероятности для частицы в результате столкновения получить энергию в интервале dE′ вокруг E′, а

направление движения внутри телесного угла dΩ′ вокруг Ω′ , и ценности частиц, покидающих столкновение именно с такими энергией и направлением движения.

Чем может быть ценно выходящее столкновение? Покидающее столкновение частица уже не может создать никакого вклада в детектор в данной точке, поэтому единственная польза от нее – в ее будущих столкновениях. Уже известно, как

57

выглядит плотность вероятности испытать очередное столкновение в точке r′. Она задается транспортным ядром (4.16). Тогда ценность выходящих столкновений вполне естественно приравнять следующему интегралу по всему пространству:

(5.17)

Подобно рис.4.2 для плотности столкновений, рис.5.2 показывает взаимосвязь ценности входящих и выходящих столкновений, обусловленную уравнениями (5.16) и (5.17). Ценность входящего столкновения, помимо непосредственного вклада в детектор, обусловлена общей ценностью частиц после рассеяния, обладающих разными направлениями вылета и энергиями, что соответствует уравнению (5.16). С другой стороны, ценность выходящих столкновений в заданной точке складывается из ценностей входящих столкновений во множестве разных точек пространства, как и описывает это уравнение (5.17).

Рис.5.2. Взаимосвязь ценности входящих и выходящих столкновений

Приведем запись полученных интегральных сопряженных уравнений с помощью транспортного ядра и ядра столкновений:

∞

Полученная пара сопряженных уравнений для ценности столкновений по форме близка соответствующей паре прямых уравнений для плотности столкновений (4.20), (4.21). Можно рассматривать эти, а также исходное интегродифференциальное (5.11), уравнения как уравнения переноса некоторых виртуальных

58

«сопряженных частиц» или псевдочастиц (псевдофотонов,

псевдонейтронов и т.д.). Отметим при этом, что псевдочастицы обладают, несмотря на свою виртуальность, обычными физическими сечениями взаимодействия, и такими же, как и реальные частицы, Т- и С-ядрами. Их (псевдочастиц) фазовое состояние также описывается обычными координатами r ,

энергией E и единичным вектором Ω, совпадающим с вектором скорости.

Обратим, однако, внимание и на имеющиеся отличия прямых и сопряженных уравнений.

В прямом уравнении (4.20) стоит функция источника, а в сопряженном (5.18) – функция детектора, который играет роль «сопряженного источника». Псевдочастицы, таким образом, рождаются в детекторе.

В сопряженном уравнении (5.11) перед градиентным членом стоит знак «-», который указывает на то, что псевдочастицы движутся против вектора своей скорости. Как следствие этого, транспортное ядро в уравнении (5.19) транспонировано по отношению к аналогичному ядру в прямом уравнении (4.21). Действительно, в прямом уравнении интегрирование ведется по начальным состояниям, а в сопряженном – по конечным.

Ядро столкновений в сопряженном уравнении (5.18) также транспонировано по сравнению с прямым аналогом (4.20). Это означает, что псевдочастицы при рассеянии не теряют, а увеличивают свою энергию.

Наконец, в отличие от обычных частиц, которые регистрируются в детекторе, сопряженные частицы детектируются источником. На это указывает эквивалентность расчета искомого

функционала Jp через решения прямого и сопряженного уравнений (см. равенство (5.8)).

Для того, чтобы завершить анализ сходства и различия прямых и сопряженных уравнений, сведем каждую пару интегральных уравнений (4.20), (4.21) и (5.18), (5.19) в одно, соответственно, для плотности входящих и ценности выходящих столкновений.

Получим прямое уравнение для плотности входящих столкновений подстановкой уравнения (4.20) в (4.21) и использованием ранее введенного кинетического ядра (4.19):

59

∞

Сопряженное уравнение для ценности входящих столкновений получим подстановкой уравнения (5.19) в (5.18):

ψ* (rr, E,Ωr) = P* (rr, E, Ω) +

∞r r r r r r r (5.22)

+∫∫ ∫K(r, E, Ω → r′, E′,Ω′) ψ* (r ′, E′,Ω′)dr′dE′dΩ′.

∞0 4π

Вполученных объединенных уравнениях (5.20) и (5.22) кинетические ядра, конечно же, взаимно транспонированы.

Взаключение этого параграфа обратим внимание читателя на то, что введенная в нем ценность выходящих столкновений

χ(rr, E,Ωr) и введенная в самом начале данной главы функция

ценности ϕ+ (rr, E,Ω) суть одна и та же функция:

ϕ+ (rr, E,Ω) ≡ χ (rr, E,Ω) .

Они обе отражают одну и ту же физическую сущность: ожидаемый вклад в функционал от одной частицы, находящейся в

точке rr с энергией E и направлением движения Ω. И для этого вклада совершенно неважно, как появилась частица в данной точке: только что вылетев из столкновения, родившись в источнике или как-то еще. Разумеется, факт тождественности

функций можно показать строго, получив для ценности ϕ+

интегральное уравнение, примерно так же, как в §4.2 было получено прямое интегральное уравнение. Полученное уравнение

будет в точности совпадать с уравнением для χ .

60