Panin_M_P_Modelirovanie_perenosa_izluchenia

(10.11)

или

(10.12)

В формулах (10.11) и (10.12) θs обозначает угол рассеяния

между векторами Ω и Ω′ , а ε – энергетический эквивалент массы покоя электрона (0.511 МэВ). Сечение рассеяния в них – дважды дифференциальное: по энергии и направлению вылета фотона.

Для перехода к дифференциальному только по энергии сечению рассеяния проинтегрируем формулу (10.12) по всем

направлениям Ω′ :

Введем следующие обозначения:

Для розыгрыша энергии E′ достаточно, очевидно, разыграть относительное изменение энергии X, которое лежит в пределах от

1до β.

10.2.1.Метод Коблингера

Л. Коблингер (Koblinger) [31], переходя в формуле (10.13) к производной по X, получил следующее выражение:

Для розыгрыша случайного значения X из формулы (10.14) воспользуемся методом суперпозиции. Формула (10.14) представляет собой сумму 4-х функций, которые, будучи отнормированы, выглядят так:

131

g1(X ) = 21α ; g2 (X ) = ln1β X1 ; g3 (X ) = 2βα X12 ; g4 (X ) = γ2 X13 .

Вводя общий нормировочный коэффициент N, преобразуем с помощью указанных функций формулу (10.14) в плотность вероятности для случайной величины X:

При этом явный вид коэффициентов при функциях таков:

Для того чтобы плотность вероятности (10.15) была нормирована, необходимо обеспечить равенство единице суммы всех коэффициентов перед функциями. Это означает, что общий нормировочный коэффициент равен

= ∑~ .

N Ci

i

Общий алгоритм метода Коблингера приведен на рис. 10.1. Он обладает высокой эффективностью, однако может быть

применен только для энергий E > (1+ 3)ε ≈1.396 МэВ, при которых коэффициент C~2 становится положительным.

10.2.2. Метод Кана

Метод Кана (Kahn) [28] свободен от этого недостатка и может быть использован при любых энергиях. Данный метод также оперирует дифференциальным сечением по энергии (10.13) и относительным изменением энергии X. Однако формулу для дифференциального по X сечения использует в другом виде:

или переходя к плотности вероятности с общим нормировочным коэффициентом N, получаем:

132

Рис.10.1. Блок-схема алгоритма Коблингера

Путем несложных преобразований сумма функций в формуле (10.17) приводится к виду, удобному для метода суперпозиции:

133

где

(10.19)

Таким образом, сначала с помощью коэффициентов C1 и C2 выбираем номер функции (метод суперпозиции), а затем выбранная функция разыгрывается методом исключения. Выборка самого случайного Xξ осуществляется по моделирующим функциям g1(X) или g2(X), а проверка Xξ – с помощью исключающих функций h1(X) или h2(X). Нетрудно убедиться, что подобранные Каном исключающие функции на отрезке (1, 1+2α) не превосходят единицы. В целом алгоритм Кана приведен на Рис. 10.2.

Рис.10.2. Блок-схема алгоритма Кана

Отметим, что алгоритм Кана, реализуя метод исключения, имеет уменьшающуюся с ростом энергии эффективность. Так, при E= 1.5 МэВ на выборку новой энергии тратится в среднем 1.5 попытки, а при E= 10 МэВ – около 3.

134

В связи с этим рекомендуется на энергиях E < 1.4 МэВ использовать метод Кана, а выше этого значения – метод Коблингера.

10.2.3. Метод Карлсона

Метод Карлсона (Carlson) [26] является наиболее простым среди существующих. Он основан на приближении реальной плотности вероятности вида (10.17) более простой зависимостью, допускающей прямой розыгрыш методом обратной функции. Конечная формула для розыгрыша новой энергии:

Метод наиболее точен в области 0,5 < E < 2 МэВ. При энергиях выше 4ε необходимо использовать дополнительное слагаемое

которое позволяет пользоваться формулой примерно до 5 МэВ с удовлетворительной точностью. В области низких энергий E < 0,5 МэВ также следует применять уточняющую поправку:

с коэффициентами A = 0.592, B = 2.578, C = 0,425.

Таким образом, новая энергия E′ получена. В силу жесткой связи между изменением энергии и углом рассеяния косинус этого угла определяется однозначно

Азимутальный угол ψ (рис.10.3) распределен равномерно от 0 до 2π, если только при рассеянии не учитываются

135

поляризационные эффекты (обычно они малы). Случайное значение угла ψ может быть получено одним из методов, описанных в §8.2. Впрочем, сам угол нам не нужен. В приведенной ниже матрице (10.22) пересчета новых и старых

компонент вектора Ω используются только его тригонометрические функции, поэтому целесообразно использовать метод Неймана (8.8).

Ω′z = − 1 − μ 2 1 − Ω2z cosψ + Ωz μ.

Нетрудно убедиться, что преобразование (10.22) не изменяет длины вектора Ω′ .

136

§10.3. Розыгрыш некогерентного рассеяния на связанных электронах

Комптоновским является рассеяние фотона на свободном электроне. В том же случае, когда энергия налетающего гаммакванта сравнима с энергией связи электрона в атоме, электрон свободным считать нельзя, и его связь необходимо учитывать.

При рассеянии фотона на угол θs объекту, на котором происходило рассеяние, будет передан импульс

максимально возможное значение которого (при θs = π) есть

Этот импульс будет передан одному из атомарных электронов, если сообщаемая при этом электрону энергия достаточна для ионизации или возбуждения атома. Изменение энергии фотона после рассеяния следует из закона сохранения импульса и энергии:

Таким образом, объектами рассеяния выступают отдельные электроны, которые рассеивают падающую на них электромагнитную волну некогерентно. Дифференциальное микроскопическое сечение некогерентного рассеяния, рассчитанное на один атом, записывается следующим образом:

Его отличает от сечения комптоновского рассеяния (сравните с формулой (10.11), где оно приведено в расчете на один электрон) наличие функции некогерентного рассеяния S(q, Z), зависящей от переданного импульса и атомного номера. На

рис.10.4 она приведена как функция относительного переданного

~ =

импульса q q / qm , который изменяется от 0 до 1. По существу,

137

S-функция показывает вероятность того, что при данном переданном импульсе рассеяние будет носить некогерентный характер.

Розыгрыш некогерентного рассеяния на связанных электронах может быть выполнен по одной из схем розыгрыша комптоновского рассеяния (см. §10.2), а учет функции некогерентного рассеяния реализован методом исключения.

Рис.10.4. Зависимость S-функции от переданного импульса

Легко видеть, что для больших энергий розыгрыш некогерентного рассеяния будет совпадать с розыгрышем комптоновского рассеяния на свободном электроне.

§10.4. Розыгрыш когерентного рассеяния на связанных электронах

Если передаваемый при рассеянии импульс не сообщает атомарному электрону достаточной для ионизации энергии, импульс будет принят атомом в целом. Кинетическая энергия,

138

которую унесет атом, в силу большой массы ядра, оказывается незначительной по сравнению с энергией фотона. Объектом рассеяния, таким образом, выступает весь атом, электроны которого рассеивают падающую электромагнитную волну когерентно. Энергию фотонов при когерентном рассеянии можно считать неизменной, а дифференциальное атомарное сечение такого рассеяния записывается в виде:

Сечение когерентного рассеяния включает атомный формфактор F(q, Z), который имеет смысл отношения амплитуды электромагнитной волны, рассеянной атомом, к амплитуде волны, рассеянной отдельным электроном. При нулевом переданном импульсе это отношение в точности равно числу электронов в атоме: F(0, Z) = Z. Атомный форм-фактор для разных веществ как функция относительного преданного импульса приведен на рис.10.5.

139

Поскольку энергия фотона не меняется, для моделирования когерентного рассеяния достаточно разыграть угол рассеяния θs или μ = cosθs, так как азимутальный угол ψ распределен равномерно от 0 до 2π. Дифференциальное угловое сечение когерентного рассеяния (на атом) выглядит так:

Для розыгрыша случайного значения переданного импульса

~ достаточно заранее получить функции распределения вида: qξ

где нормировка обеспечивается константой

NΦ = ∫1 t(1− 2t 2 + 2t4 ) F 2 (t qm , Z )dt .

0

На рис.10.6 в качестве примера приведены функции распределения для розыгрыша переданного импульса при когерентном рассеянии на водороде, кремнии и свинце.

Значение случайного импульса находится методом обратной функции:

q~ξ = Φ−1 (ξ) .

Розыгрыш равномерно распределенного азимутального угла ψ описан в §8.2.

140