Panin_M_P_Modelirovanie_perenosa_izluchenia

Таким образом, после интегрирования и предельного перехода уравнение переноса (3.9) будет выглядеть следующим образом:

В силу произвольности выбора области интегрирования S из равенства интегралов делаем вывод о равенстве подынтегральных выражений.

Рассмотрим два случая, относящиеся к характеру функции источника Q(z):

1.Функция источника – регулярная. Регулярной будем называть функцию, которая не содержит δ-функции по переменной z. Для нее, очевидно, предел интеграла в правой части уравнения (3.12) равен 0. Это означает, что для функции источника, регулярной на границе, плотность потока является непрерывной, как бы сильно ни отличались свойства среды по обе стороны от границы.

2.Функция источника – сингулярная, т.е. она содержит δ-

частиц, испускаемых каждую секунду в единичный телесный угол

вокруг направления Ω в единичный энергетический интервал энергий вокруг значения E с единицы площади. Ее размерность

31

Таким образом, если функция источника имеет на внутренней границе особенность типа δ-функции, плотность потока испытывает разрыв

3.2.2. Внешние границы

Будем везде далее считать, что внешняя граница Г невогнутая, т.е. луч, выходящий из любой ее точки и имеющий положительную проекцию на ее внешнюю нормаль, нигде более границу не пересекает. Данное условие никак не ограничивает общность наших рассуждений. Если граница области все-таки вогнутая, мы всегда можем дополнить ее до выпуклой, включив соответствующую подобласть в геометрию задачи.

Условия на внешних границах могут иметь несколько видов:

1.Свободная граница: ϕ(rr, E,Ωr) rr Γ,nr Ωr<0 = 0 .

2.Задан внешний поток: ϕ(rr, E,Ωr) rr Γ,nr Ωr<0 = f (rr, E,Ωr) .

3.Задан поверхностный источник, не включенный в функцию источника уравнения переноса:

4.Задано отражение (альбедо) излучения от границы в виде:

ϕ(rr, E, Ωr) rr Γ,nrΩr<0 =

вероятности для частицы с энергией E′, падающей на отражатель в точке r из направления Ω′ , отразиться от него

в единичный телесный угол вокруг Ω, имея энергию в единичном энергетическом интервале вокруг E. При этом считается, что отражение происходит в той же точке r . Последнее является приближением, справедливым только если пробег излучения в веществе отражателя пренебрежимо мал по сравнению с характерными размерами задачи.

32

§3.3. Уравнение переноса в плоской геометрии

Пусть все параметры задачи зависят только от одной

Рис. 3.3. Задание углов для плоской задачи

Введем обозначения:

Несмотря на то, что в последнем равенстве интегрирование было выполнено только по ψ′, сечение Σs (E′,μ′→ E, μ | rr) не зависит в

33

том числе и от ψ, поскольку дифференциальное сечение, стоящее под интегралом, фактически зависит только от разности углов

ψ -ψ′ .

После усреднения обеих частей уравнения (3.9) по ψ получим:

От градиентного члена осталась только производная по z, так как производные по другим координатам равны 0. Полученное уравнение есть уравнение переноса для плоской задачи.

§3.4. Операторная форма уравнения переноса

Оператором называется совокупность некоторых действий над функцией. Оператор ставит одну функцию в соответствие другой.

Оператор Aˆ называется линейным, если для любых функций f и g (из области определения оператора) и константы с справедливо следующее:

Например, оператор дифференцирования – линейный, а оператор возведения в степень (не равную 1) – нет.

Определим оператор Больцмана следующим образом:

где вместо знака «K» надо подставить функцию, на которую он должен действовать.

ˆ

Оператор L – линейный, поскольку все операции, входящие в него (дифференцирование, умножение на функцию, интегрирование), линейные.

В дальнейшем для компактности будем использовать фазовую векторную переменную xr ≡ (rr, E, Ω) вместо совокупности пространственной, энергетической и угловой переменных. Тогда в

34

таких, что для каждого i-го источника удается решить уравнение переноса

Последнее равенство в выражении (3.19) записано на основании свойства линейности оператора Больцмана.

Это означает, что если разложить источник на простые составляющие, для которых решения уравнения переноса могут быть найдены, то решение уравнения для полного источника есть

Функция Грина, конечно, зависит от пространственного распределения функций сечения (интегрального сечения взаимодействия и дифференциального сечения рассеяния), а также от граничных условий. Поэтому более правильно говорить о функции Грина данной конкретной задачи.

35

В операторной записи определение функции Грина выглядит компактно:

линейности оператора Больцмана следует, что при увеличении мощности источника в несколько раз, во столько же раз возрастет

и величина решения ϕ. Пусть, например, в точке x0 находится

элементарный источник мощностью Q(rr0 , E0 ,Ω0 )drr0dE0dΩ0 .

Создаваемая им плотность потока в произвольной точке x будет равна

dϕ(rr, E, Ωr) = G(rr, E, Ω, rr0 , E0 , Ω0 ) Q(rr0 , E0 , Ω0 )drr0dE0dΩ0 .

Теперь можно выразить решение уравнения переноса для произвольного источника через функцию Грина данной задачи:

ϕ(rr, E, Ωr) = ∫∫∞ ∫G(rr, E, Ωr, rr0 , E0 , Ωr 0 )Q(rr0 , E0 , Ωr 0 )drr0 dE0 dΩ0 . (3.23)

∞0 4π

Первый интеграл в формуле (3.23) берется по всему трехмерному пространству, что символически показано значком ∞, а последний – по всевозможным направлениям движения.

Запишем последнее уравнение в операторной форме, введя

оператор Грина

∞0 4π

вкотором под интегралом в качестве ядра присутствует функция Грина. С его помощью решение уравнения переноса находится так:

оператор), а значит, операторы Больцмана и Грина являются обратными друг другу.

Для односкоростной задачи, где нет зависимости сечений от

плотность потока частиц, летящих из направления Ω. Поменяем местами источник и детектор, т.е. детектор поместим в точку источника, а источник – в прежнюю точку детектирования. Пусть теперь частицы источника летят в направлении, противоположном

прежнему направлению детектирования, т.е. − Ω . Тогда из направления, противоположного прежнему направлению

излучения (т.е. −Ω0 ), детектор будет регистрировать прежнюю плотность потока.

Контрольные вопросы

Назовите основные типы граничных условий.

В каких случаях решение уравнения переноса терпит разрыв на внутренней границе?

Что такое плоская задача?

Какой закон сохранения отражает прямое интегродифференциальное уравнение переноса?

Каково основное свойство оператора Больцмана?

Напишите уравнение переноса в операторной форме.

Что такое функция Грина и какова ее размерность?

Какая связь между операторами Больцмана и Грина?

37

Пусть на вещество вдоль оси X падает пучок частиц с энергией E в количестве N0. Количество частиц, которые до глубины x не испытали ни одного взаимодействия, обозначим N(x). Из определения макроскопического сечения следует, что на элементарном отрезке dx относительное уменьшение числа частиц, не вступивших во взаимодействие, есть

dN = −Σ(x, E) dx . N (x)

Интегрируя это уравнение, нетрудно получить:

N (x) = N0 exp − ∫x Σ(ξ, E) dξ .

0

Видно, что в аргументе экспоненты (с точностью до знака) стоит оптическое расстояние от точки падения до глубины x. Таким образом, последнее равенство, переписанное в общем виде следующим образом

показывает вероятность для частицы с энергией E преодолеть расстояние между точками r′ и r без взаимодействия.

§4.2. Интегральная форма уравнения переноса

Запишем уравнение переноса в интегро-дифференциальной

=∞∫ ∫ϕ(rr′, E', Ωr') ΣS (E', Ωr'→ E,Ωr rr′)dE' dΩr' +Q(rr′, E, Ωr).

0 4π

Выразим точку r′через расстояние до точки r : rr′ = rr −ξ Ω, а всю правую часть уравнения (4.3) обозначим как некоторую

новую функцию источника ~ r′ Ω . Величина ξ соответствует

Q(r , E, ) 0

пересечению границы области переноса (рис.4.1)

Обратим внимание, что производная плотности потока по ξ :

39

ddϕξ = ∂∂xϕ′ ddxξ′ + ∂∂ϕy′ ddyξ′ + ∂∂ϕz′ ddzξ′ = −Ωx ∂∂ϕx′ −Ωy ∂∂ϕy′ − Ωz ∂∂ϕz′ = −Ωr ϕ .

Тогда, опуская для краткости все переменные, кроме ξ, уравнение (4.3) можно переписать как обыкновенное дифференциальное уравнение:

Рис.4.1. Схема точек к выводуинтегральной формы уравнения переноса

Если бы уравнение (4.4) было однородным (без правой части), то его решение имело бы вид:

Решение неоднородного уравнения (4.4) будем искать

40