Panin_M_P_Modelirovanie_perenosa_izluchenia

в транспортном ядре, данный интеграл упрощается:

Для многих видов столкновения между энергией после рассеяния и изменением направления движения частицы существует жесткая связь. Это позволяет провести аналитическое интегрирование и по E′.

Запишем явный вид выражения (11.13) в случае комптоновского рассеяния, дифференциальное макроскопическое

угловую часть дифференциального сечения можно записать в виде

эквивалент массы покоя электрона (0.511 МэВ), r0 – классический радиус электрона (2.82×10-13 см), а ne (r ) – концентрацию электронов в точке r . Поскольку в формуле для

151

дифференциального сечения (11.14) присутствует дельта-функция, интеграл (11.13) по E′легко вычисляется:

Обратим внимание, что полученная формула по виду полностью соответствует интегралу (7.1). Под знаком интеграла присутствует

плотность входящих столкновений ψ(rr, E, Ω) , а все остальное

является оценкой, которую надо вычислять после получения точки очередного столкновения:

Локальная оценка потока (в англоязычной литературе принят термин flux-at-a-point) для вычисления интегральной плотности потока частиц в точке rd , создаваемая за всю историю частицы, представляет собой сумму по всем столкновениям

k=1

Отметим, что за возможность вычислять характеристики поля без какого-либо пространственного усреднения приходится платить ухудшением статистических свойств полученной оценки. В самом деле, присутствие в знаменателе формулы (11.16) квадрата расстояния от точки столкновения до точки детектирования в случае нахождения детектора в среде переноса излучения делает оценку неограниченной.

Этот факт, как и в случае оценки по пересечениям (11.10), сам по себе не мешает ее использованию, поскольку математическое ожидание величины оценки конечно. В последнем можно убедиться путем следующих рассуждений. Обозначим через p(rr) плотность вероятности в результате моделирования

столкновений получить случайную точку r . Положим, что эта функция не имеет в окрестности точки детектора rrd каких-то

152

особенностей. Тогда конечность математического ожидания локальной оценки будет определяться интегралом вида

взятого по малому объему V вокруг детектора. Этот объем, без ущерба для общности, можно считать сферой малого радиуса δ с центром в точке rrd . Заменяя под знаком интеграла функцию p(r )

ее значением в центре сферы и переходя к сферическим координатам, сразу получим ограниченность математического ожидания:

MεR ~ p(rrd )δ∫4ρπ2 ρ2dρ < ∞.

0

К сожалению, подобный интеграл для дисперсии локальной оценки расходится

При этом в 0 он обладает гиперболической (первой степени) расходимостью, что, несомненно, хуже, чем логарифмическая расходимость оценки по пересечениям.

11.2.3. Другие локальные оценки

Громоздкий вид локальной оценки (11.16) возник в результате того, что рассматриваемая функция детектора содержала сингулярность – пространственную дельта-функцию, поскольку детектор предполагался точечным. В результате, вместо

того, чтобы строить оценку на основе выражения J& =ψ, P* , пришлось применить разложение (5.33) и при n = 1 вычислять компонент рассеянного излучения в виде J&рас =ψ1*,ψ .

Входящий в него компонент ценности столкновений ψ1* никаких

сингулярностей не содержит.

Теперь представим себе детектор, который является не только точечным, но и избирательным по энергии:

153

построить с помощью разложения (5.33), но составляющую рассеянного излучения придется считать на основе плотности выходящих столкновений

В данной формуле присутствует второй компонент ценности выходящих столкновений, который представляет собой следующий интеграл

∞0 4π∞

×T (rr′→ rr′′| E′, Ωr′) P* (rr′′, E′,Ωr′)drr′dE′dΩ′drr′′.

Сучетом конкретного вида функции детектора, а также используя δ-функции, входящие в транспортные ядра, этот 9-

мерный интеграл приводится к одномерному интегралу вдоль луча r

Ω:

(11.19)

В последней формуле введено обозначение для оптических расстояний

τ0 (R, E) =τ(rr → rr + RΩ, E); τ1(R, Ed ) =τ(rr + RΩ → rrd , Ed ) ,

а также для единичного вектора направления:

ωrR = (rrd − rr − RΩr) / rrd − rr − RΩr (рис.11.3).

Рис.11.3. К построению двойной локальной оценки.

154

На основе интеграла (11.19) получим окончательное выражение для двойной локальной оценки (по пространству и энергии), которое вычисляется каждый раз, когда фазовое состояние частицы соответствует плотности выходящих столкновений, т.е. сразу после розыгрыша новой энергии и направления движения. При этом учтем жесткую связь между углом рассеяния θs и изменением энергии, позволяющую вовсе избавиться от интеграла по лучу:

Входящий в данную формулу угол θs вычисляется из условия, что такое рассеяние переводит энергию E в Ed. Может оказаться, что

при конкретных параметрах rr, E, Ω, rrd , Ed такой угол

отсутствует, тогда и оценку в этой точке не подсчитывают. С учетом сказанного, окончательное выражение для двойной локальной оценки как сумма при разных столкновениях есть

k=1

Дисперсия оценки (11.21) логарифмически расходится по «прицельному параметру» ρ sinα , с которым частица пролетает

мимо точечного детектора.

Действуя аналогично, т.е. используя выражения J&рас =χn* , χ или J&рас =ψn*,ψ нужной (минимальной) степени n,

можно построить оценки и для других типов локальных детекторов. Например, для точечного моноэнергетического мононаправленного детектора. Мы не будем этого делать, поскольку выражение оценки получается громоздким и практического значения не имеет. В главе 13 будет показано, что в подобных случаях более удобным может оказаться моделирование сопряженного уравнения переноса.

В заключение приведем на рис.11.4 общую алгоритмическую схему моделирования фазовых состояний с указанием точек вычисления всех полученных оценок.

155

Оценки по столкновениям εCO и пересечениям εCR , а также

локальная оценка εR вычисляются после розыгрыша транспортного ядра, как только установлена очередная точка столкновения. Оценка по пробегам εPL также вычисляется после

Т-ядра, но может существовать и при вылете частицы за границы системы, т.е. когда фактически точки столкновения нет.

Рис.11.4. Схема алгоритмических точек вычисления различных оценок

Оценка по поглощениям εAB , как уже упоминалось выше,

определяется в процессе розыгрыша C-ядра, если при этом столкновение заканчивается поглощением частицы.

Двойная локальная оценка εRE должна быть рассчитана

перед розыгрышем транспортного ядра. При этом для частиц, только что рожденных в источнике, она даст вклад однократно рассеянного излучения, а в остальных случаях – компонент многократного рассеяния.

Контрольные вопросы

Перечислите основные оценки метода Монте-Карло.

Назовите локальные оценки метода Монте-Карло.

Напишите вид оценки по столкновениям для расчета средней плотности столкновений в объеме детектора.

Назовите достоинства и недостатки локальных оценок.

Каковы статистические свойства локальной оценки потока?

На основе формулы (11.13) напишите локальную оценку

156

потока для столкновения, заканчивающегося образованием электрон-позитронной пары. При этом рассматривайте последующий вылет аннигиляционного излучения как процесс рассеяния первичного фотона (формула (10.7)).

Какие оценки вычисляются многократно в течение истории?

Какие однократно?

157

Глава 12. Методы уменьшения дисперсии

Меж ними все рождало споры И к размышлению влекло…

А.С. Пушкин

§12.1. Неаналоговое моделирование

При рассмотрении в §6.9 вычисления методом Монте-Карло определенных интегралов

J = ∫b f (x) p(x) dx ,

a

подчеркивалось, что такое представление подынтегрального выражения в виде произведения плотности вероятности p(x) и

оценки f(x) не является единственным. Всегда можно перейти к

~

моделированию точек x по другой плотности вероятности p(x) ,

добавив при этом под интеграл дополнительный множитель, равный отношению старой и новой функций:

При моделировании фазовых состояний частиц в качестве плотности вероятности мы использовали отнормированную должным образом реальную функцию источника (глава 8), или имеющее ясный физический смысл транспортное ядро (глава 9), или же ядро столкновений, в точности отражающее физический процесс столкновения частицы с атомом, ядром или электроном (глава 10). Таким образом, на всех трех этапах плотность вероятности выбираемой фазовой точки соответствовала рассматриваемому физическому процессу. Такое моделирование обычно называют аналоговым.

В отличие от него, идея неаналогового моделирования

предполагает замену реальной (аналоговой) плотности

~

вероятности p(x) на некоторую смещенную плотность p(x) ,

выбранную из математических соображений (уменьшение дисперсии результата, сокращение времени расчета и т.п.). При этом вводится понятие статистического веса частицы, который

158

после каждой выборки нового фазового состояния по смещенной плотности изменяется на величину

= p(x) w ~ r .

p(x)

После n столкновений итоговый вес частицы будет определяться произведением весов, набранных в результате всех произошедших смещенных розыгрышей:

n

Wn = ∏wi .

i=0

Индекс i = 0 присвоен весу, приобретенному в результате смещения функции источника.

Для того, чтобы смоделировать фазовые точки, соответствующие плотности n-х входящих столкновений, следует использовать связь между компонентами неймановского разложения

которая получена на основе уравнения (5.20). Последовательно применяя ее n-1 раз, будем иметь:

ψ n (xr) = ∫K (xr′ → xr)∫K (xr′′ → xr′)∫K∫K (xr(n−1) → xr(n −2 ) ) ×

(12.2)

× ∫ Q(xr(n ) )T ( xr( n ) → xr(n−1) )dxr′dxr′′Kdxr(n ) .

На последнем шаге плотность первых входящих столкновений расписана (см. формулу (5.21)) через функцию источника и транспортное ядро с использованием их обобщенной записи в фазовых координатах.

Неаналоговое моделирование предполагает следующие смещения.

статистический вес

= Q(xr(n) ) w0 Q~(xr(n) ) .

159

Таким образом, к моменту вычисления оценки частица имеет вес, не равный единице. Модифицированные с учетом неаналогового моделирования оценки по столкновениям, пробегам, пересечениям, а также локальная оценка будут иметь вид:

В данной формуле εk обозначает конкретное выражение, вычисляемое при каждом столкновении. Оно зависит от вида оценки и искомого функционала (см. 11.1.1, 11.1.3, 11.2.1, 11.2.2).

Буквой l, как и ранее, обозначено последнее столкновение частицы перед обрывом ее истории. Для оценки по поглощениям суммирование отсутствует:

следующие ограничения. Смещенные ядра и функции плотности вероятности могут обращаться в 0 только в двух случаях:

в этой точке соответствующая аналоговая функция (или ядро)

равна 0;

160