mathematics_part_1_hamov

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Умножим элементы первой строки этой матрицы на

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

a		a	... a
	11	12	1n
a21 a22			... a2n
A =				.
	. . . . . . . . . . . .
		an2
an1		an2	... ann

Рассмотрим некоторые методы решения систем линейных уравнений вида (1.2).

1. Формулы Крамера.

Теорема 1.3. (правило Крамера). Если определитель матрицы системы (1.2) n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то данная система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам:

xi	=	∆xi	(i =1, 2, ..., n),	(1.3)
		∆

где ∆ — определитель матрицы системы, а ∆xi — определи-

тель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i -го столбца столбцом свободных членов.

Формулы (1.3) называют формулами Крамера (Г. Крамер — швейцарский математик XVIII века).

Пример 1.15. Решить систему 2x − y = 5,

3x + 2 y = 4.

Решение. Матрица этой системы имеет вид

A= 2 −1 .

3 2

Вычислим ее определитель. Получим

∆ = 32 −21 = 4 +3 = 7.

Поскольку ∆ = 7 ≠ 0 , то система имеет единственное решение. Найти его можно по формулам (1.3). Для того, чтобы воспользоваться этими формулами, найдем ∆x и ∆y .

Имеем:

∆x =	5	−1	=10 + 4 =14;	∆y =	2	5	= 8 −15 = −7.
∆x =	5	−1	=10 + 4 =14;	∆y =	2	5	= 8 −15 = −7.
	4	2			3	4

По теореме 1.3 получаем

x =	∆x	=	14		= 2, y =	∆y	=	−7	= −1.
	∆			7		∆		7

Ответ: x = 2, y = −1.

Пример 1.16. Решить систему

3x + 2y + z = 2,2x − y + 2z = −2,4x +3y − z =1.

Решение. Используя разложение по 1-й строке, вычислим определитель матрицы системы. Получаем

	3	2	1
∆ =	2	−1	2	= 3(1 −6) − 2(−2 −8) +1(6 + 4) =15.
	4	3	−1

Так как ∆ =15 ≠ 0, то данная система имеет единственное решение. Для отыскания решения воспользуемся формулами (1.3),


вычислив предварительно определители ∆x ,																		∆y , ∆z с помощью
разложения по 1-й строке.
					2		2	1
					2		2	1
∆x	=			− 2 −1				2			= 2 (1−6) − 2(2 − 2) +1(−6 +1) = −10 −5 = −15,
					1		3 −1
			3		2		1
			3		2		1
∆y =			2 − 2					2		= 3(2 − 2) − 2 (−2 −8) +1(2 +8) = 20 +10 = 30,
			4			1 −1
		3			2			2
		3			2			2
∆z =			2 −1 − 2							= 3(−1 + 6) − 2 (2 +8) + 2 (6 + 4) =15 − 20 + 20 =15.
		4			3			1
Согласно формулам (1.3) получаем
	x =					∆x	=		−15			= −1, y =	∆y	=	30	= 2, z =	∆z	=	15	=1.
	x =					∆	=	15				= −1, y =	∆	=		= 2, z =	∆	=		=1.
						∆		15					∆	15			∆	15
Ответ: x = −1,							y = 2,					z =1.

2. Решение систем линейных уравнений с помощью

обратной матрицы

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестны-

ми (см.(1.2)).

Обозначим

... a

11 12

a21 a22

... a2n

A =

X =

B =

. . . . . . . . . . . .

... a

Учитывая правило умножения матриц, систему (1.2) запи-

шем в матричном виде:
A X = B .	(1.4)

Решим уравнение (1.4). Если det A ≠ 0 , то к матрице A существует обратная матрица A−1 . Умножим слева обе части уравнения (1.4) на A−1 . Получаем: A−1 AX = A−1 B . Так как A−1 A = E и EX = X , то

X = A−1 B .

Пример 1.17. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений

3x + 2y + z = 2,2x − y + 2z = −2,

4x +3y − z =1,

которая приведена в примере 1.16.

Решение. В данном примере

3		2 1		x
	2	−1 2	, X		,
A =				= y
	4	3 −1
				z

Прежде всего найдем матрицу A−1 . Вычислим алгебраические дополнения:

2 B = − 2 .

det A =15 (см. пример 1.16).

A =	−1	2	= −5,	A = −	2	2	=10,	A =	2	−1	=10,

11	3	−1		12	4	−1		13	4	3

A = −		2 1	= 5, A				=			3 1					= −7, A									= −						3 2			= −1,
21		3 −1				22				4		−1										23								4		3
		3 −1								4		−1																		4		3
A =	2 1		= 5, A = −								3 1					= −4, A =												3 2					= −7.
A =	2 1		= 5, A = −								3 1					= −4, A =												3 2					= −7.
31	−1 2					32					2 2												33						2 −1
Отсюда по теореме 1.2 получаем
																	−			1		1						1

																				3 3								3
					−5 5 5															3 3								3
		A−1 =		1				−	7 − 4										2				7					4
				1		10								=					2		−		7			−		4			.
						10								=				3			−					−	15				.
			15			10		−	1 −7									3			15						15
						10		−	1 −7											2	−		1			−		7

																				3		15						15
																				3		15						15
Тогда							1					1				1
							1					1				1
						−
						−	3 3									3
							3 3									3					2									−1
							2					7				4
		X =	A−1 B =				2		−			7	−			4					− 2				=			2				,
		X =	A−1 B =				3		−				−	15							− 2				=			2				,
							3		15					15							1							1
							2			−		1	−			7					1							1

							3					15				15
							3					15				15

то есть

x		−1
		2
y	=	2	.
z		1
z		1

Таким образом, x = −1, y = 2, z =1.

Ответ: x = −1, y = 2, z =1.

Замечание. Метод решения систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы очень удобно применять в тех случаях, когда нужно решить несколько систем уравнений с одинаковыми левыми частями и различными правыми частями.

3. Метод Гаусса

Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Рассмотрим этот метод на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными:

a x + a y + a z = b ,
11 12					13			1	(1.5)
a21 x + a22 y + a23 z = b2 ,
a	31	x + a	32	y + a		33	z = b .
								3
Пусть a11 ≠ 0 (если			a11		= 0 ,			то изменив последовательность

уравнений в системе, можно записать первым то уравнение, в котором коэффициент при x не равен нулю). Чтобы исключить x из второго уравнения системы (1.5), прибавим к нему первое урав-

нение этой системы, умноженное на		a21	. Аналогично исклю-
	−	a21
	−	a
		11

чаем x из третьего уравнения, умножая первое уравнение на

− a31 и прибавляя полученное уравнение к третьему. Приходим к

a11

равносильной системе

a x + a y + a z = b ,
	11	12	13	1	(1.6)
		c22 y + c23 z = d2 ,			(1.6)
		c32 y + c33 z = d3 .
		c32 y + c33 z = d3 .

Если c22 ≠ 0 , то умножаем второе уравнение системы (1.6) на

− c32 и прибавляем полученное уравнение к третьему уравнению

c22

системы (1.6), исключая из него y . В итоге исходная система (1.5) преобразуется к виду

a x + a y + a z = b ,
	11	12	13	1	(1.7)
		c22 y + c23 z = d2 ,			(1.7)
			p33 z = q3 .
			p33 z = q3 .

Из последней системы все неизвестные легко определяются. Здесь возможны три случая:

1) если p33 ≠ 0, то система (1.7), а следовательно и равносиль-

ная ей система (1.5) имеют единственное решение, которое легко определяется из системы (1.7) начиная с последнего уравнения; 2) если p33 = 0, но q3 ≠ 0, то третье уравнение системы имеет

вид 0 z = q3 ≠ 0. Такое уравнение называется противоречивым и

решений оно не имеет. Поэтому и системы (1.7), (1.5) решений не имеют;

3) если p33 = 0, и q3 = 0, то система (1.7) равносильна системе из

двух уравнений	a x + a y + a z = b					,	которая имеет бесконечное
двух уравнений		11	12	13	1		которая имеет бесконечное
			c22 y + c23 z = d2 ,

множество решений. В системе осталось два уравнения, а неизвестных три, поэтому одно неизвестное будет свободным, то есть может принимать любое числовое значение. Так как во втором уравнении c22 ≠ 0, то свободным можно взять z ; (если и коэффициент c23 ≠ 0, то свободной неизвестной можно взять либо z , либо y ). Из системы (1.8) выражаем неизвестные x, y через z :

= b1 − a12 d2c22

= d2 − c23 z.

c22 c22

					1
a12 c23					1
+			− a12	z
+	c	22	− a12	z		a
		22			11		(1.9)
							(1.9)

Эти формулы задают общее решение системы (1.5). Придавая в формулах (1.9) неизвестной z конкретное значение из множества действительных чисел получим три числа x, y , z , которые составляют одно из решений системы (1.5). Например при z = 0 решением будет тройка чисел

					a12 d2		1
					a12 d2		1
x =	b1			−
x =	b1			−	c	22		a
						22	11
		d
		d	2
y =			2
y =		c22
		c22
z = 0.

Для простоты удобно иметь дело не с самой системой уравнений, а с матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов:

a	a	a
11	12	13
a21	a22	a23
	a32	a33
a31	a32	a33

b1 b2 , b3

которая называется расширенной матрицей системы (1.5). Эта матрица отличается от матрицы системы дополнительным столбцом из свободных членов системы. Расширенная матрица системы (1,5) приводится к расширенной матрице системы (1.7), то есть к виду

a		a	a
	11	12	13
		c22	c23
			p33
			p33

b1 d2 , q3

При этом используется умножение строки на произвольное число и прибавление результата к другой строке, перестановка строк и столбцов (кроме последнего столбца). Отметим, что если переставляем столбцы, то это надо учесть при нахождении неизвестных x, y, z , а именно, следует поменять местами и соответствующие неизвестные.

Пример 1.18. Решим теперь методом Гаусса ту же самую сис-

3x + 2 y + z = 2,

тему линейных уравнений 2x − y + 2z = −2, которую уже решали по

4x +3y − z =1,

формулам Крамера и с помощью обратной матрицы в примерах

1.16 и 1.17.

Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид:

3		2	1	2
	2	−1	2	− 2
					.
	4	3 −1		1

прибавим к соответствующим элементам второй строки. Анало-

соответствующим элементам третьей строки. В результате получим матрицу

3		2		1		2
3		2		1		2
		7		4		10
0	−	7		4	−	10
							.
		3		3		3	.
		1		7		5
0		1	−	7	−	5

		3		3		3
		3		3		3

Теперь умножим элементы второй строки полученной матрицы на 17 и прибавим к соответствующим элементам третьей стро-

ки. Имеем:

3		2		1		2
3		2		1		2
		7		4		10
0	−	7		4	−	10
							.
		3		3		3	.
				15		15
0			0 −	15	−	15

				7		7
				7		7

Таким образом, получаем систему:


					z = 2,
3x + 2y +				4	z = 2,		10
	−	7	y +	4	z = −		10		,		откуда		z =1, y = 2, x = −1.

		3		3				3
		3		3				3
			−	15		z = −		15		,

				7				7
				7				7
Ответ: x = −1, y = 2, z =1.
Пример 1.19. Решить систему
								x			+ y +	z =	3
											− 2 y + 2z = −2
								3x			− 2 y + 2z = −2
												z =	5.
								2x −3y +				z =	5.

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

1	1	1	3
3 − 2 2			− 2 .
2	− 3	1	5

Умножим элементы первой строки на ( −3 ) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим элементы первой строки на ( − 2 ) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получаем матрицу

1	1 1	3
0	−5 −1	−11 .
0	− 5 −1	−1

Умножим элементы второй строки на ( −1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим

1	1	1	3
0	−5 −1		−11 .
0	0	0	10

Таким образом, получаем систему

	x + y + z =	3
	−5y − z = −11

	0 z =	10.

Система решений не имеет.

Пример 1.20. Решить систему

−3x + 4y + 2z = 5x + 2 y −3z = 4− 4x + 2 y +5z =1.

Решение. Составим расширенную матрицу системы, предварительно переставив местами первое и второе уравнения

	1	2	−3	4
	−3	4	2	5	.
− 4		2	5	1

Умножим элементы первой строки на 3 и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим элементы первой строки на 4 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

Получаем матрицу

1 2 − 3	4
0 10 −7	17	.
0 10 −7	17

Умножим вторую строку на ( −1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Имеем:

1	2 − 3	4
0	10 −7	17	.
0	0 0	0

Таким образом, получим систему

	x		+ 2y −3z = 4
			10 y −7z =17.
Находим общее решение системы, выражая вначале y через
z из второго уравнения y =	17		+	7	z , а затем x через z	из первого:
		10
			10
						29

								17			7								17		7		3		8
						x = 4 +3z −	2 y	= 4 +3z − 2	+				z = 4					−		+ 3 −		z =		+		z.
						x = 4 +3z −	2 y	= 4 +3z − 2	+		10		z = 4					−	5	+ 3 −		z =	5	+	5	z.
								10			10								5		5		5		5
				Получим общее решение системы
								x =			3	+			8		z
								x =	5			+	5				z
									5				5
									17					7
								y =	17			+		7		z.
								y =		10		+				z.
										10			10
				Придавая свободной неизвестной														z произвольные числовые
значения, можно получить все решения данной системы.
				Например, при z = 0 решением системы является тройка чисел
	3		17
		;			; 0	, при z = 9	−	(15; 8; 9).
	5	;	10		; 0	, при z = 9	−	(15; 8; 9).
	5		10

Пример 1.21. Решить систему

2x −5y + z = 03x − 4 y + 2z = 0x + y + z = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы, переставив в системе последнее уравнение на первое место

1		1 1	0
	2	−5 1	0
				.
	3	− 4 2	0

Умножим элементы первой строки на ( − 2 ) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим первое уравнение на ( −3 ) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу

1		1	1	0
	0	−7	−1	0
					.
	0	−7	−1	0

Умножим вторую строку на ( −1) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Имеем

1		1 1	0
	0	−7 −1	0
				.
	0	0 0	0

Таким образом, получаем систему

x + y + z = 0
	7 y − z = 0.

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.10.2018800.77 Кб1mater.doc
#
20.08.2019183.3 Кб3Materialy_iz_knig_Fundamentalnaya_biblioteka.doc
#
16.09.20192.37 Mб21Materialy_k_GEKu.doc
#
01.09.201973.73 Кб4materialy_k_zachjotu_po_psikhologii_zdorovja_20...doc
#
28.10.2018807.94 Кб1mater_pr.doc
#
12.02.20151.28 Mб13mathematics_part_1_hamov.pdf
#
12.02.201587.83 Кб37mat_dlya_DO1.docx
#
30.03.201639.2 Кб6Mertvye_doktora_ne_lgut.docx
#
23.09.2019640.51 Кб8method.doc
#
17.08.2019119.3 Кб3Metod-kursovik2007-2012.doc
#
24.09.2019126.46 Кб1Metodicheskie_rekomendacii.doc