Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mathematics_part_1_hamov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

1.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

б) пользуемся формулой (4.11) с направляющим вектором

s{5; 3; −1}:

x −5 2 = 3y = z−+13 ;

в) за направляющий вектор возьмем

{0; 1; 0}:

x − 2

z +3

Замечание. Данную запись не следует понимать буквально

(на 0 делить нельзя), а условно как равенство отношений

x − 2

то есть

x − 2

= 0

= 0.

z +3

г) Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей,

нормальные векторы которых

{1; −1; 2},

{2; 1; −3};

направляющий

вектор этой прямой

1 −1 2

+ 7

2 1 −3

Ввиду параллельности данной прямой и искомой, этот же вектор можно взять направляющим для искомой прямой и ее уравнения имеют вид:

	x − 2	=	y	=	z +3	.
1			7
				3
Пример 4.11. Составить уравнения движения точки M (x; y; z),
которая, имея начальное положение M 0 (2; −3; − 4),							движется прямо-
линейно и равномерно в направлении вектора								{− 2; −3; 6} со ско-
							s

ростью V =14.

Решение. Длина вектора s равна s = 4 +9 +36 = 7. Так как ско-

рость точки 14, то направляющий вектор прямой, которая будет описывать движение точки M , равен s1 = 2 s ={− 4; −6; 12}. Уравнения

x = −4t + 2

движения точки M : y = −6t −3

z =12t − 4.

Пример 4.12. Составить уравнение плоскости, проходящей

x = −3t +1

через прямую y = 2t −3 и точку M (4, − 2, 1).

= −t − 2

Решение.

Из уравнения

данной

прямой

имеем точку

M1 (1; −3; − 2), принадлежащую искомой плоскости и направляющий

вектор

{−3; 2; −1}, параллельный

этой

плоскости.

Нормальный

вектор искомой плоскости

−3 2 −1

= 7

+ 6

−9

M1M

3 1

Составляем уравнение плоскости по формуле (4.3)

7 (x − 4)+ 6(y + 2)−9 (z −1)= 0 <=> 7x + 6y −9z −7 = 0.

Пример 4.13. Найти проекцию точки M (2, −1, 3) на прямую

x +3	=	y − 2	=	z −5	.
−3		2
			4

Решение. Приводим плоскость, проходящую через точку M перпендикулярно данной прямой, при этом направляющий вектор прямой s{−3; 2; 4} перпендикулярен плоскости. Поэтому уравнение плоскости имеет вид:

−3(x − 2)+ 2(y +1)+ 4 (z −3)= 0 <=> −3x + 2 y + 4z − 4 = 0.

(4.15)

Проекцией точки M на заданную прямую будет точка пересечения этой прямой и плоскости (4.15). Находим параметриче-

	x = −3t −3
ские уравнения данной прямой	y = 2t + 2 , подставляем в уравне-

ние (4.15)	z = 4t +5
ние (4.15)
−3(−3t −3)+ 2(2t + 2)+ 4(4t +5)− 4 = 0 <=> 29t + 29 = 0 <=> t = −1.
Искомая точка (0; 0; 1).
Пример 4.14. Через прямую		x − 2	=	y +1	=	z + 4	провести плос-
Пример 4.14. Через прямую	4		=	− 2	=		провести плос-
	4			− 2		−1
кость перпендикулярную к плоскости			x −3y +5z −3 = 0.

Решение. Уравнение искомой плоскости

A(x − 2)+ B (y +1)+C (z + 4)= 0,

где A, B, C — координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Так как искомая плоскость проходит через прямую и перпендикулярна плоскости, то направляющий вектор прямой s{4; − 2; −1} и нормальный вектор заданной плоскости n{1; −3; 5} параллельны искомой плоскости, а их векторное произведение s ×n перпендику-

лярно ей.

Находим

. Уравнение искомой плоскости

− 2 −1

= −13

− 21

−10

−3 5

−13(x − 2)− 21(y +1)−10 (z + 4)= 0 <=> 13x + 21y +10z +35 = 0.

x =

4t − 2

Пример 4.15. Найти проекцию прямой y = −3t +1 на плос-

t + 4

z =

кость

x +3y − 2z +5 = 0.

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно данной плоскости (предыдущий пример):

x +3y +5z − 21 = 0. Проекцией данной прямой на заданную плос-

кость будет линия пересечения плоскостей

x +3y − 2z +5 = 0

x +3y +5z = 21 = 0.

Пример 4.16. Составить уравнение плоскости, проходящей

через две параллельные прямые

x − 4

y + 2

z −3

;

x +1

y −5

z − 2

− 2

Решение. Точки M1 (4; − 2; 3), M 2 (−1; 5; 2)

лежащие

соответст-

венно на первой и второй прямых

принадлежат искомой плоско-

сти. Два

вектора

{−5; 7; −1},

{1; − 2; 5} параллельны искомой

M1M 2

плоскости,

поэтому

их

векторное

произведение

есть вектор перпендикулярный

−5 7 −1

= 37

+ 24

M1M 2

1 − 2

искомой плоскости. Для составления уравнения плоскости можно

взять любую из точек M1 , M 2 :

37 (x +1)+ 24 (y −5)+3(z − 2)= 0 <=> 37x + 24 y +3z −89 = 0.

Пример 4.17. Составить уравнение плоскости, проходящей

через точку

M (− 2, 1, 1)

параллельно двум прямым

x −1

y + 2

z − 4

;

y +3

z +1

−1

− 4

− 2

Решение. Направляющие векторы прямых

{2;−1;3},

{− 4;3;−2}

параллельны

искомой

плоскости,

поэтому

вектор

s = s1 ×s2 = −7 i −8 j + 2 k перпендикулярен искомой плоскости, уравнение которой будет

−7 (x +2)−8(y −1)+2(z −1)= 0 <=> −7x −8y +2z −8 = 0.

Пример 4.18. Найти общие точки трех плоскостей. Определить взаимное расположение этих плоскостей в пространстве.

x + 4 y − 2z = 5,	− x +3y + 2z = 7,
а) −3x + y +5z = −2,	б) 2x + y −5z = −3,
− 2x +5y +3z = −3;	x + 4y −3z = 4.

Решение. а) Из заданных уравнений составляем систему и решаемееметодомГаусса; расширенная матрица системыимеет вид:

1 4 − 2		5



−3 1	5	− 2	.



− 2 5	3	−3

Умножаем первую строку на 3 и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Далее умножаем первую строку на 2 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получаем матрицу:

1 4 − 2	5



0 13 −1		13		.



0 13 −1			7

Умножаем вторую строку на –1 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получаем матрицу

1	4 − 2	5



0 13 −1			13	.



0	0 0		−6

x + 4 y − 2z = 5
Таким образом, получаем систему:	13y − z =13 , которая ре-
	0 z = −6

шений не имеет. Поэтому данные три плоскости общих точек не имеют. Первые две плоскости определяют прямую линию в пространстве

x + 4y − 2z = 5−3x + y +5z = −2.

Ни одна точка этой прямой третьей плоскости − 2x +5y +3z = −3 не принадлежит. Поэтому эта прямая параллельна третьей плоскости. Таким образом, каждая из данных плоскостей параллельна линии пересечения двух других.

б) Составим систему уравнений и решаем методом Гаусса. Расширенная матрица системы:

−1	3 2	7



2	1 −5	−3	.



1	4 −3	4

Первую строку умножаем на 2 и прибавляем к соответствующим элементам второй строки; затем к третьей строке прибавляем соответствующие элементы первой строки. Получим матрицу:

−1 3 2			7



0	7 −1	11



0	7 −1	11

Далее вторую строку умножаем на –1 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.

−1 3		2		7



0	7 −1		11



0	0	0		0

Таким образом, получаем систему

− x +3y + 2z = 7

7 y − z =11.

Система имеет бесконечное множество решений. Она определяет прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Все три данные плоскости проходят через одну прямую, то есть принадлежат пучку плоскостей, определяемому двумя из трех заданных плоскостей.

Пример 4.19. Составить уравнение прямой, проходящей через

точку M (1,−1, 2) и перпендикулярную прямой	x − 2	=	y +3	=	z −1	.
	− 2		1
					−3

Решение (1-й способ). Искомая прямая должна находиться в плоскости, проходящей через точку M и заданную прямую. Поэтому направляющий вектор s{m; n; p} искомой прямой, во-первых,

перпендикулярен

вектору

1 {− 2; 1;−3}, то есть

= 0, во-вторых,

векторы

{1;−2;−1}

(точка M1 (2,−3, 1) принадлежит данной

MM1

прямой) компланарны, то есть

(

)= 0 . Получаем систему уравнений

MM1

− 2m + n −3 p = 0

m n

− 2m + n −3 p = 0

− 2 1 −3

= 0

<=>

1− 2

−1

−7m −5n +3p = 0.

Из второго уравнения исключаем p , прибавляя ко второму

уравнению первое − 2m + n −3 p = 0	. Из второго уравнения:	n = −	9	m
			4
−9m − 4n = 0.

( m — свободное неизвестное); подставляем значение n в первое

уравнение

− 2m −

m −3 p = 0. Отсюда 3 p = −

то есть p = −

m. По-

n = −

m − любое действительное число.

лучили общее решение:

p = −

Для составления уравнения искомой прямой нужно взять один ненулевой набор значений m, n, p. Например, m =12, n = −27, p = −17 . Искомая прямая имеет уравнения:

x12−1 = −y +271 = z−−172 .

2-й способ. Через точку M (1,−1, 2) проводим плоскость, перпендикулярную данной прямой (то есть вектору s1 {− 2; 1;−3}). Уравнение этой плоскости имеет вид: − 2(x −1) + ( y +1) −3(z − 2) = 0 − 2x + y −3z +9 = 0 Находим точку пересечения найденной плоскости и заданной прямой (через эту точку пройдет искомая прямая). Для этого решаем систему уравнений:

− 2x + y −3z +9 = 0
	x = −2t + 2
	x = −2t + 2
	y = t −3
	y = t −3
	z = −3t +1,
	z = −3t +1,
подставляем значения x, y, z	в первое уравнение и получаем
− 2 (− 2t + 2)+t −3 −3(−3t +1)+9 = 0 <=>14t −1 = 0, t =			1	и x =	13	, y =	− 41	, z =		11	.

		14			7		14		14
		14			7		14		14

Уравнения искомой прямой составляем по формулам (4.14) так

как она проходит через две точки M (1,−1, 2),

M 2

,−

x −1

y +1

z − 2

<=>

x −1

y +1

z − 2

<=>

x −1

y +1

z − 2

− 27

−17

−1

−

− 2

−

Задания для самостоятельной работы

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через пря-

мую пе-ресечения плоскостей 2x − y +3z −5 = 0

x + 2y − z + 2 = 0

а) и через точку M (1;−1; 2);

б) параллельно оси OZ ;

в) параллельно вектору

{− 2; 3; 5}.

Ответ: а) 6x + 7 y − z +3 = 0 ; б)

5x +5y +1 = 0 ; в) 10x +15y −5z +11 = 0 .

2. Даны точки M1 (3;−1; 2), M 2 (4;−1;−1}, M 3 (2; 0; 2).

Составить: а) уравнение плоскости (P), проходящей через

точки

M1 , M 2 , M 3 ; б) канонические уравнения прямой M1 M 2 ; в) параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 3 перпендикулярно плоскости (P).

x = 3t + 2

Ответ: а) 3x +3y + z −8 = 0; б) x 1−3 = y 0+1 = z−−32 ; в) y = 3t .

z = t + 2.

3. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (2; 1; −1) параллельно:

а) вектору a{− 2; 3;−1}; б) оси OX ; в) прямой 3x − y + 2z −7 = 0

x +3y − 2z +3 = 0.

x = −2t + 2	x = t + 2	x = −2t + 2
Ответ: а) y = 3t +1	б) y =1	в) y = 4t +1

z = −t −1;	z = −1;	z = 5t −1.

4. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку M (1;−5; 3) и образует с осями координат углы, соответственно

равные 600 , 450 , 1200.

Ответ: x 1−1 = y +25 = z−−13 .

x = 2t −1

5. Найти точку пересечения прямой y = 4t +3 и плоскости

z = 3t

x − 2 y +3z +10 = 0. Ответ: (−3;−1;−3).

6. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M (3;−2; 4) на плоскость 5x +3y − 4z + 7 = 0.

Ответ: x 5−3 = y +3 2 = z−−44 .

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (3; 1; − 2) и через прямую x 3−1 = y−+21 = z −4 2 .

Ответ: 2y + z = 0.

8. Через прямую	x + 2	=	y −3	=	z +1	провести плоскость перпен-
	5		− 2
				1
дикулярную к плоскости		x + 4 y −3z + 7 = 0.

Ответ: x +8y +11z −11 = 0.

9.Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые 5x = y +2 2 = z−−33 ; x 5−1 = y 2−3 = z−+32 .

Ответ: 5x + 22y + 23z − 25 = 0.

10.Составить уравнение плоскости, проходящий через точку

M (−5; 3; 2)

и параллельной прямым x 3−1 = y 2+3 = z−−15 ; x−+25 = y 1− 4 = z +4 6 .

Ответ: 9x −10 y + 7z + 61 = 0.

11. Найти общие точки трех плоскостей. Определить взаимное расположение этих плоскостей в пространстве:

− x + 4 y + 3z = 6,	x +5y −7z = 4,
а) 4x + y − 5z = 7,	б) − 2x + y +3z = 5,
3x + 5y − 2z =15;	−3x − 4y +10z =1.

Ответ: а) общих точек нет; линия пересечения двух плоскостей параллельна третьей плоскости;

б) общими точками трех плоскостей являются точки прямой линии пересечения двух плоскостей, третья плоскость проходит через эту прямую.

12. Через точку M (− 2; 1; 1) провести прямую перпендикуляр-

ную прямой

x +3

y −1

z −3

−1

− 2

Ответ:

x + 2

y −1

z −1

− 4

Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

§1. Однородная система линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если в каждом ее уравнении свободный член равен нулю. Однородная система линейных уравнений является частным случаем общей системы линейных уравнений. Поэтому для решения таких систем применим метод Гаусса. В отличие от общих систем, однородная система имеет либо одно решение (нулевое), либо бесконечное множество решений. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными:

a11 x + a12 y = 0

a21 x + a22 y = 0.

Если определитель этой системы	a11	a12	не равен нулю, то
	a21	a22

по правилу Крамера система имеет единственное решение, ко-

торое будет нулевым x = 0,

y = 0.

Если определитель равен нулю,

то его строки пропорциональны

a11

a12

Тогда методом Гаусса

a21

a22

a11 x + a12 y = 0. Отсюда, ес-

система сводится к одному уравнению:

ли a11

≠ 0, то x = −

a12

где y

— свободная переменная и при лю-

бом значении y = k

( k

— действительное

число) пара чисел

a12

x =

k, y = k или

k ;

k является решением данной системы.

a12

Заметим, что пара действительных чисел

k ; k определяет на

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.10.2018800.77 Кб1mater.doc
#
20.08.2019183.3 Кб3Materialy_iz_knig_Fundamentalnaya_biblioteka.doc
#
16.09.20192.37 Mб21Materialy_k_GEKu.doc
#
01.09.201973.73 Кб4materialy_k_zachjotu_po_psikhologii_zdorovja_20...doc
#
28.10.2018807.94 Кб1mater_pr.doc
#
12.02.20151.28 Mб13mathematics_part_1_hamov.pdf
#
12.02.201587.83 Кб37mat_dlya_DO1.docx
#
30.03.201639.2 Кб6Mertvye_doktora_ne_lgut.docx
#
23.09.2019640.51 Кб8method.doc
#
17.08.2019119.3 Кб3Metod-kursovik2007-2012.doc
#
24.09.2019126.46 Кб1Metodicheskie_rekomendacii.doc