Вариант 22

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z=y-;б)z=.

2. Вычислить приближенно 4/((1,03)²+(2,97)²).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции .

4. Вычислить значение производной сложной функции u=arcsin, гдеx=sint,y=costприt= π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²+y²+z²+2xy-4x-yz-3y-z= 0, в данной точкеM₀(1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+2y²+z²-4xz = 8, M₀(0,2,0);

б) S: 2x²-y+2z² = 0, M₀(1,10,2).

8. В направлении какой линии: xy= 4 илиx=yв т. М₀(2,2) функцияz=x³+y³-3xyизменяется скорее в сторону возрастания аргументаx?

9. Исследовать на экстремум функцию z=y-y²-x+6y

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x³-y³-3xyв области

D:x= 0,x= 2,y= -1,y= 2.

Вариант 23

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = –x; б) z = arcsin(1-x²-y²) + arcsin2xy.

2. Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=arcsin(xy)-3xy².

4. Вычислить значение производной сложной функции , гдеx=sin2t,y=tg²tприt=, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²-y²-z²+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точкеM₀(0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u= 3+ln(x²+(y+1)²) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-2z²-2y = 0, M₀(-1,-1,1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(-1,1,2).

8. В направлении какой линии y²= 4xилиx²+y²= 5 в т. М₀(1,2) функцияz=x³+y³ изменяется скорее в сторону возрастания аргументаx?

9. Исследовать на экстремум функцию z=x²-xy+y²+9x-6y+20.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 4(x-y)-x²-y²в области

D: 2y+x= 4,x-2y= 4.

Вариант 24

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(25-x²-y²); б) z = arctg().

2. Вычислить приближенно (0,99)^5,05.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=.

4. Вычислить значение производной сложной функции u=, гдеx=lnt,y=t²приt= 1, с точностью до двух знаков после запятой

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:+z³-3z= 3, в данной точкеM₀(4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-3z²+xy = -2z, M₀(1,0,1);

б) S: y²-4y+z = 0, M₀(1,-2,-12).

8. В направлении какой линии: x² +y²= 8 илиy= -xв т.M₀(-2, 2) функцияz=изменяется скорее в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z=xy(6-x-y).

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²-y²+2xy-4xв области

D:y=x+1, y= 0,x= 3.