Вариант 16

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin; б) z = ln(y²-x²),

2. Вычислить приближенно 2,01∙ 1,03/ ((2,01)⁴+(2,97)²),

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=arcos(x-2y²),

4. Вычислить значение производной сложной функции u=ln(e^-x +e^-2y) гдеx=t²,приt= 1, с точностью до двух знаков после запятой,

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x+y+z+2 =xyz, в данной точкеM₀(2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой,

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x²+y²-3xy-x+y+2, M₀(2,1,0);

б) S:x²+y²-z-6 = 0,M₀(2,1,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции в т.M₀() в направлении линииx²+y²+2x= 0 в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z=x–x²-y+6x+3.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 3x²+3y²-x-y+1 в области

D:x= 5,y= 0,x-y-1 = 0.

Вариант 17

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln(x²-y²); б) z = arcsin.

2. Вычислить приближенно (2-)^3,02.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z= 5xy²+lnxy².

4. Вычислить значение производной сложной функции u=, гдеx=lnt,y=t²приt= 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x² +y² +z²-2xz= 2, в данной точкеM₀(0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=arctgуказанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x²-y²+2z²+xz+xy = 3, M₀(1,2,1,);

б) S:x²+y²-4z²= 4,M₀(2,-1,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=arctg(xy) в т.M₀(-1,4) в направлении линииy= -x+3 в сторону убывания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 2xy-5x²-3y²+2.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 2x² +2xy-0,5y²-4xв областиD:y= 2x,y= 2,x= 0.

Вариант 18

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z=ln(x²-y²); б)z=

2. Вычислить приближенно tg46°sin29°.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции .

4. Вычислить значение производной сложной функции u=arcsin, гдеx=sint,y=costприt= π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:e^z-xyz-x+1 = 0, в данной точкеM₀(2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=ln(x+e^–y) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²+z²-4x+2y = 14, M₀(3,1,-4);

б) S: x²+y² = 5z, M₀(1,3,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=x²+y²в т.M₀(-6,8) в направлении линииy= (2/9)x²в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z=xy(12-x-y).

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+2,5y²-2xy-2xв областиD:y= 0,y= 2,x= 0,x= 2.