РГР ТАУ

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФБГОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет» им. Г. И. Носова

Кафедра Электроники и микроэлектроники

Расчетно-графическая работа

по курсу: «Теория автоматического управления»

Вариант 1.2.3

Выполнил: студент группы АП-10-1 Аркузин И.В.

Проверил: КТН, доцент кафедры ЭиМЭ Пишнограев Р.С.

Магнитогорск 2012

1.Задание

1. Полагая W_Р(р) = 1 и W_ОС(р) = 0, привести в общем виде:

W_РАЗ(р) – передаточную функцию объекта управления по управляющему воздействию x;

W_f (p) – передаточную функцию объекта управления по возмущающему воздействию f.

2. При известных типах и параметрах W₁(p)..W₄(p) определить характер устойчивости объекта по управляющему воздействию с помощью любого алгебраического критерия.

3. При W_ОС(р) = 1 выполнить синтез оптимального регулятора W_Р(р).

4. Проверить устойчивость полученной системы управления (с учётом регулятора) любым графическим критерием. Показать на графиках и привести значения запаса устойчивости по амплитуде К_З и фазе φ_з.

5. Определить W_e(р) – передаточную функцию объекта управления и регулятора по ошибке регулирования в общем виде. Все необходимые преобразования структурной схемы объекта привести в пояснительной записке. При известных типах и параметрах W₁(p)..W₄(p) и W_Р(р) рассчитать коэффициенты ошибок, определить степень астатизма САУ.

Структурная схема САУ представлена на рисунке 1:

Рисунок 1 – Структурная схема САУ заданного варианта

Параметры передаточных функций объекта управления представлены в таблице 1:

Таблица 1 - Параметры передаточных функций объекта управления

Вариант	Вар. пар.	W1(p)	W2(p)	W3(p) K3	W4(p) K4
2	3	K1 =36,4	K2 = 9 τ2 = 0,0025	K3 = 0,1	K4 = 0,05

2. Выполнение работы

2.1 Определение передаточной функции объекта по управляющему и возмущающему воздействию

С учетом задания, структурную схему на рисунке 1 можно упростить, убрав цепь обратной связи и регулятор, так как его передаточная функция равна 1. Преобразованная схема представлена на рисунке 2:

Рисунок 2 – Упрощенная схема САУ

Переместим звено W₃ за узел 1, полученная схема САУ представлена на рисунке 2:

Рисунок 3 – Схема САУ, с учетом переноса звена W₃

При определении передаточной функции объекта по управляющему воздействию, примем значение помехи равной 0. Из схемы на рисунке 3 видно, что сигнал после прохождения через звено W₁ идет дальше через цепь положительной обратной связи, состоящей из звеньев W₂ и W₃. Преобразуем схему. Новая схема представлена на рисунке 4:

Рисунок 4 – Схема САУ, с преобразованием цепи ПОС

И, в итоге, остается один контур с двумя звеньями: одно – цепи прямого усиления сигнала, второе – передаточная функция отрицательной обратной связи. Преобразуем схему на рисунке 4 по формуле цепи с обратной связью. Конечная схема для расчета представлена на рисунке 5:

Рисунок 5 – Преобразованная схема САУ

С учетом всех вышеперечисленных преобразований, получаем передаточную функцию объекта по управляющему воздействию х:

W_РАЗ(p) = =

Подставим числовые значения передаточных функций в формулу:

W_РАЗ(p) = = =

. (1)

Для нахождения передаточной функции по возмущающему воздействию f, вернемся к рисунку 3. Сигнал помехи проходит вначале через звено W₂, следом через положительную обратную связь со звеном W₃ и потом через отрицательную обратную связь с передаточной функцией W₁(p)W₃(p)W₄(p). Теперь выведем формулу для получения передаточной функции по возмущающему воздействию f:

W_f (p) = = = (2)

2.2 Определение характера устойчивости объекта по управляющему воздействию, с помощью критерия Гурвица

Для определения устойчивости объекта рассчитываются все диагональные определители матрицы Гурвица. Для того чтобы система была устойчива, определители должны совпадать по знаку с коэффициентом а₀ , то есть при а₀ > 0 были положительными. МатрицаГурвица в общем виде:

. (3)

Определитель Гурвица – 2 порядка, так как высшая степень знаменателя передаточной функции объекта – двойка. Чтобы использовать критерий Гурвица, необходимо рассчитать передаточную функцию замкнутой системы при W_ос(p) = 1:

W_зам(p) = = . (4)

Рассмотрим полином D(p) передаточной функции, коэффициенты в нем равны:

a₀ = 0,0025; a₁ = 0,1; a₂ = 329,238; a₃ = 0. (5)

На основании коэффициентов, составим матрицу Гурвица:

. (6)

Диагональные определители матрицы Гурвица (6):

; (7)

(8)

Все диагональные определители матрицы Гурвица больше 0, и совпадают со знаком коэффициента a₀, значит можно сделать вывод, что система устойчива.

2.3 Синтез оптимального регулятора

Синтез регулятора произведем по модульному оптимому. Регулятор - пропорционально-интегральный. Его передаточная функция:

. (9) ,

где К_р – коэффициент пропорционального звена регулятора, а - постоянная времени интегратора.

Чтобы найти коэффициент , найдем передаточную функцию замкнутой системы вместе с регулятором. Для этого приведем передаточную функцию разомкнутой системы к следующему виду:

(10)

Тогда:

W_зам(p) = . (11)

Согласно критерию оптимизации, соотношения полиномов числителя и знаменателя следующие:

. (12)

Подставим коэффициенты из выражения (11) в (12), получаем:

= 0. (13)

Из выражения (13) получаем формулу для вычисления коэффициента К_р:

К_р = = . (14)

Чтобы найти нужно знаменатель передаточной функции (10) представить в виде двух множителей вида:

. (15)

Cоставим систему для нахождения коэффициентов a и b:

(16)

Коэффициенты а и b – комплексно-сопряженные и равны:

a = 0,031 + 0,024j, (17)

b = 0,031 – 0,024j; (18)

Для сокращения одного из множителей с числителем передаточной функции регулятора , нужно учесть реальную и мнимую часть коэффициента a (он же . Для этого найдем его модуль и разделим на :

= 0,02767. (19)

= . (20)

Получаем передаточную функцию регулятора:

. (21)

2.4 Проверка устойчивости системы управления (с учетом регулятора), при помощи критерия устойчивости Боде

При использовании критерия Боде нужно рассматривать разомкнутую САУ.

Запасы устойчивости по фазе и амплитуде легко находятся по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ. ЛАЧХ и ЛФЧХ были построены в среде разработки LabVIEW, которые представлены на рисунках 6 и 7 соответственно: