РГР ТАУ
.docxМинистерство образования и науки Российской Федерации
ФБГОУ ВПО «Магнитогорский государственный технический университет» им. Г. И. Носова
Кафедра Электроники и микроэлектроники
Расчетно-графическая работа
по курсу: «Теория автоматического управления»
Вариант 1.2.3
Выполнил: студент группы АП-10-1 Аркузин И.В.
Проверил: КТН, доцент кафедры ЭиМЭ Пишнограев Р.С.
Магнитогорск 2012
Оглавлени
Министерство образования и науки Российской Федерации 1
Магнитогорск 2012 1
1.Задание 3
2. Выполнение работы 4
2.1 Определение передаточной функции объекта по управляющему и возмущающему воздействию 4
2.2 Определение характера устойчивости объекта по управляющему воздействию, с помощью критерия Гурвица 7
2.3 Синтез оптимального регулятора 8
2.4 Проверка устойчивости системы управления (с учетом регулятора), при помощи критерия устойчивости Боде 9
2.5 Определение передаточной функции объекта управления и регулятора по ошибке регулирования We(p) в общем виде. Расчет коэффициентов ошибок, определение астатизма САУ 11
Библиографический список 13
1.Задание 3
2. Выполнение работы 4
2.1 Определение передаточной функции объекта по управляющему и возмущающему воздействию 4
2.2 Определение характера устойчивости объекта по управляющему воздействию, с помощью критерия Гурвица 6
2.3 Синтез оптимального регулятора 7
2.4 Проверка устойчивости системы управления (с учетом регулятора), при помощи критерия устойчивости Боде 9
2.5 Определение передаточной функции объекта управления и регулятора по ошибке регулирования We(p) в общем виде. Расчет коэффициентов ошибок, определение астатизма САУ 10
Библиографический список 12
1.Задание
-
Полагая WР(р) = 1 и WОС(р) = 0, привести в общем виде:
WРАЗ(р) – передаточную функцию объекта управления по управляющему воздействию x;
Wf (p) – передаточную функцию объекта управления по возмущающему воздействию f.
-
При известных типах и параметрах W1(p)..W4(p) определить характер устойчивости объекта по управляющему воздействию с помощью любого алгебраического критерия.
-
При WОС(р) = 1 выполнить синтез оптимального регулятора WР(р).
-
Проверить устойчивость полученной системы управления (с учётом регулятора) любым графическим критерием. Показать на графиках и привести значения запаса устойчивости по амплитуде КЗ и фазе φз.
-
Определить We(р) – передаточную функцию объекта управления и регулятора по ошибке регулирования в общем виде. Все необходимые преобразования структурной схемы объекта привести в пояснительной записке. При известных типах и параметрах W1(p)..W4(p) и WР(р) рассчитать коэффициенты ошибок, определить степень астатизма САУ.
Структурная схема САУ представлена на рисунке 1:
Рисунок 1 – Структурная схема САУ заданного варианта
Параметры передаточных функций объекта управления представлены в таблице 1:
Таблица 1 - Параметры передаточных функций объекта управления
Вариант |
Вар. пар. |
W1(p) |
W2(p) |
W3(p) K3 |
W4(p) K4 |
2 |
3 |
K1 =36,4 |
K2 = 9 τ2 = 0,0025 |
K3 = 0,1 |
K4 = 0,05 |
2. Выполнение работы
2.1 Определение передаточной функции объекта по управляющему и возмущающему воздействию
С учетом задания, структурную схему на рисунке 1 можно упростить, убрав цепь обратной связи и регулятор, так как его передаточная функция равна 1. Преобразованная схема представлена на рисунке 2:
Рисунок 2 – Упрощенная схема САУ
Переместим звено W3 за узел 1, полученная схема САУ представлена на рисунке 3:
Рисунок 3 – Схема САУ, с учетом переноса звена W3
При определении передаточной функции объекта по управляющему воздействию, примем значение помехи равной 0. Из схемы на рисунке 3 видно, что сигнал после прохождения через звено W1 идет дальше через цепь положительной обратной связи, состоящей из звеньев W2 и W3. Преобразуем схему. Новая схема представлена на рисунке 4:
Рисунок 4 – Схема САУ, с преобразованием цепи ПОС
И, в итоге, остается один контур с двумя звеньями: одно – цепи прямого усиления сигнала, второе – передаточная функция отрицательной обратной связи. Преобразуем схему на рисунке 4 по формуле цепи с обратной связью. Конечная схема для расчета представлена на рисунке 5:
Рисунок 5 – Преобразованная схема САУ
С учетом всех вышеперечисленных преобразований, получаем передаточную функцию объекта по управляющему воздействию х:
WРАЗ(p) = =
Подставим числовые значения передаточных функций звеньев в формулу:
WРАЗ(p) = = =
. (1)
Для нахождения передаточной функции по возмущающему воздействию f, вернемся к рисунку 3. Сигнал помехи проходит вначале через звено W2, следом через положительную обратную связь со звеном W3 и потом через отрицательную обратную связь с передаточной функцией W1(p)W3(p)W4(p). Теперь выведем формулу для получения передаточной функции по возмущающему воздействию f:
Wf (p) = = = (2)
2.2 Определение характера устойчивости объекта по управляющему воздействию, с помощью критерия Гурвица
Для определения устойчивости объекта рассчитываются все диагональные определители матрицы Гурвица. Для того чтобы система была устойчива, определители должны совпадать по знаку с коэффициентом а0 , то есть при а0 > 0 были положительными. Матрица Гурвица в общем виде:
. (3)
Определитель Гурвица – 2 порядка, так как высшая степень знаменателя передаточной функции объекта – двойка. При использовании критерия Гурвица, берется характеристическое уравнение разомкнутой системы:
= . (4)
Рассмотрим полином D(p) передаточной функции, коэффициенты в нем равны:
a0 = 0,0025; a1 = 0,1; a2 = 1,638; a3 = 0. (5)
На основании коэффициентов, составим матрицу Гурвица:
. (6)
Диагональные определители матрицы Гурвица (6):
; (7)
(8)
Все диагональные определители матрицы Гурвица больше 0, и совпадают со знаком коэффициента a0, значит можно сделать вывод, что ОУ устойчив.
2.3 Синтез оптимального регулятора
Синтез регулятора произведем по модульному оптимому. Регулятор - пропорционально-интегральный. Его передаточная функция:
. (9) ,
где Кр – коэффициент пропорционального звена регулятора, а - постоянная времени интегратора.
Чтобы найти коэффициент , найдем передаточную функцию замкнутой системы вместе с регулятором. Для этого приведем передаточную функцию разомкнутой системы к следующему виду:
(10)
Тогда:
Wзам(p) = . (11)
Согласно критерию оптимизации, соотношения полиномов числителя и знаменателя следующие:
. (12)
Подставим коэффициенты из выражения (11) в (12), получаем:
= 0. (13)
Из выражения (13) получаем формулу для вычисления коэффициента Кр:
Кр = = . (14)
Чтобы найти нужно знаменатель передаточной функции (10) представить в виде двух множителей вида:
. (15)
Cоставим систему для нахождения коэффициентов a и b:
(16)
Коэффициенты а и b – комплексно-сопряженные и равны:
a = 0,031 + 0,024j, (17)
b = 0,031 – 0,024j; (18)
Для сокращения одного из множителей с числителем передаточной функции регулятора , нужно учесть реальную и мнимую часть коэффициента a (он же . Для этого найдем его модуль и разделим на :
= 0,02767. (19)
= . (20)
Получаем передаточную функцию регулятора:
. (21)
2.4 Проверка устойчивости системы управления (с учетом регулятора), при помощи критерия устойчивости Боде
При использовании критерия Боде нужно рассматривать разомкнутую САУ.
Запасы устойчивости по фазе и амплитуде легко находятся по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ. ЛАЧХ и ЛФЧХ были построены в среде разработки LabVIEW, которые представлены на рисунках 6 и 7 соответственно:
Рисунок 6 – ЛАЧХ разомкнутой САУ
Рисунок 7 – ЛФЧХ разомкнутой САУ
Согласно критерию Боде, значение запаса по амплитуде равно значению амплитуды в децибелах на частоте, при которой фаза равна , т.е:
. (22)
Значение запаса по фазе равно разнице фазы и фазы при которой амплитуда равна 0 дБ, т.е:
. (23)
2.5 Определение передаточной функции объекта управления и регулятора по ошибке регулирования We(p) в общем виде. Расчет коэффициентов ошибок, определение астатизма САУ
Схема для определения передаточной функции по ошибке регулирования представлена на рисунке 8:
Рисунок 8 – Схема для определения передаточной функции по ошибке регулирования
Исходя из рисунка 8, передаточная функция по ошибке равна:
We(p) = = = . (24)
Рассчитаем коэффициенты ошибок:
We(p) = = 0. (25)
Так как первый коэффициент ошибки равен 0, считаем следующий коэффициент ошибки, взяв первую производную от передаточной функции по ошибке:
We’(p) = = = 0,12693. (26)
Таким образом, при первой степени входящего воздействия (линейное) появляется ошибка равная 0,12693. Так как первый коэффициент ошибки равен 0 ( и он единственный), система имеет астатизм первого порядка.
Библиографический список
1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989.
2. Поляков К.Ю. Теория автоматического управления для начинающих. Санкт-Петербург, 2008.
3. Бутырин П.А., Гафиятуллин Р.Х., Шестаков А.Л. Электротехника. Книга II. Электрические машины. Промышленная электроника. Теория автоматического управления. Челябинск : Изд-во ЮУрГУ, 2004.