МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Магнитогорский государственный технический

университет им. Г.И. Носова

А.В. ИЗОСОВ, Л.А. ИЗОСОВА

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Часть 2.

Учебное пособие для студентов

заочной формы обучения

МАГНИТОГОРСК

2006

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое пособие имеет целью помочь студенту – заочнику освоить очень важный раздел высшей математики, имеющий широкие применения в приложениях математики, физике, механике и других областях деятельности. Под термином «математический анализ» подразумевается, прежде всего, дифференциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в. В узком смысле, как учебная дисциплина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую долю той части математического знания, которая сейчас является общей для всех современных математических дисциплин. И понятна та совершенно исключительная роль, которую играет математический анализ в математическом образовании. Он, по существу, является фундаментом математических знаний.

1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1 Первообразная и неопределённый интеграл

Пусть функция определена на некотором проме -жутке Х.

Определение 1. Функция называетсяпервооб –разной для функции на промежутке Х, если для всехвыполняется равенство.

Так как производная постоянной равна 0 ( ), то любая функция вида, где- произвольная постоянная, также является первообразной для функции.

Определение 2. Множество всех первообразных функции на промежуткеназываетсянеопределённым инте - гралом и обозначается , где- произ -вольная постоянная.,- подынтегральная функция ,- подынтегральное выражение.

Операция восстановления функции по её производной называется интегрированием.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1. .

Благодаря этому свойству ( и в силу определения первообраз -ной), операцию интегрирования можно проверять дифференци -рованием.

2. , в частности,.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

.

4. .

Используя то, что интегрирование - это операция обратная к операции дифференцирования, можем записать таблицу основных интегралов.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. ;

2. ,, в частности,

, и т.д.

3.

4. в частности,:

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. в частности,

12. в частности,

13.

14. .

15.

16.

17.

§ 2. Основные методы интегрирования

1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Метод сводится к тому, что при помощи тождественных

преобразований подынтегральной функции и при применении свойств неопределённого интеграла (3 и 4), связанных с алге- браическими операциями, вычисление интеграла сводится к применению табличных интегралов.

ПРИМЕРЫ.

1.

2.

3.

4.

2. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ( ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В

НЕОПРЕДЕЛЁННОМ ИНТЕГРАЛЕ )

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция определена и диффе- ренцируема на некотором промежутке, а функцияинтегрируема на промежутке(области значений функции). Тогда выполняется формула:

. (1)

При этом, если вместо переменной подставляется неко -торая функция (т.е. формула применяется «слева направо») то формула (1) называетсяформулой подстановки, а если, наоборот, вместо некоторой функции от ставится некоторая новая переменная (т.е. формула действует «справа налево» ) то формула (1) называетсяформулой замены переменной в неопределённом интеграле..

ПРИМЕРЫ.

1.

Замечание 1. После замены переменной или подстановки в неопределённом интеграле необходимо обязательно вернуться к исходной переменной.

2.

В этих примерах мы выполнили замену переменной, т.е. функцию заменили новой переменной. Теперь рассмотрим случай подстановки:

3. Рассмотрим следствия из формулы 1.

Следствие 1. Если то

Например:

Следствие 2.

Например:

аналогично, .

и так далее.

3. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ.

Среди свойств неопределённого интеграла нет свойства ин -теграла от произведения двух функций. В некоторых случаях интеграл от произведения двух функций позволяет найти так называемая формула интегрирования по частям, которая по- лучается с использованием формулы производной произведе -ния двух функций. Если инепрерывно дифференци- руемые функции на некотором промежутке, то для этих функций может быть применена формула интегрирования по частям

. (2)

В самом деле,

При использовании этого метода следует запомнить следующие правила:

1. Если под знаком интеграла стоят следующие функции : , которые исчезают после дифференцирования, то эти функции обозначают через, а всё остальное выражение в интеграле - через.

2. Если под знаком интеграла, стоят функции, которые не исчезают после вычисления производной

и т. д.,

то эти функции вместе с обозначают через, а

остальные выражения, которые стоят под знаком инте-

грала, - через .

Рассмотрим несколько примеров.

1.

2.

3.

=

Таким образом, в качестве мы можем выбирать функцию, от которой хорошо вычисляется интеграл, а в качестве- ту функцию или выражение, которые исчезает после дифференцирования.