3.4 Лабораторная работа № 6 Исследование астатических сар с последовательной коррекцией

Цель работы: Исследование и изучение динамических свойств и частотных характеристик астатических систем типа 2-1-2. Определение основных показателей качества САР с помощью программы компьютерного моделирования MATLAB.

Программы работы

1. Математическое моделирование

1. Теоретическая часть. Ознакомиться с принципом построения структурной схемы САР, определением передаточных функций, логарифмических частотных характеристик и динамических характеристик двухконтурной системы, построенной по симметричному оптимуму.

2. Определение параметров структурной схемы двухконтурной САР.

3. Создание модели двухконтурной астатической САР.

4. Исследование динамических свойств астатической САР с последовательной коррекцией при управляющем и возмущающем воздействиях по методу компьютерного структурного моделирования.

5. Аналитический расчёт переходных процессов в двухконтурных САР.

6. Частный анализ двухконтурной астатической САР с использованием пакета МАТLAB.

7. Построение асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ исследуемой системы.

2. Расчетная и графическая часть.

1. Представить цель и программу работы, содержание расчетно-экспериментальной части и моделирования.

2. Составить структурную схему двухконтурной системы, построенной по симметричному оптимуму, определить параметры модели САР.

3. Представить модель двухконтурной САР, построенной по симметричному оптимуму, с фильтром на входе системы и без нее.

4. Представить результаты исследования по методу структурного моделирования временных характеристик статической САР при задающем и возмущающем воздействиях в виде графиков и таблиц.

5. Представить результаты аналитического расчета временных характеристик сравнительно с характеристиками, полученными при моделировании САР.

6. По результатам расчетов переходных процессов определить прямые показатели качества САР, свести их в таблицу 6.1.

Таблица 6.1. Показатели качества САР

САР		Реакция на задающее воздействие				Реакция на возмущающее воздействие
		%				%
Без фильтра
С фильтром
C минимальным значением М

7. Построить частотные характеристики САР с использованием программы MATLAB.

8. Построить передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР при задающем и возмущающем воздействиях.

9. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ двухконтурной САР при задающем и возмущающем воздействиях.

10. Сделать выводы по работе.

3. Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Теоретическая часть.

Настройка системы подчинённого регулирования на модульный оптимум позволяет получить оптимальный переходный процесс с минимальным перерегулированием с максимальным быстродействием. Кроме того, указанная настройка обеспечивает астатизм системы по задающему воздействию. Однако, в таком случае возникает статическая ошибка регулирования, зависящая от внешнего возмущающего воздействия.

Для исключения этой ошибки необходимо изменить настройку системы. Обеспечить астатизм по возмущающему воздействию можно в двукратно-интегрирующей системе, настроенной по симметричному оптимуму. Передаточная функция регулятора внешнего контура в такой системе описывается выражением:

(6.1)

Внутренний замкнутый контур имеет такую же структуру и передаточную функцию как и в однократно-интегрирующей статической системе, настроенной по модульному оптимуму. Следовательно, внутренний замкнутый контур может быть аппроксимирован апериодическим звеном первого порядка с передаточной функцией:

(6.2)

В этом случае структурная схема двухконтурной САР может быть представлена схемой на рисунке 6.1.

Передаточная функция разомкнутой двукратно-интегрирую­щей САР для выходной величины y₂ при задающем воздействии имеет вид

(6.3)

Передаточная функция замкнутой САР

(6.4)

В соответствии с симметричной формой ЛАЧХ рассматриваемой системы, такой способ оптимизации получил название симметричного оптимума. При пропорционально-интегральной характеристике регулятора внешнего контура система становится двукратно-интегрирующей, обеспечивающей астатизм и по возмущающему воздействию.

Известно, что при постройке САР по симметричному оптимуму переходный процесс для выходной величины y₂ при скачке задающего воздействия g=y_з.2. характеризуется значительным перерегулированием, составляющим σ%=43,4%

Для улучшения динамических свойств таких систем при приложении задающего воздействия обычно на входе САР устанавливается дополнительный фильтр с передаточной функцией

.

Структурная схема такой системы с дополнительным фильтром на входе приведена на рисунке 6.2.

Рис. 6.1 Структурная схема системы настроенной по симметричному оптимуму без фильтра

Рис. 6.2 Структурная схема системы настроенной по симметричному оптимуму с фильтром

Имеется другой вариант выбора регулятора внешнего контура, когда в системе обеспечивается минимальный показатель колебательности. В этом случае передаточная функция регулятора имеет вид

.

2. Создание модели двухконтурной астатической САР с последовательной коррекцией.

Создаются модели двухконтурной астатической САР, структурные схемы которой представлены на рис. 6.1 и 6.2. Для этого предварительно необходимо ознакомиться с общими сведениями по работе с пакетом MATLAB-Simulink и с порядком создания моделей в среде Simulink.

Параметры моделей звеньев САР устанавливаются в соответствии с параметрами структурной схемы, заданными преподавателем (см. Л.р. №4,5), либо заданным в задании на курсовую работу по ТАУ.

Представленная модель (рис.6.3) позволяет исследовать два варианта двухконтурной САР:

а) при отсутствии фильтра на входе САР;

б) при наличии фильтра на входе САР.

3. Расчёт переходных процессов САР по методу структурного моделирования

Рис 6.3 Структурная схема модели двухконтурной астатической САР

Расчёт переходных процессов в САР при оптимальной настройке регулятора производится при задающем g=1, воздействях для выходных величин:

1. y₁ и y₂ для системы без фильтра;

2. y_1ф и y_2ф для системы с фильтром на входе САР.

В связи с тем, что фильтр не оказывает влияние на реакцию системы при возмущающем воздействии, поэтому в данном случае переходный процесс рассматривается для выходных величин y_1в и y_2в.

Схема модели САР в этом случае будет иметь вид, представленный на рис. 6.3

Перед выполнением расчетов необходимо предварительно задать параметры расчета. Задание параметров расчета выполняется в панели управления меню Simulation/Configuration Parameters.

Для получения переходных процессов при управляющем воздействии необходимо установить конечное время равное 50T_μ (в данном примере 4 секунды)

Остальные параметры установить согласно рис. 6.4.

Рис 6.4 Параметры расчёта

Для формирования возмущающего воздействия используем блок Signal Builder. Время наброса нагрузки 50T_μ (в данном примере 50T_μ=4 с), конечное время 90T_μ (в данном примере 90T_μ=7,2 с), амплитуда возмущающего сигнала равна единице. С учётом всех этих параметров блок Signal Builder будет выглядеть так, как показано на рисунке 6.5.

Дважды щёлкнув по осциллографу (Scope) получаем следующие переходные функции по управляющему воздействию (T_к = 50T_μ) рис. 6.6.

Чтобы получить переходную функцию при возмущающем воздействии необходимо в меню Simulation/Configuration Parameters конечное время установить равное T_k = 90T_μ. Получаем переходные функции, представленные на рис. 6.7.

Необходимо исследовать и другой вариант настройки регулятора, обеспечивающей минимальный показатель колебательности. В этом случае передаточная функция регулятора внешнего контура имеет вид

(6.5)

Для исследования системы с «минимальным показателем колебательности» необходимо немного изменить вышеприведённую структурную схему. После корректировки она будет иметь вид, представленный на

рис 6.8.

Дальнейший порядок действий такой же как и в предыдущем случае. Сначала необходимо снять переходные процессы при управляющем воздействии (Tк = 50Tμ), а затем при возмущающем воздействии (Tk = 90Tμ). Получим переходные процессы, представленные на рисунках 6.9 и 6.10.

Рис. 6.5 Параметры блока Signal Builder

4. Аналитический расчет переходных процессов

Выражения для переходных функций могут быть получены [6] с помощью обратного преобразования Лапласа.

Переходная функция по управляющему воздействию системы, когда выходной величиной является выход внешнего контура, без фильтра имеет вид:

(6.6)

и с фильтром:

(6.7)

Переходная функция по управляющему воздействию, когда выходной величиной является выход внутреннего контура, имеет вид:

; (6.8)

с фильтром:

. (6.9)

Рис. 6.6 Переходные функции при управляющем воздействии

Результаты аналитических расчетов переходных процессов при с. представлены в таблице 6.1

Таблица 6.1 Расчетные данные переходных процессов по управляющему воздействию

T	0	0,4	0,8	1,2	1,6	2	2,4	2,8	3,2	3,6	4
y2y	0	0,784	1,4	1,33	1,07	0,95	0,95	0,99	1,01	1,007	1,001
y2yф	0	0,168	0,64	0,995	1,081	1,037	0,99	0,986	0,995	1,001	1,002
y1y	0	2,154	0,464	-0,56	-0,46	-0,08	0,085	0,067	0,01	-0,01	-0,01
y1yф	0	0,848	1,04	0,458	-0,01	-0,12	-0,05	0,01	0,021	0,007	-0,001

Рис. 6.7. Переходные функции при возмущающем воздействии

Рис. 6.8 Структурная схема для моделирования переходных процессов с «минимальным показателем колебательности»

Рис. 6.9. Переходные функции при управляющем воздействии

с «меньшим показателем колебательности»

Рис. 6.10. Переходные функции при возмущающем воздействии с «меньшим показателем колебательности»

Рис. 6.11. Переходные процессы при управляющем воздействии

Передаточная функция по возмущению будет одинаковой как для системы с фильтром, так и для системы без фильтра, т.к. фильтр не влияет на систему при возмущающем воздействии. Это справедливо как для внешнего, так и для внутреннего контуров.

Переходная функция по возмущающему воздействию, когда выходной величиной является выход внешнего контура, имеет вид:

(6.10)

Переходная функция по возмущающему воздействию, когда выходной величиной является выход внешнего контура, имеет вид:

(6.11)

Расчеты переходных процессов по возмущающему воздействию представлены в таблице 6.2.

Таблица 6.2 Расчеты переходных процессов по возмущающему

воздействию

t	4	4,4	4,8	5,2	5,6	6	6,4	6,8	7,2
y2в	1	0,69	0,762	0,945	1,034	1,031	1,005	0,994	1
y1в	0	0,784	1,403	1,329	1,068	0,945	0,955	0,993	1

Рис. 6.12 Переходные процессы при возмущающем воздействии

5. Частотный анализ двухконтурной астатической САР с использованием пакета MATLAB.

1. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых систем САР по управляющему воздействию

Логарифмические частотные характеристики (диаграммы Боде) могут быть получены с использованием пакета MATLAB.

В соответствии с этими методами предварительно составляется передаточная функция разомкнутой САР для выходной величины y₁ и y₂ при задающем и возмущающем воздействиях. Для этого используются структурные схемы САР, представленные на рис. 6.1 и 6.3.

Логарифмические частотные характеристики САР при управляющем воздействии имеют следующий вид. Рассматривается пример САР со следующими исходными данными: T_μ=0.08c, T₀₁=0.16c, T₀₂=0.88c, K_ф=9, K₀=4.

Для выходной величины внешнего контура y₂:

- для схемы без фильтра

(6.12)

- для схемы с фильтром

(6.13)

Для выходной величины y1 внутреннего контура:

- для схемы без фильтра

(6.14)

- для схемы с фильтром

(6.15)

Расчёт логарифмических частотных характеристик с использованием пакета MATLAB производится в следующем порядке.

Для выходной величины внешнего контура создадим LTI- объект:

>> w1=tf([0.64 1],[0.0327 0.2048 0 0]) (без фильтра)

Transfer function:

0.64 s + 1

-----------------------

0.0327 s^3 + 0.2048 s^2

>> w2=tf([1],[0.0327 0.2048 0.64 1]) (с фильтром)

Transfer function:

1

------------------------------------

0.0327 s^3 + 0.2048 s^2 + 0.64 s + 1

>>bode(w1,w2)

Для выходной величины внутреннего контура создадим LTI-объект

>> w3=tf([0.5632 1],[0.0327 0.2048 0 ]) (без фильтра)

Transfer function:

0.5632 s + 1

---------------------

0.0327 s^2 + 0.2048 s

>> w4=tf([0.88 0],[0.0327 0.2048 0.64 1 ]) (с фильтром)

Transfer function:

0.88 s

------------------------------------

0.0327 s^3 + 0.2048 s^2 + 0.64 s + 1

>> bode(w3,w4)

Рис. 6.13 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых систем САР по

управляющему воздействию для внешнего контура

Для выходной величины внутреннего контура

(6.16)

Для системы с минимальными показателями колебательности

(6.17)

Расчёт ЛАЧХ и ЛФЧХ производится в следующем порядке.

Для выходной величины внешнего контура создадим LTI- объект

>> w2=tf([1],[0.0327 0.2048 0.64 1]) (с фильтром)

Transfer function:

1

------------------------------------

0.0327 s^3 + 0.2048 s^2 + 0.64 s + 1

>> w5=tf([1],[0.88 0]) (без фильтра)

Transfer function:

1

------

0.88 s

>> bode(w2,w5)

Рис. 6.14 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых систем САР по

управляющему воздействию для внутреннего контура

Для выходной величины внутреннего контура создадим LTI- объект

>> w4=tf([0.88 0],[0.0327 0.2048 0.64 1 ]) (с фильтром)

Transfer function:

0.88 s

------------------------------------

0.0327 s^3 + 0.2048 s^2 + 0.64 s + 1

Рис. 6.15 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР по возмущающему

воздействию для внешнего контура

>> w6=tf([0.64 1],[0.0327 0.2048 0 0]) (без фильтра)

Transfer function:

0.64 s + 1

-----------------------

0.0327 s^3 + 0.2048 s^2

Рис. 6.16 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР по возмущающему

воздействию для внутреннего контура

Для системы с минимальным показателем колебательности создадим LTI – объект

>> w7=tf([0.64 1],[0.0262 0.1638 0 0])

Transfer function:

0.64 s + 1

-----------------------

0.0262 s^3 + 0.1638 s^2

>>

6. Построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ двухконтурной астатической САР, настроенной по симметричному оптимуму. Определить частотные показатели качества системы регулирования.

7. Определить прямые и косвенные показатели качества САР при управляющем воздействиях, при наличии и отсутствии фильтра на входе САР, при обеспечении минимального показателя колебательности.

Полученные показатели качества представить в виде таблицы 6.3

Пакет MATLAB позволяет по ЛАЧХ определить запас по фазе и запас по амплитуде, на рис. 6.18 показан пример определения запаса по фазе. Это осуществляется следующим образом после построения ЛАЧХ:

• по белому полю нажать правую кнопку мыши и выбрать

Charactristics \ all stability margins

поставить галочки на против каждой строчки и получим запас по амплитуде и фазе.

Рис. 6.17 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САР с минимальным

показателем колебательности

Таблица 6.3. Показатели качества асимптотической САР

	Координата	Реакция на задающее воздействие					Реакция на возмущающее воздействие
		%	с				%	с
САР без фильтра	y2 y1
САР с фильтром	y2ф y1ф
САР с min колебател	y2м y1м

Рис. 6.18 Определение запаса по фазе

Выявить связь между прямыми показателями качества и частотными характеристиками.

Сделать выводы по работе.