5. Построение эпюр внутренних силовых факторов в статически определимых балках

Для построения эпюр применяют следующие методы.

1. Аналитический – записываются аналитические выражения М, Q и N по участкам, анализируются и результаты анализа изображаются графически.

2. Упрощенный аналитический – используются дифференциальные зависимости при изгибе (теорема Журавского, правило акробата).

3. Графический.

4. Графоаналитический.

В данной работе мы будем рассматривать только аналитический метод построения эпюр.

5.1. Центральное растяжение – сжатие

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N.

Рассмотрим случай осевого растяжения когда внешние силы действуют по центральной оси стержня.

Задача 1

Дан стержень, к которому по центральной оси приложены активные силы Р = 2 Н и Р₂ = 8 Н (рис. 22). Построить эпюру внутренних продольных сил N. Провести анализ полученного решения.

1. Перед построением эпюр необходимо определить реакцию опор в системе.

На расчетной схеме в точке опоры проставляем реакцию опоры R.

Так как система находится в покое, то сумма всех сил (активных и пассивных) равна нулю.

Проецируем внешние силы на ось х.

ΣF_x =0, следовательно,

R + Р₂ - Р =0, откуда

R= Р - Р_2.

R = - 8 Н – знак минус показывает, что направление реакции опоры выбрано неверно. На расчетной схеме перечеркиваем направление реакцию опоры и направляем ее в противоположную сторону. На расчетной схеме не может быть отрицательных значений силовых факторов, только их направления.

2. Переходим к построению эпюры продольной силы N.

Для этого разбиваем систему на участки по месту приложения сил. Участки обозначаем римскими цифрами (см. рис. 22).

Как уже отмечалось выше, провести прямой замер внутренних сил в большинстве случаев невозможно. Поэтому расчет распределения и интенсивности внутренних сил производят путем выражения через внешние. То есть распределение и интенсивность внутренних сил зависит от величены и расположения внешних. Для установления данной взаимосвязи используют метод сечений РОЗУ.

Выполнение действий при нахождении искомой зависимости распределения внутренних усилий производится по первым буквам данного правила.

Р – разрезаем. Производим разрез на I участке (см. рис. 22).

O – отбрасываем. Отбрасываем левую или правую часть балки от разреза. Оставшуюся часть покажем на рис.23. Длина этого участка неизвестна, обозначим ее через z.

З - Замещаем. Замещаем внутренние силы внешними. Т.е. к внутренней силе N приравниваем все видимые на оставленной части (рис. 23) внешние силы.

N= Р₂

У - уравновешиваем. Проставляем знаки внешних сил.

Правило знаков. Если внешняя сила растягивает отсеченную часть относительно разреза, то при определении продольной силы N она считается положительной.

В нашем случае сила Р₂ растягивает отсеченную часть (см. рис. 23). Следовательно, полученное нами аналитическое уравнение зависимости внутренней силы N от внешних нагрузок имеет вид

N= + Р₂ = 8 Н.

График – прямая, параллельная нейтральной оси. Покажем график на первом участке рис. 22.

Аналогично произведем расчет второго участка.

Разрезаем участок II, отбрасываем любую из частей (в данном случае мы отбросили правую). Оставшуюся часть покажем на рис. 24. Заменяем внутреннюю силу N внешними силами, видимыми на оставленном участке (см. рис. 24)

N= R,

и уравновешиваем

N= +R=6.

График – прямая, параллельная нейтральной оси. Покажем график на втором участке рис. 22.

Анализ полученного решения. Рассматривая построенную эпюру (см. рис. 22), мы видим, что стержень подвержен только деформациям от растяжения. В системе нет ярко выраженного опасного сечения. Наиболее опасным следует считать участок I, так как в нем распределена наибольшая продольная сила N. На всем протяжении этого участка возможно разрушение стержня (внутренние силы по всей длине участка распределены равномерно).

Задача 2

Дан стержень, к которому по оси приложены нагрузки Р = 2Н, Р₂ = 8 Н и распределенная нагрузка интенсивностью q = 6 Н/м (рис. 25). Построить эпюру продольных сил N. Провести анализ полученного решения.

Для облегчения расчетов существует следующее правило: при построении эпюр в консольных балках или рамах, нахождение реакций опор необязательно, однако при применении правила РОЗУ всегда отбрасываем ту часть системы, которая консольнольно закреплена, т.е. система рассматривается с противоположного защемлению (свободного) конца стержня.

Из правила следует, что рассматривать систему следует так, что бы реакции опор не входили в полученные уравнения.

Пользуясь данным правилом при решении задачи, переходим сразу к нахождению эпюр.

Для этого разбиваем систему на участки по месту приложения сил. Участки обозначаем римскими цифрами I и II (см. рис. 25).

Участок I

Применим метод РОЗУ. Разрезаем участок I, отбрасываем обязательно левую часть (так как реакции опоры мы не находили, то, пользуясь правилом, систему можно рассматривать только со свободного конца). Оставшуюся часть покажем на рис. 26.

Заменяем внутреннюю силу N внешними силами, видимыми на оставленной части балки (рис. 26), при этом, чтобы найти усилие от равномерно распределенной нагрузки, нужно интенсивность этой нагрузки q умножить на длину видимого участка ее распределения.

Из рис. 26 мы видим, что равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q распределена на участке 4 м. Следовательно, усилие от этой нагрузки составляет F_q=q•4. Внутренняя продольная сила N будет равна всем видимым силам на оставленной части системы (см. рис. 26).

Получим

N= P P₂ F_q = P P₂ q•4..

Уравновешиваем

N= -P +P₂ - q•4= -18 Н.

График – прямая, параллельная нейтральной оси. Покажем график на первом участке рис. 25.

Участок II

Разрезаем участок II, т.к. реакцию опоры не находим, то отбрасываем обязательно левую часть. Оставшуюся часть покажем на рис. 27.

Заменяем внутреннюю силуN внешними силами, видимыми на оставленной части балки (рис. 27). После разреза длина оставшегося участка II неизвестна, обозначим ее через z. Следовательно, усилие F_q от равномерно распределенной нагрузки (в соответствии с правилом) будет равно произведению интенсивности на длину видимого участка распределения, т.е. F_q = q•z. А внутренняя продольная сила N будет равна

N= P₂ F_q =P₂ q•z.

Уравновешиваем

N= +P₂ - q•z.

График – наклонная прямая. Для построения графика необходимо знать две точки. Так как протяженность участка 4 м, то рассматриваем уравнение при z=0 м и z=4 м.

N= +P₂ - q•z = 8 - 6z;

z=0 м N=8 Н;

z=4 м N=-16 Н.

Построим график на втором участке рис. 25.

Анализ полученного решения. Исходя из построенных эпюр мы видим, что стержень подвержен деформациям как от растяжения? так и от сжатия (см. рис. 25). При изготовлении балки из пластичных материалов наиболее опасным следует считать участок I, так как в нем распределена наибольшая внутренняя продольная сила N, а пластичные материалы одинаково работают как на растяжение, так и на сжатие. На всем протяжении этого участка возможны недопустимые неупругие деформации стержня.

При изготовлении балки из хрупких материалов, в зависимости от их вида, разрушение может произойти как от деформации при растяжении в точке приложения силы P₂, так и от деформации от сжатия на всем протяжении I участка (см. рис. 25).

Для самопроверки, (на рис. 28). представим несколько вариантов расчетных схем по определению внутренней продольной силы N, с построенными эпюрами.