Контрольная работа по теории вероятностей

1.2. Сколько различных автомобильных номеров, состоящих из трёх цифр и трёх букв, можно составить при условии, что буквы и цифры не повторяются (буквы ь, ъ, ы, ё, й исключить)?

Решение

Число n₁ способов выбора трех разных цифр из 10 всех цифр (с учетом порядка выбора) равно числу размещений из 10 по 3:

n₁ = = = = = 8·9·10 = 720

Число n₂ способов выбора трех разных букв из 28 разрешенных букв (с учетом порядка выбора) равно числу размещений из 28 по 3:

n₂ = = = = 26·27·28 = 19656

Число N всех требуемых номеров:

N = n₁·n₂ = 720·19656 = 14152320

Ответ: N = 14152320

2.2. Слово «статистика» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки тщательно перемешивают и из них извлекают по очереди: а) три карточки. Какова вероятность того, что в порядке извлечения получится слово «кит»; б) 10 карточек. Какова вероятность появления слова «статистика»?

Решение

Слово «статистика» состоит из 10 букв: 2 – а, 2 – и, 1 – к, 2 – с, 3– т.

Имеем схему извлечения букв без возвращения.

а) слово «кит»:

вероятность извлечения буквы «к» равна Р(к) = 1/10. Остается 9 букв.

вероятность извлечения буквы «и» равна Р(и/к) = 2/10. Остается 8 букв.

вероятность извлечения буквы «т» равна Р(т/ки) = 3/8.

Получим вероятность слова «кит»:

Р(кит) = Р(к)·Р(и/к)·Р(т/ки) = = =

б) слово «статистика»:

Р(статистика) = Р(с)·Р(т/с)·Р(а/ст)·Р(т/ста)·Р(и/стат)·Р(с/стати)·Р(т/статис)·

·Р(и/статист)·Р(к/статисти)·Р(а/статистик) =

= = = =

Ответ: Р(кит) = ; Р(статистика) =

3.2. Служащий кредитного отдела банка знает, что 15% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 30% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то какова вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?

Решение

Из условия следует, что из 30% обанкротившихся фирм 15 фирм не вернут кредиты по крайней мере в течение 5 лет, а остальные 15% вернут кредиты в течение 5 лет.

Пусть А – событие, состоящее в том, что клиент окажется не в состоянии вернуть долг банку, В – событие, состоящее в том, что клиент обанкротился. По условию имеем вероятность события В: Р(В) = 30/100 = 0,3,

Р(АВ) = 15/100 = 0,15.

Используем формулу Р(АВ) = Р(В)·Р(А/В),

где Р(А/В) – вероятность события А при условии свершения события В.

Отсюда Р(А/В) = = = 0,5

Ответ: Р(А/В) = 0,5

4.2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 80% деталей отличного качества. 1) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется отличного качества. 2) Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом?

Решение

Пусть А – событие: деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы:

В₁ – деталь произведена первым автоматом. Тогда , так как этот автомат производит по условию деталей в 2 раза больше второго.

В₂ – деталь изготовлена вторым автоматом, причем .

Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом, по условию: Р(А/В₁) = 0,60, , а вторым – Р(А/В₁) = 0,80.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности:

.

Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым автоматом, по формуле Байеса:

P(B₁/A) = .

Ответ: P(B₁/A) = 0,6

5.2. Вероятность того, что малое предприятие обанкротится в течение года равна 0,3. Найти вероятность того, что в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится: а) два предприятия; б) не более двух предприятий.

Решение

Пусть А – событие, заключающееся в том, что предприятие не обанкротится в течение года. Число m таких событий для n малых предприятий подчиняется биномиальному распределению вероятности события А:

p_n(m) = = ,

где р = 1–0,3 = 0,7 – вероятность осуществления события А,

q = 1–p = 1–0,7 = 0,3 – вероятность противоположного события: малое предприятие обанкротится в течение года.

а) Найдем вероятность того, что в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится ровно два предприятия. Тогда m = 2.

P₆(2) = = = =

= = 15·0,003969 = 0,059535;

б) Для нахождения вероятности P₆(m ≤ 2) того, в течение года из 6 малых предприятий не обанкротится не более двух предприятий, вычислим вероятности Р₆(0), Р₆(1), Р₆(2), и тогда Р = P₆(m ≤ 2) = P₆(0) + P₆(1) + P₆(2)

P₆(0) = = = = 0,000729

P₆(1) = = = = 6·0,001701 =

= 0,010206

P₆(m ≤ 2) = P₆(0) + P₆(1) + P₆(2) = 0,000729+0,010206+0,0595535 = 0,0704885

Ответ: Р = P₆(m ≤ 2) = 0,0704885

6.2. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. рублей. Найти вероятность того, что среди 2000 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) 300 банков; б) от 300 до 400 включительно.