Вопрос 1.

Множество. Операции над множествами.

Множество – это некоторая совокупность элементов некоторой природы.

(A, B, G, D, …) – множества.

(a, b, g, d, …) – элементы.

A = {a}, aA.

AB = {xA, xB и только из них} – пересечение.

AB = {или xA, или xB, или и A и B и только из них} – объединение.

A\B = {xA  xB и только из них}

Вопрос 2.

Действительные числа. Система аксиом действительных чисел.

Рихард Юриус Вильгельм Дедекинд (1831-1916) создал систему аксиом:

Множество R называется множеством действительных чисел, если для элементов из R справедлива следующая система аксиом.

1. Аксиомы сложения.

Для любой пары xR и yR определена операция (x+y)R со свойствами:

1. 0R: xR x+0 = 0+x = x (существование нейтрального числа)

2. xR (-x)R, x+(-x) = (-x)+x = 0 (существование противоположного элемента)

3. xR, yR, zR (x+y)+z = x+(y+z) (сочетательное или ассоциативное свойство)

4. xR, yR x+y = y+x (коммутативное свойство)

2. Аксиомы умножения

Для любой пары xR и yR определена операция (x*y)R со свойствами:

1. 1R xR\{0} x*1 = 1*x = x (существование нейтрального числа)

2. xR\{0} x^-1 (x^-1)*x = x*(x^-1) = 1

3. xR\{0}, yR\{0}, zR\{0} (x*y)*z = x*(y*z)

4. xR\{0}, yR\{0} x*y = y*x

1,2. xR, yR, zR (x+y)*z = x*z + y*z (дистрибутивность)

3. Аксиомы порядка.

Для любой пары xR и yR справедливо только одно из утверждений: или xy, или xy.

1. xR xx

2. {{xy}{yx}}  {x=y}

3. {{xy}{yz}}  {xz}

2,3. xR, yR {{0<x}{0<y}}  {0x*y}

1,3. xR, yR, zR {xy}  {x+y  y+x}

4. Аксиома полноты (непрерывности)

XR, YR, zX, yY, {yx} {cR: xcy xX, yY}

Вопрос 3.

Абсолютная величина числа и её свойства.

Пусть  положительное число, тогда неравенство |x| и -x равносильно.

Абсолютная величина сумм двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел: |x+y||x|+|y|

Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел: |x-y||x|-|y|.

Для любых чисел x и y имеет место соотношение: |x*y| = |x|*|y| и |x/y| = |x|/|y| (y0).

Вопрос 4.

Комплексные числа в алгебраической форме и действия над ними.

Необходимость введения комплексных чисел возникла при решении задач, сводящихся к решению уравнения вида x² = a; a<0.

В процессе решения задач такого рода было введено новое число i, обладающее свойствами i² = -1.

Примем без доказательств, что можно ввести так называемые комплексные числа, такие что присоединив их к уже известным нам действительным числам, получим множество чисел, над которыми можно по обычным правилам выполнять арифметические действия и кроме того среди новых чисел будет присутствовать число i, обладающее вышеуказанными свойствами.

Определение: числа вида z = a + bi, где a и b – два действительных числа, называют комплексными. Число a называют действительной частью, bi – мнимой частью, b – коэффициент при мнимой части, i – мнимая единица.

Два комплексных числа

z₁ = a₁ + b₁i

z₂ = a₂ + b₂i

считаются равными т. т. т. когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a₁=a₂; b₁=b₂.

Если a=0, то к/ч z = a + bi обращается в чисто мнимое число z = bi.

Если b=0, то к/ч z = a + bi становится действительным числом равным a.

Т. о. все действительные числа, а также чисто мнимые числа являются подмножеством множества к/ч C.

Способ записи к/ч в виде z = a + bi называется алгебраической формой к/числа.

Примечание:

1. С помощью мнимой единицы может быть выражен квадратный корень из отрицательного числа:-4 = 4-1 = 2i

2. Введение к/ч делает возможным решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Определение: сопряжённый к/числу z = a + bi называется числоz = a – bi, т. е. два сопряжённых числа отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Действия над к/ч-ми в алгебраической форме.

Определение: суммой двух ч/чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется к/число, действительная часть которого равна сумме действительных частей слагаемых, а мнимая – сумме мнимых частей: z₁+z₂ = a+c+(b+d)i.

Определение: разностью двух к/чисел z₁ и z₂ называется к/ч, действительная часть которого равна разности действительных частей z₁ и z₂, а мнимая – разности их мнимых частей: z₁-z₂ = a-c+(b-d)i.

Определение: произведение двух к/чисел z₁ и z₂ называется к/ч полученное по правилу умножения обычных многочленов, в полученном результате i² заменяется на (-1) и отделяется действительная часть от мнимой: z₁*z₂ = (a+bi)(c+di) = ac+adi+bdi²+bci = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i .

Определение: Частное двух к/ч z₁ и z₂ называется к/ч, полученное умножением числителя и знаменателя дроби на число сопряжённое знаменателю: (a+bi)/(c+di) =

(a+bi)(c-di)/(c²+di²) = (ac+bd+(bc-ad)i)/(c²+d²)

Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i²=(-1) легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы:

i¹ = i i⁵ = i

i² = (-1) i⁶ = (-1)

i³ = i²i = (-i) i⁷ = (-i)

i⁴ = 1 i⁸ = 1

и т. д.…

Легко увидеть, что значение степени iⁿ, где n- целое положительное число, периодически повторяются при увеличении показателя на 4, поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

i⁴ⁿ⁺¹ = i i⁴ⁿ⁺³ = -i

i⁴ⁿ⁺² = -1 i⁴ⁿ = 1