Расчет коэффициента автокорреляции шестого порядка для временного ряда

t	уt	уt-2	уt – ӯ3	уt-2 – ӯ4	( уt – ӯ3)· ( уt-2 – ӯ4)	( уt – ӯ3)²	(уt-2 – ӯ4)²
1	428
2	496
3	444
4	492
5	568
6	489
7	572	428	-49,83333333	-127,6666667	6362,055556	2483,361111	16298,77778
8	645	496	23,16666667	-59,66666667	-1382,277778	536,6944444	3560,111111
9	569	444	-52,83333333	-111,6666667	5899,722222	2791,361111	12469,44444
10	630	492	8,166666667	-63,66666667	-519,9444444	66,69444444	4053,444444
11	696	568	74,16666667	12,33333333	914,7222222	5500,694444	152,1111111
12	639	489	17,16666667	-66,66666667	-1144,444444	294,6944444	4444,444444
13	694	572	72,16666667	16,33333333	1178,722222	5208,027778	266,7777778
14	763	645	141,1666667	89,33333333	12610,88889	19928,02778	7980,444444
15	705	569	83,16666667	13,33333333	1108,888889	6916,694444	177,7777778
16	757	630	135,1666667	74,33333333	10047,38889	18270,02778	5525,444444
17	835	696	213,1666667	140,3333333	29914,38889	45440,02778	19693,44444
18	771	639	149,1666667	83,33333333	12430,55556	22250,69444	6944,444444
	11193	6668	814	4,54747E-13	77420,66667	129687	81566,66667
	621,833	555,666
						2840,11866	2878,64595
					0,6025778

Составляем и изображаем кореллограмму

0,5945337	0,6945721	0,2903094	0,9995397	0,4592547	0,6025778

Вывод: Наибольшее значение коэффициента автокорреляции, ряд содержит циклические колебания с периодом 4

2. Построим аддитивную модель

В примере 5.2 было показано, что данный временной ряд со­держит сезонные колебания периодичностью 4. По гра­фику ряда можно установить наличие приблизи­тельно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о воз­можном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето­дом скользящей средней. Для этого:

1. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 5.8);

1. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл.5.8). Отметим, что полученные таким образом вы­равненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

2. приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних — центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 5.8).

Таблица 5.8

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

№ квартала t		Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	428
2	496
3	444	1860	465	482,5	-38,5
4	492	2000	500	499,125	-7,125
5	568	1993	498,25	514,25	53,75
6	489	2121	530,25	549,375	-60,375
7	572	2274	568,5	568,625	3,375
8	645	2275	568,75	586,375	58,625
9	569	2416	604	619,5	-50,5
10	630	2540	635	634,25	-4,25
11	696	2534	633,5	649,125	46,875
12	639	2659	664,75	681,375	-42,375
13	694	2792	698	699,125	-5,125
14	763	2801	700,25	715	48
15	705	2919	729,75	747,375	-42,375
16	757	3060	765	766	-9
17	835	3068	767	383,5	451,5
18	771

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными сколь­зящими средними (гр. 6 табл. 5.8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компонентыS(табл. 5.9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезон­ной компонентыS_t. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 5.9.

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели	Год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
центрированные сколь­зящие средние	1			-38,5	-7,125
	2	53,75	-60,375	3,375	58,625
	3	-50,5	-4,25	46,875	-42,375
	4	-5,125	48	-42,375	-9
	5	451,5
	6
Итого за i-й квартал (за все годы)		449,625	-16,625	-30,625	0,125
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		112,40625	-5,54167	-7,65625	0,03125
Скорректированная сезонная компонента,		87,596354	-30,35156	-32,46614	-24,7786

Для данной модели имеем:

112,406-5,541-7,656+0,0312=99,239

Определим корректирующий коэффициент:

k=99,239/ 4 = 24,809

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

где i= 1: 4

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

87,596354-30,35156-32,46614-24,7786= 0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: = 87,59;

II квартал: S₂= -30,35;

III квартал: S₃ = -32,46;

IV квартал: S₄ = - 24,77.

Занесем полученные значения в табл. 5.9 для соответствую­щих кварталов каждого года (стр. 3).

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычи­тая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величиныТ + Е= Y— S (гр. 4 табл. 5.10). Эти значениярассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 5.10

Расчет выравненных значений T и ошибок Е в аддитивной модели

t	уt	Sί	T+E= уt-Sί	T	T+S	E= уt -(T+E)	E2	( уt-ӯt)2
1	428	87,59	340,41	388,775848	476,366	-48,36584795	2339,255248	37571,36111
2	496	30,35	465,65	410,8439181	441,194	54,80608187	3003,70661	15834,02778
3	444	32,46	411,54	432,9119883	465,372	-21,3719883	456,7618841	31624,69444
4	492	24,77	467,23	454,9800585	479,75	12,24994152	150,0610673	16856,69444
5	568	87,59	480,41	477,0481287	564,638	3,361871345	11,30217894	2898,027778
6	489	30,35	458,65	499,1161988	529,466	-40,46619883	1637,513248	17644,69444
7	572	32,46	539,54	521,184269	553,644	18,35573099	336,9328603	2483,361111
8	645	24,77	620,23	543,2523392	568,022	76,97766082	5925,560265	536,6944444
9	569	87,59	481,41	565,3204094	652,91	-83,91040936	7040,956798	2791,361111
10	630	30,35	599,65	587,3884795	617,738	12,26152047	150,3448842	66,69444444
11	696	32,46	663,54	609,4565497	641,917	54,08345029	2925,019596	5500,694444
12	639	24,77	614,23	631,5246199	656,295	-17,29461988	299,1038769	294,6944444
13	694	87,59	606,41	653,5926901	741,183	-47,18269006	2226,206241	5208,027778
14	763	30,35	732,65	675,6607602	706,011	56,98923977	3247,773449	19928,02778
15	705	32,46	672,54	697,7288304	730,189	-25,18883041	634,4771774	6916,694444
16	757	24,77	732,23	719,7969006	744,567	12,43309942	154,5819611	18270,02778
17	835	87,59	747,41	741,8649708	829,455	5,54502924	30,74734927	45440,02778
18	771	30,35	740,65	763,9330409	794,283	-23,28304094	542,0999952	22250,69444
сумма	11193	818,62	10374,38				31112,4	252116,5
среднее	621,833

Шаг 4. Определим компонентуTданной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T+ Е) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие данные:

Константа 366,707

Коэффициент регрессии 22,068

Стандартная ошибка свободного члена 5,148651

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,360331

R-квадрат 0,999717

F-критерий 77632,25

Число степеней свободы 22

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

T=366,707+22,068t

Подставляя в это уравнение значения t=1, …, 16 найдем уровниTдля каждого момента времени (гр. 5 табл. 5.10.) График уравнения тренда приведен на рис. 5.2 1 ряд фактические значения, 2 ряд –T+E, 3 ряд –T+S

Шаг 5.Найдем значения уровней ряда, полученные по адди­тивной модели. Для этого прибавим к уровнямTзначения сезон­ной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т+S) представлены на рис. 5.2.

Шаг 6.В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формулеE=Y– (T+S)

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр. 7 табл. 5.10.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества пост­роения модели или для выбора наилучшей модели можно приме­нять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для дан­ной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 366,707. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 252116,5 , эта величина составляет0,12340 или 1,234%.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объяс­няет 98,766% общей вариации уровней временного ряда.

28