Министерство образования и науки Российской Федерации

Комитет общего и профессионального образования Ленинградской области

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ленинградской области

« Ленинградский государственный университет имени А.С.Пушкина »

Экономический факультет

Кафедра прикладной экономики

Контрольная работа по курсу

Эконометрика

Выполнил

Студент 2 курса, гр ЭУС 2-10

Заочного факультета

Специальность Экономист – менеджер

Ф.И.О. Леонтьева А. дата отправления работы_________

Домашний адрес________________

______________________________

Проверил

Преподаватель Кисляков Н.И.

Луга

2012

Контрольная работа.

№ зачетной книжки – 5748

m = 3 ; n = 2

Задание 1Дана зависимостьy=f(x) в табличной форме дляm=3

x	y	x	y
1	46+m	11	70+m
3	59+m	13	81+m
10	64+m	20	124+m
4	48+m	14	92+m
5	49+m	15	95+m
6	59+m	16	100+m
9	78+m	19	98+m
7	59+m	17	90+m
8	71+m	18	105+m
2	45+m	12	77+m

Требуется:

1. Расположить данные по возрастанию фактора X. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о наличии связиXиY, ее форме и направлении

2. Для характеристики зависимости yотxрассчитать параметры следующих регрессий линейной регрессии без использования программы ЛИНЕЙН пакетаExcel. Оцените тесноту связи по коэффициенту корреляциии детерминациии надежность уравнения поF-критерию Фишера для уровня значимости=0.05. Рассчитайте и постройте линию регрессии на корреляционном поле, вычислите среднюю ошибку аппроксимациии оцените ее величину.

4. С помощью программы «ЛИНЕЙН» пакета Excelрассчитайте параметры и постройте линии регрессии

а) линейной регрессии;

б) параболической,

в) кубической параболы

г) степенной;

д) показательной;

5. Оценить каждую модель по показателям корреляции () и коэффициенту детерминации () и выберите лучшую.

6. Рассчитайте по лучшему уравнению регрессии прогнозное значение для прогнозного значенияx=1.06и оцените границы доверительного интервала при=0,05

Решение

1. Данная зависимость y=f(x) в упорядоченном поXвиде представлена в таблице 2 а корреляционное поле представлено на рис 1.

таблица 2

x	y	x	y
1	49	11	73
2	48	12	80
3	62	13	84
4	51	14	95
5	52	15	98
6	62	16	103
7	62	17	93
8	74	18	108
9	81	19	101
10	67	20	127

Рис. 1

Рассмотрим построение уравнения прямой:

,

отражающей линейную форму зависимости результата Yот фактораX.

1. Расчет неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных bиm. Для расчета исполь­зуем систему уравнений и решение по методу Крамера

(1)

	х	у	ху	х²	у²	ŷᵪ	( у-ŷᵪ)²	(у-ӯ)²	(х-ẋ)²
1	1	49	49	1	2401	44,3	22,09	870,25	90,25	0,51087
2	2	48	96	4	2304	47,9	0,01	930,25	72,25	0,011111
3	3	62	186	9	3844	51,5	110,25	272,25	56,25	0,889831
4	4	51	204	16	2601	55,1	16,81	756,25	42,25	0,427083
5	5	52	260	25	2704	58,7	44,89	702,25	30,25	0,683673
6	6	62	372	36	3844	62,3	0,09	272,25	20,25	0,025424
7	7	62	434	49	3844	65,9	15,21	272,25	12,25	0,330508
8	8	74	592	64	5476	69,5	20,25	20,25	6,25	0,316901
9	9	81	729	81	6561	73,1	62,41	6,25	2,25	0,50641
10	10	67	670	100	4489	76,7	94,09	132,25	0,25	0,757813
11	11	73	803	121	5329	80,3	53,29	30,25	0,25	0,521429
12	12	80	960	144	6400	83,9	15,21	2,25	2,25	0,253247
13	13	84	1092	169	7056	87,5	12,25	30,25	6,25	0,216049
14	14	95	1330	196	9025	91,1	15,21	272,25	12,25	0,211957
15	15	98	1470	225	9604	94,7	10,89	380,25	20,25	0,173684
16	16	103	1648	256	10609	98,3	22,09	600,25	30,25	0,235
17	17	93	1581	289	8649	101,9	79,21	210,25	42,25	0,494444
18	18	108	1944	324	11664	105,5	6,25	870,25	56,25	0,119048
19	19	101	1919	361	10201	109,1	65,61	506,25	72,25	0,413265
20	20	127	2540	400	16129	112,7	204,49	2352,25	90,25	0,576613
итого	210	1570	18879	2870	132734		870,6	9489	665	7,67436
среднее значение	10,5	78,5	943,95	143,5	6636,7
дисперсия	х	у	ху	х²	у²			474,45	33,25
СКО								21,7818	5,76628

Расчетные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме зна­чений yиx, вошли,,, а также их итоговые значения, средние, среднеквадратические отклонения и дисперсии дляyиx(табл. 3)

Таблица 3

Значения определителей

∆ = n∑x² ­- (∑x)² = 20·2870-210² = 13300

∆ m= n∑xу ­- ∑x∑у = 20·18879-210·1570=377580-329700=47880

∆b=∑x²∑у - ­∑x∑xу= 2870·1570-210·18879=4505900-3964590=541310

Расчет параметров уравнения регрессии дает следующие результаты

b= ∆b/ ∆ = 541310 / 13300 = 40,7

m= ∆m/ ∆ = 47880 / 13300 = 3,6

Теоретическое уравнение регрессии:

ŷᵪ = 40,7 + 3,6 · х

В уравнении коэффициент регрессии означает, что при увеличении фактораxна 1 переменнаяуувеличиваетсяединиц. (от своей средней) Свободный член уравнения= 40,7 оценивает влияние прочих факторов.

Относительную оценку силы связи дает общий (средний) коэффи­циент эластичности:

Ȳ= ƒ'(x) ẋ/ӯ =b· ẋ/ӯ = 3,6·10,5 / 78,5 = 0,48

2.2. Средний коэффициент эластичностипоказывает, что на 0,48 процента, в среднем по совокупности, изменится результатуот сво­ей средней величины при изменении фактораxна 1% от своего среднего значения

2.3. Дисперсии xиyопределяются по формулам

143,5-(10,5)² = 33,25

6636,7 - ( 78,5 ) = 474,45

Среднеквадратические отклонения

=5,76628,21,7818

2.4. Для оценки тесноты линейной связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: для линейной регрессии:

= - коэффициент (индекс) детерминации:

Линейный коэффи­циент парной корреляции =0,953 указывает на достаточно тесную линейную связь между x и y. Коэффициент детерминации устанавливает, что 90,83% вариации y обусловлено вариацией x. Остальные 8,17% обусловлены ролью остальных случайных факторов.

2.5. По уравнению регрессии рассчитаем теоретические зна­чения результата (), по ним строим теоретическую линию регрес­сии (см. рис.2) и определим среднюю ошибку аппроксимации

=7,67436% < 10%

Следовательно, качество уравнения регрессии достаточно хорошее.

Линейный ряд

у

у

=3,6х +40,7

R

х

х

²=0,9083 Рис. 2

2.6. F-тест - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезыо статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

:a=b==0

Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного)зна­ченийF-критерия Фишера.определяется из соотношения зна­чений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где n- число единиц совокупности;m- число параметров при переменных х.

Критерий показывает, что факторная вариация результата в 178,2 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под воздействием случайных факторов.

- это максимально возможное значение критерия под влия­нием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости. Уровень значимости, это вероятность отвергнуть пра­вильную гипотезу при условии, что она верна. Принимаем=0,05.F_Òàáë(a;k₁;k;)=F_Òàáë(0,05;m;n-m-1)=F_Òàáë(0,05;1;18)=4,41. Здесьm= 1 – число параметров приx.

Поскольку <, то- гипотеза о случайной природе оцени­ваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

^{3. Рассчитаем прогнозное значение результата f, если прогнозное значение фактора (x) составит 1,06 от среднего уровня .}

ŷᵪ = b + m·1,06·ẋ =40,7 + 3,6 · 1,06·10,5=80,768.,

То есть прирост фактора на 6 % приводит к приросту результата =80,768-78,5=2,268, что составит есть 2,268/78,5= 0,02889 или 2,889%.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза ,которая формиру­ется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата откло­нения прогноза от уравнения регрессиии ошибки прогноза положения регрессии. То есть

В нашем случае S²_Ỹ= ^{∑(у - ŷᵪ)2} /_{n – m – 1} = 870.6 / 20 – 1 – 1 = 48,367.

m– число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1,n- число пар (x,y)

Ошибка положения регрессии составит:

μ_Ỹ = S_Ỹ 1/n+ (X~ – Х ¯)² / ∑(X – Х¯)² = 48,367 · 1/20 + (1,06·10,5-10,5)²/665=1,555

Интегральная ошибка прогноза составит:

E_Ỹ = 48,367 + 1.555² = 7,126

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: ∆ Ỹ=t_у E_Ỹ=t_у( 0,05 ; 18)E_Ỹ = 2,1009·7,126=14,97

Табличное значение t-критерия для уровня зна­чимостиа= 0,05 и для степеней свободы иd.f.=11-1-1=9 соста­вит 2.26 (см. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит± 14,97.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находить­ся в доверительном интервале у = Y±.

Верхняя граница доверительного интервала составит:

== 80,768 + 14,97=95,738.

Нижняя граница доверительного интервала составит:

== 80,768-14,97=65,798.

Относительная величина различий значений верхней и нижней гра­ниц составит:

D_y=/= 1.45

Это означает, что верхняя граница превышает нижнюю в 1,45 раза.

^3.Выберем оптимальную форму уравнения регрессий с использованием программы «ЛИНЕЙН» пакетаExcelдля расчетов.

3.1. Результаты расчета линейной регрессиивExcelпредставлены в таблицу 4

таблица 4

3,6	40,7
0,269688	3,230637
0,908252	6,954615
178,1888	18
8618,4	870,6

Обозначения параметров расшифрованы в таблице 5

таблица 5

Угловой коэффициент		3,6
Постоянная линейной регрессии	b	40,7
Уравнение регрессии		ŷᵪ = 40,7 + 3,6 · х
Стандартные значения ошибок для коэффициентов m1		0,269688
Стандартное значение ошибки для постоянной b		3,230637
Коэффициент детерминированности r2	r2	0,908252
Стандартная ошибка для оценки y.		6,954615
F-статистика	F	178,1888
Степени свободы		18
Регрессионная сумма квадратов		8618,4
Остаточная сумма квадратов		870,6

Коэффициент корреляции 0,953

График представлен на рис 2

Оценить каждую модель через коэффициент детерминации .

3.2. Параболическая регрессия. Результаты расчетов по программе ЛИНЕЙН для массивовпредставлены в таблице 6. В качестве аргументов берем,,и используем линейную регрессию

таблица 6

0,075757576	2,0090909	43,53333333
0,0507883	1,0980144	5,006551795
0,918870015	6,7294018	#Н/Д
96,27014186	17	#Н/Д
8719,157576	769,84242	#Н/Д

2. Кубическая регрессия. В качестве аргументов берем ,,и используем линейную регрессию

таблица 7

=	=	=	y
1	1	1	49	1
2	4	8	48	2
3	9	27	62	3
4	16	64	51	4
5	25	125	52	5
6	36	216	62	6
7	49	343	62	7
8	64	512	74	8
9	81	729	81	9
10	100	1000	67	10
11	121	1331	73	11
12	144	1728	80	12
13	169	2197	84	13
14	196	2744	95	14
15	225	3375	98	15
16	256	4096	103	16
17	289	4913	93	17
18	324	5832	108	18
19	361	6859	101	19
20	400	8000	127	20

таблица 8

0,002031351	0,01177	2,559790257	42,45407637
0,010429616	0,3326681	3,045084175	7,568003034
0,919061912	6,9283003	#Н/Д	#Н/Д
60,56065352	16	#Н/Д	#Н/Д
8720,978479	768,02152	#Н/Д	#Н/Д

3. Для нахождения степенной регрессии логарифмируем

и используем программу ЛИНЕЙН для массивов

таблица 9

0,3312595	3,580587018
0,0389488	0,088029769
0,8007417	0,137977373
72,335014	18
1,3770963	0,3426796

Потенцируем а=35,894605. Следовательно,

таблица 10

	y	lnx	lny
1	49	0	3,8286414	35,8946
2	48	0,693147181	3,8066625	45,1594
3	62	1,098612289	4,0775374	51,6512
4	51	1,386294361	3,871201	56,8156
5	52	1,609437912	3,8918203	61,1744
6	62	1,791759469	4,0775374	64,9829
7	62	1,945910149	4,0775374	68,3874
8	74	2,079441542	4,2626799	71,4803
9	81	2,197224577	4,3567088	74,3243
10	67	2,302585093	4,1588831	76,9642
11	73	2,397895273	4,2484952	79,4329
12	80	2,48490665	4,3438054	81,7557
13	84	2,564949357	4,3944492	83,9525
14	95	2,63905733	4,5217886	86,0389
15	98	2,708050201	4,5538769	88,0279
16	103	2,772588722	4,6051702	89,9302
17	93	2,833213344	4,4998097	91,7544
18	108	2,890371758	4,6539604	93,5083
19	101	2,944438979	4,5849675	95,1981
20	127	2,995732274	4,8202816	96,8295

Для нахождения экспоненциальной регрессии логарифмируем и используем программу ЛИНЕЙН для массивов

0,0487549	3,769864264
0,0034082	0,040827749
0,9191498	0,08789017
204,63388	18
1,5807316	0,139044276

Потенцируем а=43,374177.Следовательно,

Наибольшее значение коэффициента детерминации у полиномиальной и экспоненциальной регрессии =0,9191