Практика
.pdf
В этом случае уже выгодно производить 17 упаковок (они все равно реализуются).
Задача 10
Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего). Чтобы произвести одну единицу продукции A, нужно затратить по 1 единице первого и второго ресурсов и 2 единицы третьего ресурса. Для производства единицы продукции Б требуется 2 единицы первого ресурса и 1 единица второго ресурса. Запасы ресурсов у предприятия ограничены: на складах есть 90 единиц первого ресурса, 50 единиц второго и 80 единиц третьего ресурса. Рыночная цена продукции A составляет 800 руб. а цена продукции Б равна 1000 руб. Сколько продукции следует произвести, чтобы получить наибольшую выручку?
РЕШЕНИЕ:
1) Составим математическую модель исходной задачи.
Представим исходные данные в виде таблицы:
|
Нормы расхода ресурса |
|
|
Вид ресурса |
на единицу продукции |
Запасы |
|
|
|||
|
|
ресурсов |
|
|
|
|
|
|
А |
Б |
|
|
|
|
|
I |
1 |
2 |
90 |
|
|
|
|
II |
1 |
1 |
50 |
|
|
|
|
III |
2 |
0 |
80 |
|
|
|
|
Цена продукции, руб. |
800 |
1000 |
|
|
|
|
|
Объектом моделирования является процесс получения максимальной выручки, а целью – оптимизация структуры и объема производства.
Задача относится к классу оптимизационных задач. Математическая модель для задач такого класса состоит в построении целевой функции, для которой надо найти экстремум, при ограничениях.
Для решения поставленной задачи введем обозначения:
х1 – объем производства продукции вида А;
х2 – объем производства продукции вида Б.
Общую выручку от реализации продукции можно определить по
формуле: |
|
F(X ) 800x1 1000x2 |
(руб.) |
Функция F называется целевой, ее следует максимизировать. Поэтому получаем:
F 800x1 1000x2 max
Представим целевую функцию в тыс. руб.:
F 0,8x |
x |
2 |
max |
1 |
|
|
На целевую функцию накладываются следующие ограничения:
а) объем производства продукции не может быть отрицательным:
x1
0,
x2
0.
б) ограничение по запасам ресурса вида I:
х |
2х |
2 |
1 |
|
90
;
в) ограничение по запасам ресурса вида II:
х |
х |
2 |
1 |
|
50
;
г) ограничение по запасам ресурса вида III:
2х1
80
.
Математическая модель задачи: составить оптимальный план производства продукции (х1, х2), обеспечивающий максимальную выручку:
F 0,8x1 x2 max
при ограничениях:
|
х |
|
2х |
2 |
90 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
х |
|
х |
|
50 |
|||
|
|
2 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
||
|
2х |
80 |
|
||||
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
||
|
х |
|
0, х |
2 |
0 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Математическая модель исходной задачи составлена.
МОЁ РЕШЕНИЕ
Шаг №1
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений. x1 + 2 x2 ≤ 90
Построим прямую: x1 + 2 x2 = 90
Пусть x1 =0 => 2 x2 = 90 => x2 = 45 Пусть x2 =0 => x1 = 90
Найдены коородинаты двух точек (0, 45) и (90 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).
Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой
(1) ?
Вернемся к исходному неравенству. x1 + 2 x2 ≤ 90
Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2
2 x2 ≤ - x1 + 90 x2 ≤ - 1/2 x1 + 45
Знак неравенства ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (1).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.
Шаг №2
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений. x1 + x2 ≤ 50
Построим прямую: x1 + x2 = 50
Пусть x1 =0 => x2 = 50 Пусть x2 =0 => x1 = 50
Найдены коородинаты двух точек (0, 50) и (50 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой
(2) ?
Вернемся к исходному неравенству. x1 + x2 ≤ 50
Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2
x2 ≤ - x1 + 50
Знак неравенства ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.
Шаг №3
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
2 x1 ≤ 80
Построим прямую:
2 x1 = 80 => x1 = 40 (3)
Данная прямая параллельна оси OX2 и проходит через точку (40,0) (3)
Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные левее или правее построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.
2 x1 ≤ 80
Оставим в левой части неравенства только x1 x1 ≤ 40
Знак неравенства ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные левее построенной прямой (3).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.
АЛЬТЕРНАТИВНОЕ РЕШЕНИЕ
2) Решим задачу графическим методом.
Построим множество допустимых решений или, что то же самое,
область допустимых решений. Проведем перпендикулярные оси координат:
горизонтальная — 0х1, вертикальная — 0х2. Условия неотрицательности переменных х1 0 и х2 0 показывают, что область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы координат.
Построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (рис. 1).
Построим уравнение
х |
2х |
2 |
90 |
1 |
|
|
по двум точкам.
|
x1 |
x2 |
|
|
|
Первая точка |
0 |
45 |
|
|
|
Вторая точка |
90 |
0 |
|
|
|
Теперь нужно выбрать одну из двух полуплоскостей, на которые прямая разделила плоскость, и заштриховать эту полуплоскость. Чтобы правильно выбрать, возьмем точку плоскости, не лежащую на прямой, и
подставим ее в неравенство. Например, точка не лежит на прямой:
1 1 2 1 90
Неравенство верное, следовательно, нас интересуют точки лежащие
ниже построенной нами прямой.
Аналогично построим уравнение
х |
х |
2 |
50 |
1 |
|
|
по двум точкам.
|
x1 |
x2 |
|
|
|
Первая точка |
0 |
50 |
|
|
|
Вторая точка |
50 |
0 |
|
|
|
Определим полуплоскость, задаваемую неравенством:
полуплоскости ниже прямой.
х |
х |
2 |
50 |
1 |
|
|
в
|
Построим уравнение |
2х |
80 |
. Эта прямая проходит через точку |
|
|
1 |
|
|||
х |
80/ 2 40 |
параллельно оси 0х2. Определим полуплоскость, задаваемую |
|||
1 |
|
||||
неравенством. Так как знак неравенства , то нас интересуют точки, лежащие левее построенной прямой.