2.3. Уравнения продольного движения самолета.

Теоретическое исследования и эксперименты показывают, что параметры продольного и бокового движения ЛА слабо связаны между собой, поэтому часто их рассматривают изолировано друг от друга. В продольной плоскости (рис.2.3) на самолет действует подъемная сила Y, сила лобового сопротивления X, сила тяжести G, сила тяги двигателя S, сила инерции.

Рис.2.3

Спроектируем все силы на ось поточной системы координат. Тогда проекция сил на ось OX дает уравнение

. (2.1)

Проекция на ось OY

.

Учитывая, что

, откуда ,

Последнее уравнение можно переписать в виде

(2.2)

Суммируя моменты относительно оси OZ самолета, получаем

, (2.3)

где - момент инерции самолета относительно оси OZ;

- момент аэродинамических сил.

Чтобы замкнуть уравнения (2.I)-(2.3) в систему, необходимо учесть соотношение

.

Известно [2,3], что аэродинамические силы и моменты являются сложными не линейными функциями следующих параметров:

, ;

(2.5)

,

где - отклонение руля высоты, а - сектора управления тягой.

Таким образом, уравнения (2.I)-(2.4), описывающие изолированное продольное движение, оказываются нелинейными дифференциальными уравнениями, анализ которых в общем случае весьма сложен.

Существенное упрощение системы (2.I)-(2.4) достигается с помощью ее линеаризации относительно малых отклонений параметров движения от некоторого теоретического (невозмущенного) движения. В качестве невозмущенного движения может быть выбран любой режим полета, в частности режим прямолинейного горизонтального полета. Дополнительное движение, вызываемое неучтенными силами и моментами, называют возмущенным. В результате можно записать

, , , , ,

где параметры характеризуют невозмущенное движение, а - возмущенное.

Для того чтобы принцип линеаризации был справедлив, параметры возмущенного движения должны быть малыми.

Линеаризация осуществляется с помощью разложения нелинейных функций в уравнениях (2.I)-(2.4) в степенной ряд Тейлора. Формула разложения, напомним, для некоторой функции

F ( ) имеет вид:

,

где R – остаток, содержащий члены второго и более высокого порядка малости.

Применяя эту формулу к уравнению (2.I), с учетом (2.5) получим

или

где через обозначены соответствующие производные силы лобового сопротивления и тяги по углу атаки, скорости, отклонению руля высоты и высоте.

Невозмущенное движение описывается уравнением

.

Исключая его из уравнения (2.6), получим

(2.7)

В общем случае определение параметров невозмущенного движения достигается в результате интегрирования на ЦВМ полных уравнений движения ЛА при отсутствии возмущений. В частном случае, соответствующем равномерному полету , параметры невозмущенного движения находятся из соотношения

.

Если в качестве невозмущенного движения берется полет, близкий к горизонтальному, то . Кроме того, в реальном полете - небольшое и можно положить

и .

При этих условиях уравнение (2.7) переписывается в виде

(2.8)

( знак ∆ опущен )

С учетом принятых в литературе [1,2] обозначений уравнение (2.8) принимает вид

, (2.9)

где

, , ,

Обратимся теперь к уравнению (2.2). Применяя к нему формулу разложения Тейлора, получим

(2.10)

Для невозмущенного движения

.

Это уравнение при горизонтальном полете обращается в выражение

.

Исключая из (2.10) невозмущенное движение при сделанных ранее допущениях , получим

или

, (2.11)

где

Линеаризация третьего уравнения дает

.

С учетом принятых обозначений при горизонтальном полете

(2.12)

Объединив (2.9), (2.11), (2.12) и (2.4), получим систему линейных дифференциальных уравнений, описывающих продольное движение ЛА в малых отклонениях относительно невозмущенного полета, близкого к горизонтальному, прямолинейному и равномерному

(2.13)

В правые части первых трех уравнений системы (2.13) включены слагаемые, обусловленные действием на ЛА не учтенных при линеаризации возмущающих сил F_x, F_y и момента M_z

_{, , .}