2.7. Передаточные функции летательного аппарата

При структурном анализе систем стабилизации и управления вместо уравнений движения ЛА удобно использовать соответствующие им передаточные функции. Следует заметить, что переход от уравнений к передаточном функциям целесообразен только в том случае, когда коэффициенты исходного уравнения стационарны. Обращаясь к уравнениям (2.13), (2.19), нетрудно установить, что коэффициенты зависят от скоростного напора и весовых характеристик ЛА. Поэтому в общем случае они зависят от времени.

Указанное обстоятельство заставляет искать пути дальнейшего упрощения уравнений движения ЛА. Когда изменение коэффициентов происходит сравнительно медленно, упрощение достигается «замораживанием» коэффициентов. Этот прием заключается в том, что время полета ЛА разбивается на ряд интервалов, на каждом из которых коэффициенты считается постоянным. Метод «замораживания» коэффициентов не снижает точности получаемых результатов, если за время переходного процесса в системе коэффициенты изменяются не белее чем на 15-20%.

Учитывая, что время переходного процесса короткопериодического движения ЛА составляет величину от долей секунды (для легкий Длиннопериодическое (медленное) движение продолжается десятки и даже сотни секунд. Поэтому «замораживание» коэффициентов здесь не всегда возможно.

В дальнейшем будем считать, что коэффициенты ЛА постоянны или меняются очень медленно, так что использование метода их «замораживания» допустимо.

Рассмотрим методику составления передаточных функций ЛА. Обратимся с этой целью к уравнению (2.18), описывающим короткопериодическое продольное движение. Запишем их в оперантной форме

ЛА) до нескольких секунд (для тяжёлых ЛА), можно предположить, что «замораживания» коэффициентов может быть использован.

(2.24)

Как видно, ЛА в этом случае как объект управления оказывается звеном с тремя выходным координатам (параметрами) - , , и тремя входами; одним – по управляющему воздействию и двумя – по возмущающим (моменту и силе ). В соответствии с этим динамические свойства будут характеризоваться матрицей из девяти передаточных функций (рис.2.4.). Прежде чем приступить к их определению, упростим уравнения (2.24), исключив координату θ. Тогда

(2.25)

Рис.2.4.

Согласно правилу Крамера решение этой системы может быть записано в виде

(2.26)

где - главный определитель системы, а - присоединенные определители, получаемые из главного заменой соответствующего столбца правой частью системы.

Следовательно, с учетом (2.26) будут справедливы следующие соотношения

Отсюда получаем передаточные функции

в которых

Передаточные функции по отношению к углу наклона траектории получим, используя соотношение

Вычитая из первого уравнения системы (2.27) второе, будем иметь

Или

Отсюда

(2.29)

где

.

В ряде случаев необходимо иметь операторную связь между переменными, характеризующими положение ЛА. Полученные передаточные функции позволяют легко ее определить. Например,

(2.30)

При исследовании процессов в системах стабилизации угловой скорости вместо передаточных функций, описывающих изменение углов, удобнее использовать передаточные функции, составленные по отношению к угловым скоростям изменяющихся параметров.

Так как и , то

(2.31)

Решение вопросов стабилизации и управления высокоманевренных ЛА требует рассмотрение в качестве выходных координат нормальных и боковых перегрузок. Получим соответствующие передаточные функции в продольном движении. Пусть ЛА движется под некоторым углом к горизонту (рис.2.5) со скоростью . Проекция ее на вертикальную ось

или при малом угле

Дифференцируя это выражение, получим вертикальное ускорение

Учитывая, что перегрузкой называют отношение ускорения к величине ускорения g силы тяжести, получим

. (2.32)

Принимая во внимание соотношения (2.31) и (2.32), можно записать

(2.33)

Поскольку уравнения для движения рысканья не отличаются от уравнений продольного движения, передаточные функции, описывающие движение рысканья, полностью совпадают с передаточными функциями продольного движения. Следует лишь заменить 𝛼 на 𝛽, на 𝜓 и на .

Уравнения (2.23), описывающие изолированное движение крена, может быть переписано при использовании операторной формы в виде

Тогда,

(2.34)

где,